课件39张PPT。第8练
三角函数的图象与性质第三篇 [小题提速练]明晰考情 1.高考命题热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值.
2.主要以小题形式考查，难度为中等偏下.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 三角函数定义、诱导公式及基本关系要点重组 (1)(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的变形、转化.
(2)诱导公式：角 π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限.
(3)知切求弦，如：已知tan α，求sin2α－sin αcos α＋2cos2α的值.解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，题组二 三角函数的图象及应用解析 由题意知f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝2，题组三 三角函数的性质解析 由图象关于坐标原点中心对称得f(0)＝0?sin φ＝0，∵ω>0，解析 由题意得f(x)的最小正周期为2π，3k＋2(k∈Z)∵g(x)为偶函数，∴ω＝2＋3k，k∈Z.x＝3k＋1(k∈Z)又f(0)＝1，得x＝3k＋1(k∈Z)，
即f(x)的图象的对称轴为直线x＝3k＋1(k∈Z).易错易混练易错提醒 解此类题时要特别注意的地方有：①三角函数图象变换的口诀为：“左加右减，上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧；③任何平移变换都是针对x而言的.解析 由图象知A＝2，∴y＝2sin(2x＋φ).易错提醒 求φ的值时，一般选函数图象的最高点或最低点的坐标代入，再结合φ的取值范围求解即可；若函数图象中只有函数值为0的点的坐标是已知的，则代入点的坐标时，需要数形结合，并注意φ的取值范围，否则就易步入命题人所设置的陷阱中，产生错解.押题冲刺练1234561234560123456∴f(x1)＋f(x2)＝0.123456－2sin 2x＝－2sin 2x.123456123456设f(x)的最小正周期为T，∴0<ω≤4，123456123456②④123456123456故答案为：②④. 本课结束 第三篇
第8练 三角函数的图象与性质[小题提速练]
[明晰考情] 1.高考命题热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值.2.主要以小题形式考查，难度为中等偏下．
题组一 三角函数定义、诱导公式及基本关系
要点重组 (1)(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的变形、转化．
(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限．
(3)知切求弦，如：已知tan α，求sin2α－sin αcos α＋2cos2α的值．
1．已知角θ的终边经过点，若sin θ＝2sin cos ，则实数a＝________.
答案 －
解析 由2sin2－1＝－cos ＝－，
得sin θ＝＝－2sin cos ＝－，
且a<0，解得a＝－.
2．若cos＝，则cos＝________.
答案 －
解析 cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．(2018·全国Ⅰ改编)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝________.
答案
解析 由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，
又cos α≠0，∴＝，∴tan α＝±，
即＝±，∴|a－b|＝.
4．已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝________.
答案
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
又sin α＋cos α＝，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴sin α－cos α＝－＝.
题组二 三角函数的图象及应用
要点重组 (1)由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
(2)用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.
5．将函数y＝sin(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得图象对应的解析式为________．
答案 y＝sin
解析 将函数y＝sin(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，
得y＝sin.
6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象向左平移________个单位长度．
答案
解析 由题意知f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x＝sin＝sin.所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象．
7.已知函数f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，将f(x)的图象向右平移φ个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则φ的值为________．
答案
解析 ∵f(x)＝sin ωx－2cos2＋1
＝sin ωx－cos ωx＝2sin，
则g(x)＝2sin＝2sin.
由题图知T＝2＝π，
∴ω＝2，g(x)＝2sin，
则g＝2sin＝2sin＝2，
即－2φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－kπ，k∈Z，
又0<φ<，
∴φ＝.
8．如图所示，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于________．
答案
解析 在y＝tan中，
令x＝0，得y＝tan＝1，故OD＝1；
又函数y＝tan的最小正周期T＝，
所以EF＝.
所以S△DEF＝·EF·OD＝××1＝.
题组三 三角函数的性质
要点重组 (1)三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
9．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x＝，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 由图象关于坐标原点中心对称得f(0)＝0?sin φ＝0，∵|φ|<，∴φ＝0，由在y轴右侧的第一个极值点为x＝，得ω＝±，
∵ω>0，
∴ω＝，ω＝，
∴T＝.
10．已知函数f(x)＝sin x＋acos x满足f?＝f?，则实数a的值为________．
答案
解析 由题意得f(x)的最小正周期为2π，
而－<2π，故直线x＝＝是f(x)的图象的一条对称轴，
所以点为f(x)的图象的对称中心，
所以f?＝0，解得a＝.
11．已知函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则ω＝________.
答案 3k＋2(k∈Z)
解析 f(x)＝sin
g(x)＝sin＝sin，
∵g(x)为偶函数，
∴－＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝2＋3k，k∈Z.
12.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中M为图象的最高点，N为图象与x轴的一个交点，点A(0,1)，且MN＝，则函数f(x)的图象的对称轴为直线________．
答案 x＝3k＋1(k∈Z)
解析 由MN＝，得＝，
解得ω＝，
又f(0)＝1，
∴sin φ＝，|φ|≤，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
令x＋＝kπ＋，k∈Z，
得x＝3k＋1(k∈Z)，
即f(x)的图象的对称轴为直线x＝3k＋1(k∈Z)．
1．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象向右平移________个单位长度．
答案
解析 方法一 ∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos，
∴可以将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到．
方法二 ∵y＝sin 3x＋cos 3x＝sin
＝sin，
又y＝cos 3x＝sin＝sin，
∴应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到．
易错提醒 解此类题时要特别注意的地方有：①三角函数图象变换的口诀为：“左加右减，上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧；③任何平移变换都是针对x而言的．
2．某正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________________．
答案 y＝2sin
解析 由图象知A＝2，
由＝－得T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝2sin(2x＋φ)．
又2sin＝0，|φ|<，
得φ＝－，
∴函数的解析式为y＝2sin.
易错提醒 求φ的值时，一般选函数图象的最高点或最低点的坐标代入，再结合φ的取值范围求解即可；若函数图象中只有函数值为0的点的坐标是已知的，则代入点的坐标时，需要数形结合，并注意φ的取值范围，否则就易步入命题人所设置的陷阱中，产生错解．
1．已知α∈，tan α＝－，则cos＝________.
答案
解析 由tan α＝－， α∈得
sin α＝－，cos α＝，
∴cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α
＝－2××＝.
2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)＝________.
答案 0
解析 由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，
∴f(x)＝sin，
∵点在函数f(x)的图象上，
∴sin＝0，
即＋φ＝kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
∵x1＋x2＝，
∴＋＝2π，
∴f(x1)＋f(x2)＝0.
3．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象上存在A(x1，0)，B(x2，0)两点，AB的最小值为，将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 －2sin 2x
解析 f(x)＝2sin，
因为AB的最小值为＝×＝，解得ω＝2，
所以g(x)＝2sin＝2sin(2x＋π)
＝－2sin 2x.
4．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是________．
答案 (k∈Z)
解析 y＝sin 2x
y＝sin ＝sin.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝sin的单调增区间是
(k∈Z)．
5．已知ω>0，函数f(x)＝cos ωx－sin ωx在区间内单调递增，则ω的取值范围是________．
答案
解析 由f(x)＝cos ωx－sin ωx＝－2sin在区间内单调递增，且ω>0，
设f(x)的最小正周期为T，
则≥－＝，
∴T＝≥，
∴0<ω≤4，
由由题意得，?(k∈Z)，对k赋值可知当k＝0时，符合题意．
所以ω的取值范围是.
6．把函数y＝sin 2x的图象沿x轴向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：
①该函数的解析式为y＝2sin；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在上是增函数；
④函数y＝f(x)＋a在上的最小值为，则a＝2.
其中，正确判断的序号是________．
答案 ②④
解析 把函数y＝sin 2x的图象沿x轴向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后，得到函数y＝2sin＝2sin的图象，
故①不正确；
令2x＋＝kπ，k∈Z，求得x＝－，k∈Z，故函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，故②正确；
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数的增区间为，k∈Z，故函数在上不是增函数，故③不正确；
当x∈时，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最小值为－，函数y＝f(x)＋a取得最小值为－＋a＝，
故a＝2，故④正确，
故答案为：②④.
