课件43张PPT。第15练
不等式第三篇 [小题提速练]明晰考情 1.基本不等式和一元二次不等式是C级要求，也是高考的必考点.
2.线性规划掌握基础步骤即可，时有考查.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 不等式的性质及解法要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.
(3)解含参数不等式要正确分类讨论.P
m>n>0，∴a2>m2>n2，
∴0∴P2①若a>b，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若aab>b2；③④其中真命题的序号为________.解析 ①因为未知数c可以是正数、负数或零，所以无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；
②因为c2≥0，所以只有c2≠0时才正确.当c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；
③由aab；ab2，所以是真命题；3.用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{x＋3，－x2＋3x＋6}，则不等式f(x－1)<2的解集为_____________.{x|x<0或x>5}解析 画出y＝x＋3与y＝－x2＋3x＋6的图象如图所示，故f(x)的图象如图中的粗线部分所示，
由f(x)<2，作出直线y＝2，数形结合得x<－1或x>4，
则由不等式f(x－1)<2，可得x－1<－1或x－1>4，得x<0或x>5.当1当2则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…，由此作出函数f(x)的图象，如图所示.整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，题组二 基本不等式适用条件：一正二定三相等.
(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，0题组三 简单的线性规划问题(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝PM2.3解析 由约束条件画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.10.(2019·北京改编)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为________.5如图中阴影部分(含边界)所示，
作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.2解析 分别作出平面区域D和Ω，如图中阴影部分(含边界)所示.由图可知P，Q两点间距离的最大值为点P到圆心E的最大值与圆的半径之和.易错易混练(－2,2]解析 ∵y＝ln(x－1)的值域为R，∴A＝R.解得x≤－2或x>2.
∴B＝{x|x≤－2或x>2}.
∴?RB＝(－2,2]，∴A∩(?RB)＝(－2,2].(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解.解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
所以－m－2n＝－2，易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求.押题冲刺练1234561.(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________.1234562.已知函数f(x)＝ 则不等式|f(x)|≥1的解集为____________________.解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，1234563.已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab＝________.9解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，123456(－∞，－9]∪[0，＋∞)123456由图知，z的取值范围是(－∞，－9]∪[0，＋∞).1234565.某玩具厂拟定生产两款新毛绒玩具样品，一款为毛绒小猪，另一款为毛绒小狗.由设计图知，生产这两款毛绒玩具均需相同材质的填充物、长毛绒、天鹅绒，且每个毛绒小猪需填充物1 200 g、长毛绒25 cm、天鹅绒30 cm，每个毛绒小狗需填充物720 g、长毛绒15 cm、天鹅绒9 cm.现有所需填充物144 000 g、长毛绒3 000 cm、天鹅绒2 700 cm，若每个毛绒小猪与毛绒小狗的出厂价分别为64元、36元，则生产这批毛绒玩具的最大销售额为________元.7 440123456解析 设生产毛绒小猪x个，毛绒小狗y个，销售额z＝64x＋36y.
作出可行域，如图中阴影部分(含边界)包含的整数点，
由图象知，当z＝64x＋36y经过点A(60,100)时取得最大值，即zmax＝64×60＋36×100＝7 440.123456123456123456 本课结束 第三篇 第15练 不等式[小题提速练]
[明晰考情] 1.基本不等式和一元二次不等式是C级要求，也是高考的必考点.2.线性规划掌握基础步骤即可，时有考查．
题组一 不等式的性质及解法
要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解含参数不等式要正确分类讨论．
1．若a>m>n>0，则P＝＋与Q＝＋的大小关系为________．
答案 P解析 平方作差可得，P2－Q2＝2－2，∵a>m>n>0，∴a2>m2>n2，∴0∴P22．对于实数a，b，c，下列命题中：
①若a>b，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若aab>b2；
④若a；
⑤若a.
其中真命题的序号为________．
答案 ③④
解析 ①因为未知数c可以是正数、负数或零，所以无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；②因为c2≥0，所以只有c2≠0时才正确．当c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；③由aab；ab2，所以是真命题；④由性质定理知，由a，命题是真命题；⑤由a得得>，命题是假命题．
3．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{x＋3，－x2＋3x＋6}，则不等式f(x－1)<2的解集为________．
答案 {x|x<0或x>5}
解析 画出y＝x＋3与y＝－x2＋3x＋6的图象如图所示，
由图易得f(x)＝
故f(x)的图象如图中的粗线部分所示，由f(x)<2，作出直线y＝2，数形结合得x<－1或x>4，
则由不等式f(x－1)<2，可得x－1<－1或x－1>4，得x<0或x>5.
4．(2019·全国Ⅱ改编)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是________．
答案
解析 当－1则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…，由此可得
f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2题组二 基本不等式
要点重组 (1)基本不等式：≥，a>0，b>0；
变形：ab≤2，
适用条件：一正二定三相等．
(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
5．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
∴2a＋＝2a＋2－3b≥2
＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当
即时取等号，
则所求最小值为.
6．设x>0，则y＝x＋－的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x＝时取等号，则所求最小值为0.
7．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是________．
答案
解析 ＋
＝·
＝
≥
＝，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时取等号，
则＋的最小值是.
8．(2019·天津)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
答案 4
解析 ＝＝＝2＋ .由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.
题组三 简单的线性规划问题
要点重组 (1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝PM2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
9．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
答案 3
解析 由约束条件画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
的几何意义是可行域内的点(x，y)与原点O连线的斜率，所以的最大值即为直线OA的斜率．又由得点A的坐标为(1,3)，则max＝kOA＝3.
10．(2019·北京改编)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为________．
答案 5
解析 令z＝3x＋y，画出约束条件即或表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.
11．已知实数x，y满足约束条件若z＝3x－2y的最大值为3，则m＝________.
答案 2
解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示由z＝3x－2y得y＝x－z，
当截距－最小时，z取最大值．
此时最优解为C，
故3×－2×＝3，解得m＝2.
12．记不等式组表示的平面区域为D，不等式(x－1)2＋(y＋1)2≤1表示的平面区域为Ω，若点P∈D，Q∈Ω，则P，Q两点间距离的最大值为________．
答案
解析 分别作出平面区域D和Ω，如图中阴影部分(含边界)所示．
由图可知P，Q两点间距离的最大值为点P到圆心E的最大值与圆的半径之和．
由得C.
由得A.
又E(1，－1)，所以AE＝，CE＝，又AE>CE，
∴P，Q两点间距离的最大值为AE＋1＝.
1．已知集合A＝{y|y＝ln(x－1)}，B＝，则A∩(?RB)＝________.
答案 (－2,2]
解析 ∵y＝ln(x－1)的值域为R，∴A＝R.
又≥1，即≥0，
解得x≤－2或x>2.
∴B＝{x|x≤－2或x>2}．
∴?RB＝(－2,2]，∴A∩(?RB)＝(－2,2]．
易错提醒 (1)因为集合A的代表元素是y，所以集合A表示函数y＝ln(x－1)的值域．因为集合B的代表元素是x，所以集合B表示分式不等式≥1的解集，此时易误将≥1变形为2x≥x－2.
(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解．
2．函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则＋的最小值为________．
答案
解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
所以－m－2n＝－2，
即＋n＝1，
所以＋＝＝＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，
即m＝2－2，n＝2－时取等号．
易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求．
1．(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．
答案
解析 3x2＋x－2＜0变形为(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥1的解集为________．
答案 ∪[2，＋∞)
解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，
由图可知|f(x)|≥1的解集为
∪[2，＋∞)．
3．已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab＝________.
答案 9
解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，
又a>2，b>1，∴＋≤1，
∴2a＋b≥(2a＋b)＝≥5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时上述等号同时成立．∴ab＝9.
4．设x，y满足约束条件则z＝的取值范围是________．
答案 (－∞，－9]∪[0，＋∞)
解析 画出表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
z＝表示可行域内的点P(x，y)与点A(－1,0)连线的斜率，
由得C，kAC＝＝－9，
由得B(3,0)，kAB＝0，
由图知，z的取值范围是(－∞，－9]∪[0，＋∞)．
5．某玩具厂拟定生产两款新毛绒玩具样品，一款为毛绒小猪，另一款为毛绒小狗．由设计图知，生产这两款毛绒玩具均需相同材质的填充物、长毛绒、天鹅绒，且每个毛绒小猪需填充物1 200 g、长毛绒25 cm、天鹅绒30 cm，每个毛绒小狗需填充物720 g、长毛绒15 cm、天鹅绒9 cm.现有所需填充物144 000 g、长毛绒3 000 cm、天鹅绒2 700 cm，若每个毛绒小猪与毛绒小狗的出厂价分别为64元、36元，则生产这批毛绒玩具的最大销售额为________元．
答案 7 440
解析 设生产毛绒小猪x个，毛绒小狗y个，
则由题意得即
销售额z＝64x＋36y.
作出可行域，如图中阴影部分(含边界)包含的整数点，
由图象知，当z＝64x＋36y经过点A(60,100)时取得最大值，即zmax＝64×60＋36×100＝7 440.
6．若正实数x，y满足x＋2y＝5，则＋的最大值是________．
答案
解析 ＋＝＋2y－
＝(x＋1)－2＋2y－
＝x＋2y－1－(x＋1＋2y)
＝4－
≤4－
＝4－(4＋2)＝.
当且仅当＝，x＋2y＝5，即x＝2，y＝时取等号．
故＋的最大值是.
