第2章 2.2.2 事件的独立性试题

2.2.2　事件的独立性
课时目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
1．两个事件相互独立：如果事件A是否发生对事件B发生的概率____________，即____________，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
2．当A、B事件独立时，A与，与B，与也相互独立．
一、选择题
1．生产某零件要经过两道工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.03，则该零件的次品率是(　　)
A．0.13 B．0.03 C．0.127 D．0.873
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)
A. B. C. D.
3．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(　　)
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
5．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0＜p＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为(　　)
A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
二、填空题
6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
7．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是______．
8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
三、解答题
9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
(1)至少有1人面试合格的概率；
(2)没有人签约的概率．
能力提升
11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
12.如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：
开关
A1
A2
A3
B1
B2
闭合的概率
0.6
0.5
0.8
0.7
0.9
求在这段时间内下列事件发生的概率：
(1)由于B1，B2不闭合而线路不通；
(2)由于A1，A2，A3不闭合而线路不通；
(3)线路正常工作．
1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．
2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P(A)＝1－P()计算．
2．2.2　事件的独立性
答案
知识梳理
1．没有影响　P(B|A)＝P(B)
作业设计
1．C　[两道工序的次品率相互独立，该零件的正品率为(1－0.1)×(1－0.03)＝0.873.
∴该零件的次品率是1－0.873＝0.127.]
2．D
3．B　[由题易知，全都是红球的概率为×＝，故至少取到一个白球的概率是1－＝.]
4．B　[方法一　由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
∵K，A1，A2相互独立，∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
方法二　A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.]
5．D　[至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p)n.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n，故选D.]
6.　
解析　设事件A：“甲解决这道难题”，事件B：“乙解决这道难题”，A，B相互独立．
∴两人都未能解决的概率为
P()＝(1－)×(1－)＝.
问题得到解决的概率为
P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P()＝1－＝.
7．0.56
解析　设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，由题意知A、B相互独立，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.
8.
解析　记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A，在乙处不用停车为事件B，在丙处不用停车为事件C，则由已知得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以所求概率为P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)＝××＝.
9．解　记P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.
(1)事件“这名同学得300分”可表示为AC＋BC，所以P(AC＋BC)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)·P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.
(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为AC＋BC＋ABC，所以P(AC＋BC＋ABC)＝P(AC＋BC)＋P(ABC)＝0.228＋P(A)P(B)P(C)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
10．解　用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A、B、C相互独立，
且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
(1)至少有1人面试合格的概率是
1－P()＝1－P()P()P()＝1－3＝.
(2)没有人签约的概率为
P(B)＋P(C)＋P()
＝P()P(B)P()＋P()P()P(C)＋P()·P()·P()＝3＋3＋3＝.
11.
解析　加工出来的零件的正品率为(1－)×(1－)×(1－)＝，所以次品率为1－＝.
12．解　(1)记“开关B1闭合”为事件B1，“开关B2闭合”为事件B2，所以所求概率为1－P(B1B2)＝1－P(B1)·P(B2)＝1－0.7×0.9＝0.37.
(2)设“开关Ai闭合”为事件Ai(i＝1,2,3)，
所求概率为P(123)＝P(1)P(2)P(3)
＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.
(3)所求概率为P(B1B2)[1－P(123)]
＝0.63×(1－0.04)＝0.6048.