第1章 1.2.2 组合试题
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1.2.2 组合
课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A与组合数C之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．
1．组合
一般地，从n个________元素中，任意________________________________，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
2．组合数与组合数公式
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
________________，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的组合数
表示法
组合数
公式
乘积
形式
C＝____________________
阶乘
形式
C＝________
性质
C＝____________；
C＝________＋________
备注
①n，m∈N*且m≤n
②规定C＝1
3.排列与组合
(1)两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；
(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．
一、选择题
1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种 C．10种 D．6种
2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．4 C．12 D．24
3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．A·A种 D．C·C种
4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为( )
A．32 B．31 C．25 D．10
5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．CA B．CA
C．CA D．CA
二、填空题
7．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．
8．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．
9．若对?x∈A，有∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合，则集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．
三、解答题
10．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？
(1)没有次品；(2)恰有2件是次品；(3)至少有2件是次品．
11．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？
能力提升
12．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．
13．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？
解答组合应用题的总体思路
1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理．
2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步乘法计数原理．
3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．
4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．
1．2.2 组合
答案
知识梳理
1．不同 取出m(m≤n)个元素合成一组
2．所有不同组合的个数 C
C C C 1
3．(2)有关 无关
作业设计
1．C [所求为5选3的组合数C＝10(种)．]
2．B
3．D [每个被选的人都无角色差异，是组合问题．
分2步完成：
第1步，选女工，有C种选法；
第2步，选男工，有C种选法；
故有C·C种不同选法．]
4．B [因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．
开1个灯有C种方法，开2个灯有C种方法，……5个灯全开有C种方法，根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有C＋C＋…＋C＝31(种)．]
5．C [若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C种选法，然后4日、5日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；
若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有CCC＝12(种)安排方法；
若甲、乙都在5日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．
所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]
6．C [从后排8人中选2人，有C种选法，这2人插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先向前排4人中(5个空档)插入1人，有5种插法，余下的1人则要插入前排5人中(6个空档)，有6种插法，即2人共有A种插法，所以共有CA种不同调整方法．]
7．600
解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C·A＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A＝120(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．
8．432
解析 分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种；
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种；
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法共有C·C·C·C·A＋C·C·A＋C·C·A＝432(种)．
9．15
解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3，共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C＋C＋C＋C＝15.
10．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C＝64446024(种)．
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有CC＝442320(种)．
(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：
第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有CC种．
第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有CC种．
按分类加法计数原理有CC＋CC＝446976(种)．
11．解 设A，B代表2名老师傅．
A，B都不在内的选派方法有C·C＝5(种)；
A，B都在内且当钳工的选派方法有C·C·C＝10(种)；
A，B都在内且当车工的选派方法有C·C·C＝30(种)；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C·A·C·C＝80(种)；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C·C·C＝20(种)；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有C·C·C＝40(种)；
所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．
12．90
解析 分成3组有＝15(种)分法．分赴世博会三个场馆有A＝6(种)方法，∴共有15×6＝90(种)．
13．解 设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C种选法．因是分步问题，所以有C·C种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有C种选法，在C中选1人，有C种选法，划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人，有C种选法．因是分步问题，所以有C·C·C种选法．类似地，第③类，有C·C·C种选法，第④类有C·C·C种选法．
所以一共有C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝84＋840＋1050＋200＝2174种选法．
课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A与组合数C之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．
1．组合
一般地，从n个________元素中，任意________________________________，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
2．组合数与组合数公式
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
________________，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的组合数
表示法
组合数
公式
乘积
形式
C＝____________________
阶乘
形式
C＝________
性质
C＝____________；
C＝________＋________
备注
①n，m∈N*且m≤n
②规定C＝1
3.排列与组合
(1)两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；
(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．
一、选择题
1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种 C．10种 D．6种
2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．4 C．12 D．24
3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．A·A种 D．C·C种
4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为( )
A．32 B．31 C．25 D．10
5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．CA B．CA
C．CA D．CA
二、填空题
7．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．
8．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．
9．若对?x∈A，有∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合，则集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．
三、解答题
10．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？
(1)没有次品；(2)恰有2件是次品；(3)至少有2件是次品．
11．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？
能力提升
12．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．
13．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？
解答组合应用题的总体思路
1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理．
2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步乘法计数原理．
3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．
4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．
1．2.2 组合
答案
知识梳理
1．不同 取出m(m≤n)个元素合成一组
2．所有不同组合的个数 C
C C C 1
3．(2)有关 无关
作业设计
1．C [所求为5选3的组合数C＝10(种)．]
2．B
3．D [每个被选的人都无角色差异，是组合问题．
分2步完成：
第1步，选女工，有C种选法；
第2步，选男工，有C种选法；
故有C·C种不同选法．]
4．B [因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．
开1个灯有C种方法，开2个灯有C种方法，……5个灯全开有C种方法，根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有C＋C＋…＋C＝31(种)．]
5．C [若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C种选法，然后4日、5日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；
若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有CCC＝12(种)安排方法；
若甲、乙都在5日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．
所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]
6．C [从后排8人中选2人，有C种选法，这2人插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先向前排4人中(5个空档)插入1人，有5种插法，余下的1人则要插入前排5人中(6个空档)，有6种插法，即2人共有A种插法，所以共有CA种不同调整方法．]
7．600
解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C·A＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A＝120(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．
8．432
解析 分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种；
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种；
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法共有C·C·C·C·A＋C·C·A＋C·C·A＝432(种)．
9．15
解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3，共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C＋C＋C＋C＝15.
10．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C＝64446024(种)．
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有CC＝442320(种)．
(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：
第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有CC种．
第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有CC种．
按分类加法计数原理有CC＋CC＝446976(种)．
11．解 设A，B代表2名老师傅．
A，B都不在内的选派方法有C·C＝5(种)；
A，B都在内且当钳工的选派方法有C·C·C＝10(种)；
A，B都在内且当车工的选派方法有C·C·C＝30(种)；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C·A·C·C＝80(种)；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C·C·C＝20(种)；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有C·C·C＝40(种)；
所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．
12．90
解析 分成3组有＝15(种)分法．分赴世博会三个场馆有A＝6(种)方法，∴共有15×6＝90(种)．
13．解 设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C种选法．因是分步问题，所以有C·C种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有C种选法，在C中选1人，有C种选法，划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人，有C种选法．因是分步问题，所以有C·C·C种选法．类似地，第③类，有C·C·C种选法，第④类有C·C·C种选法．
所以一共有C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝84＋840＋1050＋200＝2174种选法．