课件29张PPT。第13练
空间点、线、面的位置关系第三篇 [小题提速练]明晰考情 1.以填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，难度中档偏下.
2.判断空间的平行、垂直关系.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 空间线面位置关系的判断要点重组 判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了.如果要否定一结论，只需找到一个反例即可.1.下列命题中正确的是________.(填序号)
①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；
③空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④平面α和平面β可以只有一个交点.解析 借助三棱柱，可知②错误；
借助正四面体，可知③错误；
由公理2，可知④错误；
由推论1，可知①正确.①2.在正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱中，与直线AA1异面的棱有________条.4解析 与棱AA1异面的有BC，CD，C1D1，B1C1.3.已知α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
④若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β.
其中所有正确命题的序号是________.②③解析 若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m?α；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β或α，β相交，所以正确命题的序号是②③.4.(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________________________________.解析 若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③?②正确；
若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α相交但可以不垂直，故①②?③不正确；
若l⊥α，m∥α，则l垂直于α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③?①正确.若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)题组二 空间中的平行、垂直关系方法技巧 (1)利用平面图形中的线的平行判断平行关系：
①比例线求证平行，特别是三角形中位线定理；②平行四边形的对边互相平行；③同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行.
(2)熟练把握平面图形中的垂直关系
①等腰三角形的底边上的中线和高重合；
②菱形的对角线互相垂直；
③圆的直径所对的圆周角为直角；
④勾股定理得垂直.
(3)空间中平行与垂直的实质是转化与化归思想在空间中的体现.5.(2019·苏州期末)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m?β，α∥β，则m∥α.
正确命题的序号是________.③解析 由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，n∥α，
则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若m⊥α，m⊥n，
则n∥α或n?α，故②错误；
在③中，若m?β，α∥β，
则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确.6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为_____________.解析 ∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E，F分别是棱AD，DD1的中点，
∴EF∥AD1∥BC1.
∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
∴EF∥平面BCC1B1.解析 取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC，PE?平面PAB，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC，连结CE，CE?平面ABC，∴PE⊥CE.
又∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，78.已知等腰直角三角形BCD的腰长为2，将平面BCD沿斜边BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如图所示，O为BD的中点，若
AC＝2，则三棱锥A－BCD的体积为________.解析 由题意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，
所以AO⊥CO.
因为AO是等腰直角三角形ABD斜边上的中线，
所以AO⊥BD.因为CO∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，易错易混练1.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是________.①④解析 m∥n，m⊥α?n⊥α，故①正确；
α∥β，m?α，n?β?m∥n或m，n异面，故②不正确；
m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故③不正确；
α∥β，m∥n，m⊥α可以先得到n⊥α，进而得到n⊥β，故④正确.综上可知①④正确.易错提醒 线面关系的判断要结合空间模型(如长方体、正四面体等)或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想.2.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连结AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法正确的是________.(填序号)
①AC∥平面BEF；
②B，C，E，F四点不可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直.①②③解析 说法①，连结BD，交AC于点O，取BE的中点M，连结OM，FM，则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；
说法②，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；
说法③，连结FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；
说法④，延长AF至G，使AF＝FG，连结BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于点N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.综上①②③正确.易错提醒 折叠问题解题的关键在于折叠前后线面关系的变化，要注意翻折后还在同一平面上的元素位置关系和度量关系都不发生变化.押题冲刺练1234561.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的命题是________.(填序号)②③123456解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；
垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；
当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；
当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也可以平行，故④不正确.123456①②③2.已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AB，M，N分别是PC，AB的中点，则下列命题中正确的是________(填序号).
①MN∥平面PAD；
②MN⊥平面PCD；
③平面PCD⊥平面PAD；
④平面PAD⊥平面PBC.123456解析 如图，取PD的中点为Q，连接AQ，MQ，则易知MQ∥AN且MQ＝AN，所以MN∥AQ，所以MN∥平面PAD，故①正确；易知CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，故③正确；
因为PA＝AD，所以AQ⊥PD.又易知CD⊥AQ，所以AQ⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD，故②正确；
过点P作AD的平行线l，则l为平面PAD与平面PBC的交线，且PA⊥l，PB⊥l，所以∠APB即为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角，易求得∠APB＝45°，故正确的命题是①②③.1234563.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是________.平行123456解析 连结CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQ∥DC，PQ＝DC，
所以四边形DPQC为平行四边形，
所以DP∥CQ.
又DP?平面ABC，CQ?平面ABC，
所以DP∥平面ABC.123456解析 作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥DE，4.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.1234565.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(点A′不与点F重合)，则下列命题中正确的是________.(把所有正确的序号都填上)
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值.①②③解析 ①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大.1234566.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则
GH＝________.123456解析 由ABCD是平行四边形，
得AB∥CD，且AB＝CD，
又E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
∴△AEH≌△FDH，∴EH＝DH.
∵平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，
∴GH∥PE，则G是PD的中点.
∵PA＝PB＝AB＝2， 本课结束 第三篇 第13练 空间点、线、面的位置关系[小题提速练]
[明晰考情] 1.以填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，难度中档偏下.2.判断空间的平行、垂直关系．
题组一 空间线面位置关系的判断
要点重组 判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如果要否定一结论，只需找到一个反例即可．
1．下列命题中正确的是________．(填序号)
①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；
③空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④平面α和平面β可以只有一个交点．
答案 ①
解析 借助三棱柱，可知②错误；
借助正四面体，可知③错误；
由公理2，可知④错误；
由推论1，可知①正确．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱中，与直线AA1异面的棱有________条．
答案 4
解析 与棱AA1异面的有BC，CD，C1D1，B1C1.
3．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
④若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β.
其中所有正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m?α；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β或α，β相交，所以正确命题的序号是②③.
4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.
答案 若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)
解析 若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③?②正确；若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α相交但可以不垂直，故①②?③不正确；若l⊥α，m∥α，则l垂直于α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③?①正确．
题组二 空间中的平行、垂直关系
方法技巧 (1)利用平面图形中的线的平行判断平行关系：
①比例线求证平行，特别是三角形中位线定理；②平行四边形的对边互相平行；③同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行．
(2)熟练把握平面图形中的垂直关系
①等腰三角形的底边上的中线和高重合；
②菱形的对角线互相垂直；
③圆的直径所对的圆周角为直角；
④勾股定理得垂直．
(3)空间中平行与垂直的实质是转化与化归思想在空间中的体现．
5．(2019·苏州期末)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m?β，α∥β，则m∥α.
正确命题的序号是________．
答案 ③
解析 由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，n∥α，
则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若m⊥α，m⊥n，
则n∥α或n?α，故②错误；
在③中，若m?β，α∥β，
则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为________．
答案 6＋4
解析 ∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E，F分别是棱AD，DD1的中点，
∴EF∥AD1∥BC1.
∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
∴EF∥平面BCC1B1.
由正方体的棱长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2为腰，EF＝2为上底，BC1＝2EF＝4为下底的等腰梯形，故周长为6＋4.
7.如图，在四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
答案 7
解析 取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC，PE?平面PAB，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC，连结CE，CE?平面ABC，∴PE⊥CE.
又∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝2，PE＝＝，
CE＝＝，PC＝＝7.
8.已知等腰直角三角形BCD的腰长为2，将平面BCD沿斜边BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如图所示，O为BD的中点，若AC＝2，则三棱锥A－BCD的体积为________．
答案
解析 由题意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，从而根据等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO＝CO＝，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因为AO是等腰直角三角形ABD斜边上的中线，所以AO⊥BD.因为CO∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则其体积为××2×2×＝.
1．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是________．
答案 ①④
解析 m∥n，m⊥α?n⊥α，故①正确；
α∥β，m?α，n?β?m∥n或m，n异面，故②不正确；
m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故③不正确；
α∥β，m∥n，m⊥α可以先得到n⊥α，进而得到n⊥β，故④正确．综上可知①④正确．
易错提醒 线面关系的判断要结合空间模型(如长方体、正四面体等)或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想．
2．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连结AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法正确的是________．(填序号)
①AC∥平面BEF；
②B，C，E，F四点不可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直．
答案 ①②③
解析 说法①，连结BD，交AC于点O，取BE的中点M，连结OM，FM，则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；说法②，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；说法③，连结FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；说法④，延长AF至G，使AF＝FG，连结BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于点N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．综上①②③正确．
易错提醒 折叠问题解题的关键在于折叠前后线面关系的变化，要注意翻折后还在同一平面上的元素位置关系和度量关系都不发生变化．
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ②③
解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也可以平行，故④不正确．
2．已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AB，M，N分别是PC，AB的中点，则下列命题中正确的是________(填序号)．
①MN∥平面PAD；
②MN⊥平面PCD；
③平面PCD⊥平面PAD；
④平面PAD⊥平面PBC.
答案 ①②③
解析 如图，取PD的中点为Q，连接AQ，MQ，则易知MQ∥AN且MQ＝AN，所以MN∥AQ，所以MN∥平面PAD，故①正确；易知CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，故③正确；因为PA＝AD，所以AQ⊥PD.又易知CD⊥AQ，所以AQ⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD，故②正确；过点P作AD的平行线l，则l为平面PAD与平面PBC的交线，且PA⊥l，PB⊥l，所以∠APB即为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角，易求得∠APB＝45°，故正确的命题是①②③.
3．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点．则直线DP与平面ABC的位置关系是________．
答案 平行
解析 连结CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，
所以PQ∥BE，PQ＝BE.
又DC∥EB，DC＝EB，
所以PQ∥DC，PQ＝DC，
所以四边形DPQC为平行四边形，
所以DP∥CQ.
又DP?平面ABC，CQ?平面ABC，
所以DP∥平面ABC.
4．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.
答案
解析 作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥DE，
所以DE⊥CE，在Rt△ACE中，
CE＝＝＝3，
在Rt△CED中，CD＝＝.
5.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(点A′不与点F重合)，则下列命题中正确的是________．(把所有正确的序号都填上)
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
答案 ①②③
解析 ①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．
6．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
答案
解析 由ABCD是平行四边形，
得AB∥CD，且AB＝CD，
又E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
∴△AEH≌△FDH，∴EH＝DH.
∵平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，
∴GH∥PE，则G是PD的中点．
∵PA＝PB＝AB＝2，
∴PE＝2×sin 60°＝，∴GH＝PE＝.
