第1章 1.3.2 杨辉三角试题

1.3.2　杨辉三角
课时目标1.了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题.2.了解二项式系数的性质并能简单应用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用．
二项式系数的性质：
观察杨辉三角，可以看出二项式系数具有下列性质：
(1)每一行的两端都是________，其余每个数都等于它“肩上”两个数的________，这实际上反映了组合数的下列性质：C＝1，C＝1，C＝C＋C.
(2)对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．
(3)最大二项式系数，当n是偶数时，______________项的二项式系数最大；当n是奇数时，____________，____________项的二项式系数相等且最大．
(4)二项式系数的和等于________，即C＋C＋C＋…＋C＝________.
一、选择题
1．在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第＋1项 B．第n项
C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
2．(x－)10的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第3项 B．第6项
C．第3、6项 D．第5、7项
3．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0 C．－1 D．－2
4．5310被8除的余数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．7
5．已知n∈N*，则1＋3C＋32C＋…＋3nC等于(　　)
A．3n B．2n C．4n D．5n
6．满足C＋C＋C＋…＋C＋C>1000的最小偶数n为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题
7．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．
8．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
9．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝29－n，则n＝________.
三、解答题
10．在(x－y)11的展开式中，求
(1)通项Tr＋1；
(2)二项式系数最大的项；
(3)项的系数绝对值最大的项；
(4)项的系数最大的项；
(5)项的系数最小的项；
(6)二项式系数的和；
(7)各项系数的和．
11．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
能力提升
12．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)
A．－1B．0C．1D．2
13．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a3＋a5＋a7；
(2)a0＋a2＋a4＋a6；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得．
3．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
4．一些整除和近似计算问题可以利用二项展开式解决．
1．3.2　杨辉三角
答案
知识梳理
(1)1　和　(3)T＋1　T　T＋1　(4)2n　2n
作业设计
1．C　[因为2n为偶数，且x的系数为1，∴系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第(n＋1)项．]
2．D　[根据二项展开式中系数的关系，注意到第6项的系数为－C，实际上最小，所以系数最大的项为第5、7项．]
3．C　[本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令x＝0，得a0＝1.令x＝，
得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.]
4．A　[5310＝(56－3)10＝5610＋C569×(－3)＋C568×(－3)2＋…＋C56×(－3)9＋(－3)10.
∴5310被8除的余数等于310被8除的余数．
又310＝95＝(8＋1)5＝85＋C84＋…＋C×8＋1.
∴所求余数为1.]
5．C　[1＋3C＋32C＋…＋3nC＝C＋C31＋C·32＋…＋C3n＝(1＋3)n＝4n.]
6．C　[∵2n－1>1 000，∴n≥11(n∈N*)．]
7．6
解析　由题意，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，
∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．
8．34
解析　假设满足条件的是第n行，则从左至右第14个数和第15个数分别是C，C，由题意可知＝，解之得n＝34.
9．4
解析　令x＝1，解a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2；令x＝0，
得a0＝n，又an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝29－n，所以2n＋1＝32，
所以n＝4.
10．解　(1)Tr＋1＝(－1)rCx11－ryr.
(2)二项式系数最大的项为中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝Cx5y6.
(5)项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.
(6)二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.
(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.
11．解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，
∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006<0.001.
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，
∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，
即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.
12．B　[展开式的通项公式Tr＋1＝C·28－r·(－)r，则含x4的项的系数为1，令x＝1，得展开式所有项系数和为(2－)8＝1，因此展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0，故选B.]
13．解　令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②
(1)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.
(2)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.
(3)∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6都大于零，而a1、a3、a5、a7都小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，
∴由(1)、(2)即可得其值为2187.