第1章 1.3.1 二项式定理试题

1.3　二项式定理
1.3.1　二项式定理
课时目标1.掌握二项式定理，掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明．
1．二项式定理
(1)二项展开式：(a＋b)n＝________________________________________，叫做二项式定理．
(2)(a＋b)n的二项展开式共有________项，其中各项的系数________(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．
2．二项展开式的通项
(a＋b)n的二项展开式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝____________.
一、选择题
1．(2x＋3y)8展开式的项数为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．7
2．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)n·C等于(　　)
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
3．在(x2－)5的二项展开式中，含x4的项的系数是(　　)
A．－10 B．10 C．－5 D．5
4．(－)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是(　　)
A．0 B．2 C．4 D．6
5．如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(　　)
A．3 B．5 C．6 D．10
6．(1＋)6(1＋)10展开式的常数项为(　　)
A．1 B．46 C．4245 D．4246
二、填空题
7．(－)6的展开式中，x3的系数为________．
8．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.
9．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为______．
三、解答题
10．求230－3除以7的余数．
11．已知(－)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中含x的项．
能力提升
12．若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
13．若(＋)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项．
1．通项公式Tr＋1＝Can－rbr(n∈N＋，r＝0,1,2，…，n)中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项)．
2．运用二项式定理可以解决一些多项式化简、整除问题、近似计算问题等．
1．3　二项式定理
1．3.1　二项式定理
答案
知识梳理
1．(1)Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)　(2)n＋1　C
2．Can－rbr　Can－rbr
作业设计
1．B
2．C　[1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)n·C＝(1－2)n＝(－1)n.]
3．B　[∵(x2－)5的二项展开式的通项
Tr＋1＝C(x2)5－r(－)r＝C·(－1)rx10－3r
令10－3r＝4，∴r＝2.∴x4的系数是C(－1)2＝10.]
4．B　[Tr＋1＝Cx·(－)r·x－r
＝C(－)r·x.
若是正整数指数幂，则有为正整数，
∴r可以取0,2，∴项数为2.]
5．B　[因为Tr＋1＝C(3x2)n－r(－2x－3)r＝(－2)r·3n－r·Cx2n－5r，则2n－5r＝0，即5r＝2n，
所以或….故n的最小值为5.]
6．D　[(1＋)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)；
(1＋)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)；
(1＋)6(1＋)10的展开式有77项，通项为CxCx－＝CCx，由4r－3s＝0
得或或.故常数项为1＋CC＋CC＝4246.]
7．15
解析　设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·()6－r·()r＝C·x6－r·y·(－y)r·x－＝C·x6－r－·y·(－y)r，
令6－r－＝3，即r＝2，
∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，系数为C＝＝15.
8．1
解析　x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.
9．－5
解析　(1＋x＋x2)(x－)6
＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4·(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2(－)4＋Cx(－)5＋Cx0(－)6]＝(1＋x＋x2)·(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.
10．解　230－3＝(23)10－3＝810－3
＝(7＋1)10－3
＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3
＝7(C79＋C78＋…＋C)－2
＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5.
∴余数为5.
11．(1)证明　由题意知第5项的系数为C·(－2)4，
第3项的系数为C·(－2)2，
则＝，
解得n＝8，或n＝－3(舍去)．
通项公式Tr＋1＝C()8－r·(－)r
＝C(－2)r·x.
若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即5r＝8，且r∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．
(2)解　由(1)知，展开式中含x的项需＝，
则r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.
12．1
解析　由Tr＋1＝C·x9－r·(－)r＝(－a)rCx9－2r，令9－2r＝3，则r＝3，即(－a)3C＝－84，解得a＝1.
13．解　由已知条件得：C＋C·＝2C·，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)Tr＋1＝C()8－r()r＝C·2－r·x4－r，
令4－r＝1，得r＝4，
∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.
(2)令4－r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝x，T9＝.