课件45张PPT。第11练
平面向量第三篇 [小题提速练]明晰考情 1.平面向量的数量积是C级要求，也是高考必考点.
2.平面向量可以和函数、数列、几何等交汇考查.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 平面向量的线性运算－22.(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.－3解析 因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，故m－n＝－3.解析 过C作CE⊥x轴于点E.∵M，N分别为BC，CD的中点，题组二 平面向量的数量积要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.2＝(1－t)2＋4t2－4t(1－t)cos θ
＝(5＋4cos θ)t2－2(1＋2cos θ)t＋1，
又5＋4cos θ＞0，36①
②题组三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.
(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.由于上式对任意单位向量e都成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.解析 方法一 以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，解析 如图，以点O为坐标原点，OQ为x轴建立平面直角坐标系，易错易混练1.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
___________________.解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是____________.(填序号)②③易错提醒 (1)线性运算中向量的方向易错，要认真观察图形，确定向量的起点、终点.
(2)向量的夹角易错，要注意向量夹角的定义和范围.押题冲刺练123456又B，N，P三点共线，123456解析 ∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，1234563123456123456123456所以P为线段DM上靠近点D的三等分点，123456123456因为四边形ABCD是边长为1的菱形，123456[2,4]123456解析 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
因为ABCD的边长为2，△DPC是等腰直角三角形，
所以P(1,3)，设E(a,2)，F(b,0)，
因为0≤a≤2,0≤b≤2 ，123456因为0≤a≤2,0≤b≤2，
所以－1≤a－1≤1，－1≤b－1≤1，
所以－1≤(a－1)(b－1)≤1， 本课结束 第三篇 第11练 平面向量[小题提速练]
[明晰考情] 1.平面向量的数量积是C级要求，也是高考必考点.2.平面向量可以和函数、数列、几何等交汇考查．
题组一 平面向量的线性运算
要点重组 (1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(3)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
1．在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM＝3CM，若＝x＋y，则x－y＝________.
答案 －2
解析 因为＝＋＝＋，
又＝－，
所以＝＋(－)＝－，
所以x＝－，y＝，则x－y＝－2.
2．(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案 －3
解析 因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以
解得
故m－n＝－3.
3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，OC＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为________．
答案
解析 过C作CE⊥x轴于点E.
由∠AOC＝，得OE＝CE＝2，
所以＝＋＝λ＋，
即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
4．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案
解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝λ＋μ
＝，
∴解得故λ＋μ＝.
方法二 以，作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点，
∴＝＋＝＋，
＝＋＝－，
∴＝λ＋μ＝＋，
又＝＋，
∴解得∴λ＋μ＝.
题组二 平面向量的数量积
要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．
5．(2019·全国Ⅱ改编)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝________.
答案 2
解析 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.
6．(2019·南京期末)已知向量与满足||＝2，||＝1.又＝t，＝(1－t)，且||在t＝时取到最小值，则向量 与 的夹角的值为________．
答案
解析 设向量与的夹角的值为θ，
由＝t，＝(1－t)，
＝－＝(1－t)－t，
||2＝[(1－t)－t]2
＝(1－t)2＋4t2－4t(1－t)cos θ
＝(5＋4cos θ)t2－2(1＋2cos θ)t＋1，
又5＋4cos θ＞0，
所以当t＝＝时取得最小值．
解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，
所以θ＝.
7．已知△ABC的外接圆的圆心为O，且满足·＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ＝________.
答案 ±
解析 由题意得||＝||＝||，＋＝λ，两边平方得||2＋||2＋2·＝λ2||2，又·＝0，即||2＋||2＝λ2||2，所以λ2＝2，故λ＝±.
8.如图，在平面四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，且OB＝10，OD＝6. 若·＝－28，则·的值为________．
答案 36
解析 如图，M为FG的中点，＋＝2，①
－＝2.②
把①式和②式两边平方并相减，得·＝||2－||2，该结论称为极化恒等式．
所以·＝||2－||2＝－28，所以||2＝64，
故·＝||2－||2＝36.
题组三 平面向量的综合应用
方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题．
(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题．
9．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．
答案
解析 由已知可得
≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，
由于上式对任意单位向量e都成立．
∴≥|a＋b|成立．
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.
即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.
10．(2019·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
答案
解析 方法一 以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O，则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则＝＝＝.
方法二 由A，O，D三点共线，可设＝λ，则＝(＋)，由E，O，C三点共线可设＝μ，则－＝μ(－)，则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，由平面向量基本定理可得
解得μ＝，λ＝，
则＝(＋)，＝－＝－，
则6·
＝6×(＋)·
＝＝·，
化简得32＝2，则＝.
11．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
答案
解析 由题意知，||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos 60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋，
∴·＝·(λ－)
＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22
＝λ－5＝－4，解得λ＝.
12.如图，半径为2的扇形的圆心角为，M，N分别为线段OP，OQ的中点，A为上任意一点，则·的取值范围是________．
答案
解析 如图，以点O为坐标原点，OQ为x轴建立平面直角坐标系，则M，N(1,0)，
由题意可设点A(2cos θ，2sin θ)，其中0≤θ≤，
所以＝，
＝(1－2cos θ，－2sin θ)，
所以·＝(1－2cos θ)＋(－2sin θ)
＝－cos θ－sin θ
＝－2cos，其中0≤θ≤，
因为0≤θ≤，所以－≤θ－≤，
所以≤cos≤1，－2≤－2cos≤－1，≤－2cos≤，
即·的取值范围是.
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．
答案 ∪
解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，
由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.
又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.
故λ>－且λ≠0.
易错提醒 注意向量夹角的定义和范围．在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a与b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)．本题易漏解λ≠0，错解为.
2．在△ABC中，有如下命题，其中正确的是____________．(填序号)
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．
答案 ②③
解析 在△ABC中，－＝，①错误；
若·＞0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．
易错提醒 (1)线性运算中向量的方向易错，要认真观察图形，确定向量的起点、终点．(2)向量的夹角易错，要注意向量夹角的定义和范围．
1.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案
解析 ∵＝，
∴＝，
∴＝m＋＝m＋.
又B，N，P三点共线，
∴m＋＝1，
∴m＝.
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ的值为________．
答案
解析 ∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理可得BC＝，
又根据余弦定理可得cos∠ABC＝，·＝(－)·＝λ2－·＝19λ－3××＝－，解得λ＝.
3．在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AD是BC边上的高，P为AD的中点，M，N分别为AB边和AC边上的点，且M，N关于直线AD对称，当·＝－时，＝________.
答案 3
解析 由等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AD是BC边上的高，P为AD的中点知，AD＝1，AP＝，又·＝－，知(＋)·(＋)＝－，
化简为2＋(＋)·＋·＝－，
由M，N关于直线AD对称知，||××cos135°＋||××cos135°＝－，
故AM＝，所以＝3.
4．在梯形ABCD中，＝2，||＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋4＝0，·＝||·||，Q为边AD上的一个动点，则||的最小值为________．
答案
解析 如图，取AB的中点M，则＝，由＋＋4＝0，得＝2，所以P为线段DM上靠近点D的三等分点，由题意知，·＝·＝||·||cos∠ADM＝||·
||，
所以cos∠ADM＝，
则sin∠ADM＝，
所以||的最小值为2sin∠ADM＝.
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝，若点P为对角线AC上一点，则·的最大值为________．
答案 －
解析 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝－＝－λ，＝－＝－λ，因此·＝(－λ)·(－λ)＝·－λ·(＋)＋λ22.
因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠BAD＝，所以||＝1，＋＝，·＝1×1×cos ＝－，
从而·＝λ2－λ－＝2－，
所以当λ＝0或1时，(·)max＝－.
6.如图，正方形ABCD的边长为2，△DPC是等腰直角三角形(P为直角顶点)，E，F分别为线段CD，AB上的动点(含端点)，则·的取值范围为________．
答案 [2,4]
解析 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
因为ABCD的边长为2，△DPC是等腰直角三角形，
所以P(1,3)，设E(a,2)，F(b,0)，
因为0≤a≤2,0≤b≤2 ，所以0≤ab≤4,0≤≤2，
＝(a－1，－1)，＝(b－1，－3)，
所以·＝(a－1，－1)·(b－1，－3)＝(a－1)(b－1)＋3，
因为0≤a≤2,0≤b≤2，
所以－1≤a－1≤1，－1≤b－1≤1，
所以－1≤(a－1)(b－1)≤1，
所以2≤·≤4.
