2020版高考90天补习资料数学江苏专用 第12练 空间几何体的表面积与体积(小题)(37张PPT课件+学案)

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名称 2020版高考90天补习资料数学江苏专用 第12练 空间几何体的表面积与体积(小题)(37张PPT课件+学案)
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资源类型 教案
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科目 数学
更新时间 2019-11-19 23:10:35

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课件37张PPT。第12练
空间几何体的表面积与体积第三篇  [小题提速练]明晰考情 本内容是高考必考点,多以小题形式考查空间几何体的体积或表面积的计算,难度为中等偏上.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 空间几何体的表面积方法技巧 多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底的面积;棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积;棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.3∶21.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2=________.解析 设球的直径为2R,则S1∶S2=(2πR2+2πR·2R)∶4πR2=3∶2.2.如图所示,在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔,则打孔后的几何体的表面积为________.96+6π解析 由题意知,所打圆柱形孔穿透正方体,
因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积,
再加上一个圆柱的侧面积,同时减去两个圆的面积,
即S=6×42+4×2π-2π×12=96+6π.3.若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为________.2∶1∴S圆柱∶S圆锥=2∶1.4.如图,已知圆锥的高是底面半径的2倍,侧面积为π,若正方形ABCD内接于底面
圆O,则四棱锥P-ABCD的侧面积为________.∵圆锥的侧面积为π,设正方形边长为a,题组二 空间几何体的体积方法技巧 (1)求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体.5.已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为2,侧棱长为4,则此六棱锥的体积为________.12 解析 设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R.7.已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm,其表面展开图
如图所示,则该空间几何体的体积V=________cm3.解析 空间几何体为一正方体和一正四棱锥的组合体,显然,正方体的体积为1,正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为1,解析 由题意可得,四棱锥底面对角线的长为2,题组三 多面体与球(2)当球内切于正方体时,球的直径等于正方体的棱长,当球外接于长方体时,长方体的体对角线长等于球的直径;当球与正方体各棱都相切时,球的直径等于正方体底面的对角线长.9.若将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为________.解析 由题意知,此球是正方体的内切球,
根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,
故可得球的直径为2,故半径为1,10.(2019·宿迁期末)如图,一个底面水平放置的倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,容器内有一定量的水,水深为h. 若在容器内放入一个半径为1的铁球后,水面所在的平面恰好经过铁球的球心O(水没有溢出),则h的值为________解析 作OD⊥AC,垂足为D,连结OA,则球的半径r=OD=1,此时OA=2r=2,设加入小球后水面以下的圆锥体积为V′,原来水的体积为V,球的体积为V球.解析 易知△ABC是等边三角形.如图,作OM⊥平面ABC,其中M为△ABC的中心,8π则点O为三棱锥P-ABC外接球的球心.故该球的表面积S=4πR2=8π.12.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球,则此三棱柱的体积的最大值为________.1解析 如图,设球心为O,三棱柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,底面正三角形的边长为a,由已知得O1O2垂直于底面,在Rt△OAO1中,由勾股定理得则f′(a)=12a3-6a5=-6a3(a2-2),
令f′(a)=0,易错易混练1.已知正三棱锥的底面边长为a,高为 a,则此棱锥的侧面积为________.解析 如图,在正三棱锥S—ABC中,
过点S作SO⊥平面ABC于点O,则O为△ABC的中心,
连结AO并延长与BC相交于点M,
连结SM,SM即为斜高h′,易错提醒 本题易错点在于寻求正三棱锥的斜高和高的关系,在求此类问题时,要把已知和要求的量整合到一个三角形中求解.2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为________.144π解析 易知△AOB的面积确定,若三棱锥O-ABC的底面AOB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,解得R=6.故S球=4πR2=144π.易错提醒 多面体与球的切、接问题,要明确切点、接点的位置,利用合适的截面图确定两者的关系,要熟悉长方体与球的各种组合.押题冲刺练1234561.(2019·常熟期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,CC1=3,点D为侧棱BB1上
的一个动点,当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为________.123456解析 将平面AA1B1B与平面CC1B1B展开到一个平面AA1MN(C1→M,C→N),
如图,连结AM交BB1于D,则此时AD+DC1=AD+DM最小,
由△ABD≌△MB1D,可得D是BB1的中点,
因为ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,
所以C1到A1B1的距离就是C1到平面AA1B1B的距离,123456解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图,
则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°.
在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.6123456解析 设上、下圆锥的高分别为h1,h2,圆柱的底面圆的半径为r,圆柱的高为h,1234566π解析 设球的半径为r,O′是△ABC的外心,123456123456解析 设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O,O1,1234566.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=60°,PA+AB=6,AD=3,则当四棱锥P-ABCD的体积最大时,AB=________.123456解析 作AH⊥BC于点H,设BH=x(0所以四棱锥P-ABCD的高PA=6-2x,
所以四棱锥P-ABCD的体积设f(x)=-x3-3x2+18x,x∈(0,3),
则f′(x)=-3x2-6x+18=-3(x2+2x-6).123456123456 本课结束 第三篇 第12练 空间几何体的表面积与体积[小题提速练]
[明晰考情] 本内容是高考必考点,多以小题形式考查空间几何体的体积或表面积的计算,难度为中等偏上.
题组一 空间几何体的表面积
方法技巧 多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底的面积;棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积;棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
1.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2=________.
答案 3∶2
解析 设球的直径为2R,则S1∶S2=(2πR2+2πR·2R)∶4πR2=3∶2.
2.如图所示,在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔,则打孔后的几何体的表面积为________.
答案 96+6π
解析 由题意知,所打圆柱形孔穿透正方体,因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积,再加上一个圆柱的侧面积,同时减去两个圆的面积,即S=6×42+4×2π-2π×12=96+6π.
3.若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为________.
答案 2∶1
解析 ∵S圆柱=2·π2+2π··a=πa2,
S圆锥=π2+π··a=πa2,
∴S圆柱∶S圆锥=2∶1.
4.如图,已知圆锥的高是底面半径的2倍,侧面积为π,若正方形ABCD内接于底面圆O,则四棱锥P-ABCD的侧面积为________.
答案 
解析 设圆锥底面半径为r,则高为h=2r,母线长为r,
∵圆锥的侧面积为π,
∴π×r×r=π,r2=,
设正方形边长为a,
则2a2=4r2,a=r,
正四棱锥的斜高为=r,
∴正四棱锥的侧面积为4××a×r=6r2=.
题组二 空间几何体的体积
方法技巧 (1)求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体.
5.已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为2,侧棱长为4,则此六棱锥的体积为________.
答案 12
解析 由题意得棱锥的高h==2,所以V=××2=12.
6.(2017·江苏)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
答案 
解析 设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R.
∴==.
7.已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm,其表面展开图如图所示,则该空间几何体的体积V=________cm3.
答案 1+
解析 空间几何体为一正方体和一正四棱锥的组合体,显然,正方体的体积为1,正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为1,所以,棱锥的高为,所以,正四棱锥的体积为,即组合体的体积为1+.
8.(2019·天津)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为________.
答案 
解析 由题意可得,四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为,易知四棱锥的高为=2,故圆柱的高为1,所以圆柱的体积为π×2×1=.
题组三 多面体与球
要点重组 (1)设球的半径为R,球的截面圆半径为r,球心到球的截面的距离为d,则有r=.
(2)当球内切于正方体时,球的直径等于正方体的棱长,当球外接于长方体时,长方体的体对角线长等于球的直径;当球与正方体各棱都相切时,球的直径等于正方体底面的对角线长.
(3)若正四面体的棱长为a,则正四面体的外接球半径为a,内切球半径为a.
9.若将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为________.
答案 
解析 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是×π×13=.
10.(2019·宿迁期末)如图,一个底面水平放置的倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,容器内有一定量的水,水深为h. 若在容器内放入一个半径为1的铁球后,水面所在的平面恰好经过铁球的球心O(水没有溢出),则h的值为________
答案 
解析 作OD⊥AC,垂足为D,连结OA,则球的半径r=OD=1,此时OA=2r=2,水面半径R=OC=2×tan 30°=,当锥体内水的高度为h时,水面半径为h×tan 30°=h,
设加入小球后水面以下的圆锥体积为V′,原来水的体积为V,球的体积为V球.
所以水的体积为V=V′-V球=×π×2×2-π×13=π2h,
解得h=.
11.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,∠BAC=60°,PA=2,AB=AC=,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为________.
答案 8π
解析 易知△ABC是等边三角形.如图,作OM⊥平面ABC,其中M为△ABC的中心,且点O满足OM=PA=1,则点O为三棱锥P-ABC外接球的球心.于是,该外接球的半径R=OA===.故该球的表面积S=4πR2=8π.
12.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球,则此三棱柱的体积的最大值为________.
答案 1
解析 如图,设球心为O,三棱柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,底面正三角形的边长为a,
则AO1=×a=a.
由已知得O1O2垂直于底面,在Rt△OAO1中,由勾股定理得
OO1==,
所以V三棱柱=a2×2×=.
令f(a)=3a4-a6(0则f′(a)=12a3-6a5=-6a3(a2-2),
令f′(a)=0,
解得a=.
因为当a∈(0,)时,f′(a)>0;
当a∈(,)时,f′(a)<0,
所以函数f(a)在(0,)上单调递增,
在(,)上单调递减.
所以f(a)在a=处取得极大值.
因为函数f(a)在区间(0,)上有唯一的极值点,所以f(a)有最大值f()=4.
所以(V三棱柱)max==1.
1.已知正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的侧面积为________.
答案 a2
解析 如图,在正三棱锥S—ABC中,过点S作SO⊥平面ABC于点O,则O为△ABC的中心,连结AO并延长与BC相交于点M,连结SM,SM即为斜高h′,在Rt△SMO中,
h′==a,
所以侧面积S=3××a×a=a2.
易错提醒 本题易错点在于寻求正三棱锥的斜高和高的关系,在求此类问题时,要把已知和要求的量整合到一个三角形中求解.
2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为________.
答案 144π
解析 易知△AOB的面积确定,若三棱锥O-ABC的底面AOB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,所以(VO-ABC)max=×R2×R=36,解得R=6.故S球=4πR2=144π.
易错提醒 多面体与球的切、接问题,要明确切点、接点的位置,利用合适的截面图确定两者的关系,要熟悉长方体与球的各种组合.
1.(2019·常熟期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,CC1=3,点D为侧棱BB1上的一个动点,当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为________.
答案 
解析 将平面AA1B1B与平面CC1B1B展开到一个平面AA1MN(C1→M,C→N),
如图,连结AM交BB1于D,则此时AD+DC1=AD+DM最小,
由△ABD≌△MB1D,可得D是BB1的中点,
因为ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,
所以C1到A1B1的距离就是C1到平面AA1B1B的距离,
即C1到平面ABD的距离为×2=,
所以==S△ABD×
=××2××=.
2.如图,侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面△AEF,则截面△AEF的周长的最小值为____________.
答案 6
解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图,
则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°.
在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.
3.如图,在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上、下底面为底面、共顶点的两个圆锥,剩余部分的体积为V2,则=________.
答案 
解析 设上、下圆锥的高分别为h1,h2,圆柱的底面圆的半径为r,圆柱的高为h,
则===.
4.已知A,B,C三点在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,则球O的表面积为________.
答案 6π
解析 设球的半径为r,O′是△ABC的外心,△ABC的外接圆半径为R=,∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的,∴r2-r2=,得r2=,球的表面积S=4πr2=4π×=6π.
5.已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面为正三角形,AA1=BB1=CC1=A1B1=,AB=2,则三棱台ABC-A1B1C1的外接球的表面积为________.
答案 
解析 设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O,O1,
由AA1=BB1=CC1=A1B1=,AB=2,
可得OA=2,O1A1=1则OO1=.设外接球的半径为R,
如果外接球的球心在线段O1O上,则+=,化简得=-,显然不成立,所以球心在O1O的延长线上,
则-=,解得R2=,
所以外接球的表面积为.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=60°,PA+AB=6,AD=3,则当四棱锥P-ABCD的体积最大时,AB=________.
答案 2-2
解析 作AH⊥BC于点H,设BH=x(0则AB=2x,AH=x,
所以梯形ABCD的面积
S=(x+3+3)×x=x(x+6).
因为PA+AB=6,
所以四棱锥P-ABCD的高PA=6-2x,
所以四棱锥P-ABCD的体积
V=×x(x+6)×(6-2x)=(-x3-3x2+18x).
设f(x)=-x3-3x2+18x,x∈(0,3),
则f′(x)=-3x2-6x+18=-3(x2+2x-6).
令f′(x)=0,解得x=-1或x=--1(舍去),
所以f(x)在区间(0,-1)内单调递增,在区间(-1,3)内单调递减,所以当x=-1时,f(x)取得最大值,
即四棱锥P-ABCD的体积V取得最大值,此时AB=2x=2-2.
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