课件37张PPT。第10练
三角函数与解三角形第三篇 [大题规范练]明晰考情 两角和与差的三角函数是C级要求，与解三角形的解答题近几年处于试卷前两题位置上，难度中档偏下.根据高考阅卷情况看，此题得分率并不太高，主要原因是审题不严谨，基础知识不扎实，答题不规范.题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 三角函数的求值方法技巧 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值时，要充分利用角之间的联系，并掌握一些拆角技巧，如：α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等.(1)求cos 2α的值；又因为sin2α＋cos2α＝1，(2)求tan(α－β)的值.解 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).因此tan(α＋β)＝－2.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]所以A＝2.题组二 三角函数问题要点重组 求解三角函数问题的两个思想
(1)整体思想：对于y＝Asin(ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，解y＝Asin t，通过研究复合函数的性质求解目标.
(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数的性质.(1)求y＝f(x)的解析式；4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；题组三 解三角形要点重组 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.(1)求sin C的值；在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，模板规范练典例 (14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.
(1)求角B的大小；模板体验审题路线图规范解答·评分标准
解 (1)因为m∥n，
所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0，………………………………………1分
由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，
即a2＋c2－b2＝ac. ………………………………………………………………………3分(2)设∠BAD＝θ，构建答题模板
[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.
[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择适用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.
[第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.
[第四步] 再反思：审视转化过程的等价性与合理性.规范演练所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，(1)若BD＝2，求sin∠ABC的值；解 依题意，∠ADB＝∠C＋∠CBD＝60°，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
解得AD＝3(负值舍去)，所以AC＝5.解 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos 120°，故AC＝AD＋CD＝4x，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos 30°， 本课结束 第三篇 第10练 三角函数与解三角形[大题规范练]
[明晰考情] 两角和与差的三角函数是C级要求，与解三角形的解答题近几年处于试卷前两题位置上，难度中档偏下．根据高考阅卷情况看，此题得分率并不太高，主要原因是审题不严谨，基础知识不扎实，答题不规范．
题组一 三角函数的求值
方法技巧 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值时，要充分利用角之间的联系，并掌握一些拆角技巧，如：α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
1．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
2．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解 (1)因为f＝Acos＝Acos ＝A＝，
所以A＝2.
(2)由f＝2cos＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos
＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
题组二 三角函数问题
要点重组 求解三角函数问题的两个思想
(1)整体思想：对于y＝Asin(ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，解y＝Asin t，通过研究复合函数的性质求解目标．
(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数的性质．
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝2两相邻交点之间的距离为π，且图象关于x＝对称．
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象．求g(x)的单调递增区间以及满足g(x)≥的x的取值范围．
解 (1)由已知可得T＝π， ＝π，∴ω＝2，
又f(x)的图象关于x＝对称，
∴2·＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝kπ－，k∈Z，
∵－<φ<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin.
(2)由(1)可得f(x)＝2sin，
∴g(x)＝2sin，
∴由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
∵2sin≥，
∴sin≥，
∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴x的取值范围是.
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝m在上有两个不同的实根，求m的取值范围．
解 (1)由题图可知A＝1, ＝·＝－，∴ω＝2.
由图象可得2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)由(1)及题图知，方程f(x)＝sin＝m在上有两个不同的实根，
可得直线y＝m和f(x)的图象在上有两个不同的交点．
由于f(x)在，上单调递减，在上单调递增，f＝，f＝0，
作出f(x)和直线y＝m在区间上的图象(图略)，
∴m的取值范围是∪.
题组三 解三角形
要点重组 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝，＝，c＝11.
(1)求sin C的值；
(2)若B∈，求△ABC的面积．
解 (1)由tan A＝>0知A为锐角，
由得sin A＝，cos A＝.
∵＝，∴＝2cos A，
∴sin B＝2sin Acos A＝2××＝.
∴cos B＝±.
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝或.
(2)若B∈，则sin C＝.
由正弦定理得＝，解得a＝5.
故△ABC的面积S＝acsin B＝×5×11×＝110.
6．(2019·江苏第三学期联测)已知函数f(x)＝2sin·cos x.
(1)若0≤x≤，求函数f(x)的值域；
(2)设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f(A)＝，b＝2，c＝3，求cos(A－B)的值．
解 (1)f(x)＝(sin x＋cos x)cos x＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，
由0≤x≤得，≤2x＋≤，－≤sin≤1.
∴0≤sin＋≤1＋，即函数f(x)的值域为.
(2)由f(A)＝sin＋＝，
得sin＝0，
又由0
∴2A＋＝π，A＝.
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，
得a＝.
由正弦定理＝，得sin B＝＝，
∵b∴cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B
＝×＋×＝.
典例 (14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．
审题路线图
―→
―→―→
规范解答·评分标准
解 (1)因为m∥n，
所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0，………………………………………………1分
由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，
即a2＋c2－b2＝ac. ………………………………………………………………………………3分
由余弦定理可知，cos B＝＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.……………………………………………………………………6分
(2)设∠BAD＝θ，
则在△BAD中，由B＝可知，θ∈.
由正弦定理及AD＝，得＝＝＝2，
所以BD＝2sin θ，AB＝2sin＝cos θ＋sin θ，
所以a＝2BD＝4sin θ，c＝AB＝cos θ＋sin θ，……………………………………………9分
从而a＋2c＝2cos θ＋6sin θ＝4sin.
由θ∈可知，θ＋∈，
所以当θ＋＝，
即θ＝时，
a＋2c取得最大值4.…………………………………………………………………………13分
此时a＝2，c＝，所以S△ABC＝acsin B＝.…………………………………………14分
构建答题模板
[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系．
[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择适用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化．
[第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论．
[第四步] 再反思：审视转化过程的等价性与合理性．
1．(2019·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；
(2)若＝，求sin的值．
解 (1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，
由余弦定理cos B＝，
得＝，即c2＝.
所以c＝.
(2)因为＝，
由正弦定理＝，得＝，
所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，
故cos2B＝.
因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.
因此sin＝cos B＝.
2．在△ABC中，AB＝，C＝30°，＝λ(0<λ<1)，BD＝CD.
(1)若BD＝2，求sin∠ABC的值；
(2)若＝，求△ABC的周长．
解 (1)依题意，∠ADB＝∠C＋∠CBD＝60°，
在△ABD中，AB＝，BD＝2，∠ADB＝60°，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
解得AD＝3(负值舍去)，所以AC＝5.
在△ABC中，由正弦定理得＝.
即＝，
解得sin∠ABC＝.
(2)在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos 120°，
∴BC＝CD.
设CD＝x，x>0，则BC＝x，
从而AD＝BC＝3x，
故AC＝AD＋CD＝4x，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos 30°，
即7＝(x)2＋(4x)2－2x·4x·，解得x＝1.
所以AC＝4，BC＝，
故△ABC的周长为4＋＋.
