课件44张PPT。第9练
三角恒等变换、正弦定理、余弦定理第三篇 [小题提速练]明晰考情 1.主要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理应用，难度中档偏下.
2.高考对本内容考查主要从以下方面进行：一是利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式是考查重点；二是利用正弦、余弦定理进行边和角、面积的计算，常与三角恒等变换结合考查.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 三角恒等变换要点重组 (1)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α.α＝(α－β)＋β等.1.已知3sin 2θ＝4tan(π＋θ)，且θ≠kπ，k∈Z，则cos 2θ＝________.解析 ∵3sin 2θ＝4tan(π＋θ)，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ，
即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，即tan α＝2时，等号成立.题组二 解三角形8.若△ABC的面积S＝2BC·sin Bsin C，则△ABC的外接圆半径R为________.4sin B＝AC，211.设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
则cos C＝________；当BC＝1时，△ABC的面积等于________.解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.令a＝2t，b＝3t，c＝4t，t>0，12.如图，在△ABC中，D，F分别为BC，AC的中点，AD⊥BF，若sin2C＝
sin∠BAC·sin∠ABC，则cos C＝________.解析 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，即2b2－4c2－2bccos∠BAC＝0，
2b2－4c2－(b2＋c2－a2)＝0，易错易混练1.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.
下列四个命题：
①若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形；
②若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形；
③若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形；
其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)①③④解析 命题①：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴①正确；
命题②：由acos A＝bcos B，可得sin 2A＝sin 2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴②错误；
命题③：由正弦定理，可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，∴③正确；
命题④：由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴A＝B＝C，∴④正确.易错提醒 解三角形中的最值与范围问题主要是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数式，结合角的范围确定所求式的范围，角的范围的确定是出错的根本原因.押题冲刺练123456123456解析 由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos A，解得AB＝3(负值舍去)，123456即tan α＝－4.123456123456123456当C＝60°时，A＝30°，所以B＝90°，又a＝1，当C＝120°时，A＝30°，所以B＝30°，
又a＝1，所以b＝1，123456123456又D为BC中点，所以AD＝BD＝CD，
所以△ADC为等边三角形，123456(2)若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________.123456解析 AC＝2AD＝2，所以AC＝2，AD＝1，
设AB＝m，BD＝CD＝n，②①1234561234562π123456整理得2b2c＋2bc2＝a2b＋bc2－b3＋a2c＋b2c－c3，
即b2c＋bc2＝a2b＋a2c－(b3＋c3)，
∴(b＋c)(b2＋c2－a2)＝0，
∴b2＋c2＝a2，即∠BAC＝90°.123456a2＝b2＋c2≥2bc＝8， 本课结束 第三篇 第9练 三角恒等变换、正弦定理、余弦定理[小题提速练]
[明晰考情] 1.主要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理应用，难度中档偏下.2.高考对本内容考查主要从以下方面进行：一是利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式是考查重点；二是利用正弦、余弦定理进行边和角、面积的计算，常与三角恒等变换结合考查．
题组一 三角恒等变换
要点重组 (1)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α.α＝(α－β)＋β等．
(2)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
(3)辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.
1．已知3sin 2θ＝4tan(π＋θ)，且θ≠kπ，k∈Z，则cos 2θ＝________.
答案
解析 ∵3sin 2θ＝4tan(π＋θ)，
∴3×2sin θcos θ＝4tan θ＝4×，
∵θ≠kπ，∴sin θ≠0，∴cos2θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝.
2.的值是________．
答案
解析 原式＝
＝
＝＝.
3．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.
答案
解析 因为0<β<<α<，
所以<2α<π，－<－β<0，
所以<2α－β<π.
又因为cos(2α－β)＝－，
所以sin(2α－β)＝.
因为0<β<<α<，
所以－<－2β<0，
所以－<α－2β<.
又因为sin(α－2β)＝，所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝.
又因为＜α＋β＜，所以α＋β＝.
4．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝________.
答案 －
解析 由题意得＝
＝2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ，
即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，
解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)，
所以sin 2θ＝－.
5．(2019·江苏)已知＝－，则sin的值是________．
答案
解析 由＝＝＝－，
得3tan2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－.
sin＝sin 2αcos?＋cos 2αsin?
＝(sin 2α＋cos 2α)
＝
＝，
当tan α＝2时，上式＝×＝；
当tan α＝－时，
上式＝×＝.
综上，sin＝.
6．若α∈，则的最大值为________．
答案
解析 ∵α∈，
∴＝＝，且tan α>0.
∴＝≤＝.
当且仅当tan α＝，
即tan α＝2时，等号成立．
故的最大值为.
题组二 解三角形
要点重组 (1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
7．(2018·全国Ⅱ改编)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝________.
答案 4
解析 ∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
8．若△ABC的面积S＝2BC·sin Bsin C，则△ABC的外接圆半径R为________．
答案 2
解析 由S＝2BC·sin Bsin C＝AC·BCsin C得
4sin B＝AC，
∴＝4＝2R，∴R＝2.
9．在△ABC中，a＝3，c＝2，bsin A＝acos，则b＝________.
答案
解析 由正弦定理得，sin B·sin A＝sin A·cos，
∵sin A≠0，∴sin B＝cos＝cos B－sin B，
即sin B＝cos B，∴tan B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B
＝9＋12－2×3×2×＝3，∴b＝.
10．在△ABC中，若b2＋c2＝a2－bc，且·＝－4，则S△ABC＝________.
答案
解析 由b2＋c2＝a2－bc得，cos A＝＝－，
∴sin A＝，
又·＝bccos A＝－bc＝－4，∴bc＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
11．设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝________；当BC＝1时，△ABC的面积等于________．
答案 －
解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.令a＝2t，b＝3t，c＝4t，t>0，
则cos C＝＝－，∴sin C＝.
当BC＝1时，AC＝，
∴S△ABC＝×1××＝.
12.如图，在△ABC中，D，F分别为BC，AC的中点，AD⊥BF，若sin2C＝sin∠BAC·sin∠ABC，则cos C＝________.
答案
解析 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由sin2C＝sin∠BAC·sin∠ABC可得，c2＝ab，
由AD⊥BF可得，
·＝·＝0，
整理可得，2－2－·＝0，
即b2－c2－bccos∠BAC＝0，
即2b2－4c2－2bccos∠BAC＝0，
2b2－4c2－(b2＋c2－a2)＝0，
即a2＋b2－c2＝4c2＝ab，
所以cos C＝＝.
1．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边．
下列四个命题：
①若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形；
②若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形；
③若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形；
④若＝＝，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
答案 ①③④
解析 命题①：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴①正确；
命题②：由acos A＝bcos B，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴②错误；
命题③：由正弦定理，可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，∴③正确；
命题④：由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴A＝B＝C，∴④正确．
易错提醒 在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝；若cos 2A＝cos 2B，则A＝B.
2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是________．
答案 (，)
解析 ∵B＝2A,0<2A<，且B＋A＝3A，
∴<3A<π，∴
由正弦定理得＝＝2cos A，
∴<<.
易错提醒 解三角形中的最值与范围问题主要是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数式，结合角的范围确定所求式的范围，角的范围的确定是出错的根本原因．
1．已知sin＝－，则cos＝________.
答案
解析 sin＝sin
＝－sin＝－，
所以sin＝，
cos＝cos＝sin＝.
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则△ABC的面积为________．
答案
解析 由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos A，
即7＝AB2＋4－2×2×AB×，
解得AB＝3(负值舍去)，
∴S△ABC＝AB×AC×sin A＝×3×2×＝.
3．若sin cos ＋cos cos ＝，则tan＝________.
答案 －
解析 sin cos ＋cos cos
＝sin cos －cos sin
＝sin＝sin
＝－＝，
即tan α＝－4.
∴tan＝＝＝－.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1,2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为________．
答案 或
解析 因为2b－c＝2acos C，
所以由正弦定理可得2sin B－sin C＝2sin Acos C，
所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C.
所以2cos Asin C＝sin C，又sin C≠0，
所以cos A＝，因为0°因为sin C＝，所以C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝30°，所以B＝90°，又a＝1，
所以c＝，
所以△ABC的面积为×1×＝；
当C＝120°时，A＝30°，所以B＝30°，
又a＝1，所以b＝1，
所以△ABC的面积为×1×1×＝.
5.在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.
(1)若AB＝BD，则∠CAD＝________；
(2)若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．
答案 (1) (2)
解析 (1)在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos
＝3BD2＋BD2－2BD2×＝BD2，
所以AD＝BD，所以∠DAB＝∠B＝，
所以∠ADC＝，
又D为BC中点，所以AD＝BD＝CD，
所以△ADC为等边三角形，
所以∠CAD＝.
(2)AC＝2AD＝2，所以AC＝2，AD＝1，
设AB＝m，BD＝CD＝n，
在△ABD中，1＝m2＋n2－2mncos ，
即1＝m2＋n2－mn，①
又在△ABC中，4＝m2＋4n2－4mncos ，
即4＝m2＋4n2－2mn，②
联立①②两式解得m＝n，
所以1＝n2＋n2－×n2，
解得n2＝3，mn＝n2＝2，
S△ABC＝m×2nsin ＝mn＝.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋＝2，若bc＝4，则当△ABC的周长取最小值时，其外接圆的面积为________．
答案 2π
解析 由＋＝2得
＋＝cos B＋cos C，
由余弦定理得＋＝＋，
整理得2b2c＋2bc2＝a2b＋bc2－b3＋a2c＋b2c－c3，
即b2c＋bc2＝a2b＋a2c－(b3＋c3)，
∴(b＋c)(b2＋c2－a2)＝0，
∴b2＋c2＝a2，即∠BAC＝90°.
故△ABC的周长为a＋b＋c＝＋(b＋c)
≥＋2＝4＋2，
a2＝b2＋c2≥2bc＝8，
当且仅当a＝2，b＝c＝2时，△ABC的周长取最小值4＋2，
此时△ABC的外接圆的面积S＝π2＝2π.
