第1章 习题课 二项式定理试题
文档属性
| 名称 | 第1章 习题课 二项式定理试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 213.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-21 09:50:14 | ||
图片预览
文档简介
习题课
课时目标1.进一步熟悉二项式定理，会求二项展开式某些项或系数.2.会利用二项式系数的特征、性质解题．
1．二项展开式的通项Tr＋1＝________________.
2．二项展开式中的二项式系数和系数通项Tr＋1中，C叫第r＋1项的二项式系数，而系数是指展开式中某个字母的系数．
3．对一些二项展开式系数和的问题，可采用______法．
一、选择题
1．设二项式(＋)n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第9项 B．第8项
C．第9项和第10项 D．第8项和第9项
2．若对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
4．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1的结果是( )
A．x4 B．(x－1)4
C．(x－2)4 D．(1－x)4
5.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于( )
A．144 B．146
C．164 D．461
二、填空题
6．已知(3x＋1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则展开式的二项式系数的和为________，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝______.
7．(x＋1)＋(x＋1)2＋(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5的展开式中x2的系数为________．
8．今天是星期一，如果今天算第一天，那么第810天是星期______．
三、解答题
9．设(3x＋x)n的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h.若h＋t＝272，求其二项展开式中x2项的系数．
10．已知(3－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，求：
(1)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中绝对值最大的系数；
(2)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中最大的系数．
能力提升
11．求(1＋x＋)10的展开式中的常数项．
12．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．
1．二项展开式的通项是解决项、项的系数、项的二项式系数的根本．
2．赋值法与待定系数法是解题的两种常用方法．
3．一些最值问题可利用函数思想来解．
习题课
答案
知识梳理
1．Can－rbr
3．赋值
作业设计
1．A [因展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以有－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．]
2．B [由题意，
把等式右边展开得，解得]
3．B [1－90C＋902C－903C＋…＋9010C
＝(1－90)10＝(88＋1)10，
(88＋1)10＝8810＋C889＋C888＋…＋C88＋1，
所以(88＋1)10除以88的余数是1.]
4．A [(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3×1＋C(x－1)2×12＋C(x－1)×13＋C×14＝(x－1＋1)4＝x4.]
5．C [由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.
∴S16＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.]
6．128 16384
解析 (3x＋1)7展开式中二项式系数的和为27＝128；令x＝1，则47＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝16384.
7．20
解析 各个组成项的x2的系数分别为C，C，C，C，则展开式中x2的系数为20.
8．一
解析 810＝(7＋1)10＝C710＋C79＋…＋C7＋C＝7M＋1(M∈Z)，故810除以7余1，所以第810天是星期一．
9．解 由题意，h＝2n，令x＝1，得t＝4n，
又h＋t＝272，
所以4n＋2n＝272，解得2n＝16，所以n＝4.
所以Tr＋1＝C(3x)4－r(x)r＝C34－rx＋，则＋＝2，得r＝4，所以二项展开式中x2项的系数为1.
10．解 设r∈N，且r≤8，则有ar＝C·38－r·(－2)r.
显然，|ar|＝C·38－r·2r，由得
解得所以r＝3.
即9个系数中，绝对值最大的系数为|a3|＝C·35·23＝108864.
(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.
又从通项公式ar＝C·38－r·(－2)r可以看出，a0，a2，a4，a6，a8均大于0；a1，a3，a5，a7均小于0，因而只需比较a2，a4的大小．
因为a2＝C·36·(－2)2＝81648，
a4＝C·34·(－2)4＝90720.
所以，9个系数中，最大的系数为a4＝90720.
11．解 (1＋x＋)10＝[1＋(x＋)]10，通项为Tr＋1＝C(x＋)r (r＝0,1,2，…，10)，
而(x＋)r展开的通项公式为Tk＋1＝Cxr－k·()k＝Cxr－3k (k＝0,1,2，…，r)，
当r－3k＝0时，Tr＋1是常数项．
由r＝3k,0≤r≤10,0≤k≤r，且r，k∈N*，
得r＝0,3,6,9，k＝0,1,2,3，
所以由系数为C·C可得常数项为C＋CC＋C·C＋CC＝4351.
12．解 (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，所以2C＋4C＝36，
即m＋2n＝18.
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.因为m＋2n＝18，所以m＝18－2n，所以t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16(n2－n＋)，所以当n＝时，t取最小值，但n∈N*，所以n＝5时，t最小即含x2项的系数最小，最小值为272，此时n＝5，m＝8.
课时目标1.进一步熟悉二项式定理，会求二项展开式某些项或系数.2.会利用二项式系数的特征、性质解题．
1．二项展开式的通项Tr＋1＝________________.
2．二项展开式中的二项式系数和系数通项Tr＋1中，C叫第r＋1项的二项式系数，而系数是指展开式中某个字母的系数．
3．对一些二项展开式系数和的问题，可采用______法．
一、选择题
1．设二项式(＋)n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第9项 B．第8项
C．第9项和第10项 D．第8项和第9项
2．若对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
4．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1的结果是( )
A．x4 B．(x－1)4
C．(x－2)4 D．(1－x)4
5.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于( )
A．144 B．146
C．164 D．461
二、填空题
6．已知(3x＋1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则展开式的二项式系数的和为________，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝______.
7．(x＋1)＋(x＋1)2＋(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5的展开式中x2的系数为________．
8．今天是星期一，如果今天算第一天，那么第810天是星期______．
三、解答题
9．设(3x＋x)n的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h.若h＋t＝272，求其二项展开式中x2项的系数．
10．已知(3－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，求：
(1)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中绝对值最大的系数；
(2)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中最大的系数．
能力提升
11．求(1＋x＋)10的展开式中的常数项．
12．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．
1．二项展开式的通项是解决项、项的系数、项的二项式系数的根本．
2．赋值法与待定系数法是解题的两种常用方法．
3．一些最值问题可利用函数思想来解．
习题课
答案
知识梳理
1．Can－rbr
3．赋值
作业设计
1．A [因展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以有－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．]
2．B [由题意，
把等式右边展开得，解得]
3．B [1－90C＋902C－903C＋…＋9010C
＝(1－90)10＝(88＋1)10，
(88＋1)10＝8810＋C889＋C888＋…＋C88＋1，
所以(88＋1)10除以88的余数是1.]
4．A [(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3×1＋C(x－1)2×12＋C(x－1)×13＋C×14＝(x－1＋1)4＝x4.]
5．C [由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.
∴S16＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.]
6．128 16384
解析 (3x＋1)7展开式中二项式系数的和为27＝128；令x＝1，则47＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝16384.
7．20
解析 各个组成项的x2的系数分别为C，C，C，C，则展开式中x2的系数为20.
8．一
解析 810＝(7＋1)10＝C710＋C79＋…＋C7＋C＝7M＋1(M∈Z)，故810除以7余1，所以第810天是星期一．
9．解 由题意，h＝2n，令x＝1，得t＝4n，
又h＋t＝272，
所以4n＋2n＝272，解得2n＝16，所以n＝4.
所以Tr＋1＝C(3x)4－r(x)r＝C34－rx＋，则＋＝2，得r＝4，所以二项展开式中x2项的系数为1.
10．解 设r∈N，且r≤8，则有ar＝C·38－r·(－2)r.
显然，|ar|＝C·38－r·2r，由得
解得所以r＝3.
即9个系数中，绝对值最大的系数为|a3|＝C·35·23＝108864.
(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.
又从通项公式ar＝C·38－r·(－2)r可以看出，a0，a2，a4，a6，a8均大于0；a1，a3，a5，a7均小于0，因而只需比较a2，a4的大小．
因为a2＝C·36·(－2)2＝81648，
a4＝C·34·(－2)4＝90720.
所以，9个系数中，最大的系数为a4＝90720.
11．解 (1＋x＋)10＝[1＋(x＋)]10，通项为Tr＋1＝C(x＋)r (r＝0,1,2，…，10)，
而(x＋)r展开的通项公式为Tk＋1＝Cxr－k·()k＝Cxr－3k (k＝0,1,2，…，r)，
当r－3k＝0时，Tr＋1是常数项．
由r＝3k,0≤r≤10,0≤k≤r，且r，k∈N*，
得r＝0,3,6,9，k＝0,1,2,3，
所以由系数为C·C可得常数项为C＋CC＋C·C＋CC＝4351.
12．解 (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，所以2C＋4C＝36，
即m＋2n＝18.
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.因为m＋2n＝18，所以m＝18－2n，所以t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16(n2－n＋)，所以当n＝时，t取最小值，但n∈N*，所以n＝5时，t最小即含x2项的系数最小，最小值为272，此时n＝5，m＝8.