课件28张PPT。第14练
空间的平行与垂直第三篇 [大题规范练]明晰考情 空间中线线、线面、面面的平行与垂直的证明问题是高考的基本考查形式，题目中低档，对答题的规范性要求较高.题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 平行与垂直的证明问题要点重组 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.
(2)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
②利用勾股定理的逆定理；
③利用线面垂直的性质.1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2AB＝2 ，AD＝2，E是BC上一点，且BC＝3BE.
(1)求证：BC⊥平面PDE；证明 ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
过E作EG⊥CD，垂足为G，∴DE2＋CE2＝2EG2＋DG2＋CG2＝8＝CD2，
∴CE⊥DE，即BC⊥DE.
∵PD∩DE＝D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴BC⊥平面PDE.(2)若F是PA的中点，求证：PC∥平面DEF.证明 连结AC，交DE于O，连结FO.
延长线段DE，交AB的延长线于H，连结CH，即CD＝2BH，
又∵CD＝2AB，
∴AH＝CD，又CD∥AB，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
∵F是PA的中点，∴PC∥FO，
∵FO?平面DEF，PC?平面DEF，
∴PC∥平面DEF.2.(2019·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；证明 因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.(2)BE⊥C1E.证明 因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，
所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，
C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.题组二 立体几何的综合问题要点重组 (1)和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系.
(2)立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明.3.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图②所示.
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；证明 ∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，
又∵EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，
∴DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F；证明 ∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，
A1E，EF?平面A1EF，
∴BD⊥平面A1EF，又A1F?平面A1EF.∴BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由.解 直线A1B与直线CD不垂直，理由如下：
假设A1B⊥CD，
∵平面A1BD⊥平面BCD，
A1E⊥BD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，
∴A1E⊥平面BCD，又∵CD?平面BCD，
∴A1E⊥CD，
又∵A1E∩A1B＝A1，A1E，A1B?平面A1BD，
∴CD⊥平面A1BD，∵BD?平面A1BD，
∴CD⊥BD.
这与A1E⊥BD矛盾，故A1B与CD不垂直.4.(2019·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证：BD⊥平面PAC；证明 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；证明 因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.解 棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连结CF，FG，EG，因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG.
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE.模板规范练典例 (14分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.
求证：(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAH⊥平面DEF.模板体验审题路线图规范解答·评分标准
证明 (1)取PD的中点M，连结FM，AM.
∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴AE∥FM且AE＝FM，
则四边形AEFM为平行四边形，
∴AM∥EF.……………………………………………………………………………4分
又∵EF?平面PAD，
AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD. ……………………………………………………………………6分(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，
PA⊥AD，PA?平面PAD，
侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴PA⊥底面ABCD.∵DE?底面ABCD，∴DE⊥PA.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
则∠BAH＝∠ADE，
∴∠BAH＋∠AED＝90°，
则DE⊥AH. ……………………………………………………………………………10分
∵PA?平面PAH，AH?平面PAH，PA∩AH＝A，
∴DE⊥平面PAH. ……………………………………………………………………12分
∵DE?平面DEF，
∴平面PAH⊥平面DEF. ………………………………………………………………14分构建答题模板
[第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.
[第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.
[第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.
[第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.规范演练1.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1，设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.
求证：(1)DE∥平面ABB1A1；证明 因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以侧面ACC1A1为平行四边形，
又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，
同理，E为BC1的中点.所以DE∥AB.
又AB?平面ABB1A1，DE?平面ABB1A1，
所以DE∥平面ABB1A1.(2)BC1⊥平面A1B1C.证明 因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面A1B1C1.
又因为A1B1?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，
又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1?平面BCC1B1，
BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
又因为BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.
又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C.2.(2019·南通期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1.
求证：(1)OD∥平面A1ABB1；证明 连结AB1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，
四边形B1C1CB为平行四边形，
因为O为平行四边形B1C1CB对角线的交点，所以O为B1C的中点.
又D是AC的中点，从而在△ACB1中，有OD∥AB1，
又OD?平面A1ABB1，AB1?平面A1ABB1，
所以OD∥平面A1ABB1.(2)平面A1C1CA⊥平面BC1D.证明 在△ABC中，因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
又因为AC⊥BC1，
BC1∩BD＝B，BC1，BD?平面BC1D，
所以AC⊥平面BC1D，
因为AC?平面A1C1CA，
所以平面A1C1CA⊥平面BC1D. 本课结束 第三篇 第14练 空间的平行与垂直[大题规范练]
[明晰考情] 空间中线线、线面、面面的平行与垂直的证明问题是高考的基本考查形式，题目中低档，对答题的规范性要求较高．
题组一 平行与垂直的证明问题
要点重组 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系．
(2)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
②利用勾股定理的逆定理；
③利用线面垂直的性质．
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝2，E是BC上一点，且BC＝3BE.
(1)求证：BC⊥平面PDE；
(2)若F是PA的中点，求证：PC∥平面DEF.
证明 (1)∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
过E作EG⊥CD，垂足为G，
∵CD＝2AB＝2，AD＝2，BC＝3BE，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴EG＝AD＝，DG＝，CG＝，
∴DE2＋CE2＝2EG2＋DG2＋CG2＝8＝CD2，
∴CE⊥DE，即BC⊥DE.
∵PD∩DE＝D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴BC⊥平面PDE.
(2)连结AC，交DE于O，连结FO.
延长线段DE，交AB的延长线于H，
连结CH，
∵BC＝3BE，∴＝＝，
即CD＝2BH，
又∵CD＝2AB，
∴AH＝CD，又CD∥AB，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
∵F是PA的中点，∴PC∥FO，
∵FO?平面DEF，PC?平面DEF，
∴PC∥平面DEF.
2．(2019·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E.
证明 (1)因为D，E分别为BC，
AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，
所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，
C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
题组二 立体几何的综合问题
要点重组 (1)和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系．
(2)立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明．
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图②所示．
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；
(2)求证：BD⊥A1F；
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．
(1)证明 ∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，
又∵EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，
∴DM∥平面A1EF.
(2)证明 ∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，
A1E，EF?平面A1EF，
∴BD⊥平面A1EF，又A1F?平面A1EF.∴BD⊥A1F.
(3)解 直线A1B与直线CD不垂直，理由如下：
假设A1B⊥CD，
∵平面A1BD⊥平面BCD，
A1E⊥BD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，
∴A1E⊥平面BCD，又∵CD?平面BCD，
∴A1E⊥CD，
又∵A1E∩A1B＝A1，A1E，A1B?平面A1BD，
∴CD⊥平面A1BD，∵BD?平面A1BD，
∴CD⊥BD.
这与A1E⊥BD矛盾，故A1B与CD不垂直．
4．(2019·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明 因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)解 棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连结CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
典例 (14分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．
求证：(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAH⊥平面DEF.
审题路线图
(1)―→―→
(2)―→
―→―→
规范解答·评分标准
证明 (1)取PD的中点M，连结FM，AM.
∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，
∴FM∥CD且FM＝CD.
∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD，
∴AE∥FM且AE＝FM，
则四边形AEFM为平行四边形，
∴AM∥EF.………………………………………………………………………………………4分
又∵EF?平面PAD，
AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD. ………………………………………………………………………………6分
(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，
PA⊥AD，PA?平面PAD，
侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴PA⊥底面ABCD.∵DE?底面ABCD，∴DE⊥PA.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
则∠BAH＝∠ADE，
∴∠BAH＋∠AED＝90°，
则DE⊥AH. ……………………………………………………………………………………10分
∵PA?平面PAH，AH?平面PAH，PA∩AH＝A，
∴DE⊥平面PAH. ……………………………………………………………………………12分
∵DE?平面DEF，
∴平面PAH⊥平面DEF. ………………………………………………………………………14分
构建答题模板
[第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．
[第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．
[第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．
[第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤．
1．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1，设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.
求证：(1)DE∥平面ABB1A1；
(2)BC1⊥平面A1B1C.
证明 (1)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以侧面ACC1A1为平行四边形，
又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，
同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.
又AB?平面ABB1A1，DE?平面ABB1A1，
所以DE∥平面ABB1A1.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面A1B1C1.
又因为A1B1?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，
又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1?平面BCC1B1，
BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
又因为BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.
又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C.
2.(2019·南通期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1.
求证：(1)OD∥平面A1ABB1；
(2)平面A1C1CA⊥平面BC1D.
证明 (1)连结AB1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，
四边形B1C1CB为平行四边形，
因为O为平行四边形B1C1CB对角线的交点，所以O为B1C的中点．
又D是AC的中点，从而在△ACB1中，有OD∥AB1，
又OD?平面A1ABB1，AB1?平面A1ABB1，
所以OD∥平面A1ABB1.
(2)在△ABC中，因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
又因为AC⊥BC1，
BC1∩BD＝B，BC1，BD?平面BC1D，
所以AC⊥平面BC1D，
因为AC?平面A1C1CA，
所以平面A1C1CA⊥平面BC1D.
