第2章 2.3.1 离散型随机变量的数学期望试题

2.3　随机变量的数字特征
2.3.1　离散型随机变量的数学期望
课时目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握二点分布、二项分布、超几何分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
1．离散型随机变量的数学期望
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝________________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
2．常见的离散型随机变量的数学期望
(1)二点分布的数学期望：若离散型随机变量X服从参数为p的二点分布，则E(X)＝________.
(2)二项分布的数学期望：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝________.
(3)超几何分布的数学期望：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝______.
一、选择题
1．设随机变量ξ的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为(　　)
A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2
2．已知随机变量X的分布列是
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
若E(X)＝7.5，则a等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是(　　)
A. B. C. D.
4．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



且η＝2ξ＋3，则E(η)等于(　　)
A. B. C. D.
5．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
6．随机变量X的概率分布由下表给出：
X
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量X的均值是________．
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
8．某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60000元，若出海后天气变坏，则将损失80000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________．(填“出海”或“不出海”)
三、解答题
9．在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试求3个投保人中，能活到65岁人数的数学期望．
10．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个．
(1)求其中所含红球个数的数学期望；
(2)若每取到一个红球可得到100元，那么可得金额的期望值为多少？
能力提升
11．已知ξ的分布列为：
ξ
－1
0
1
2
P




且η＝3ξ－1，求η的期望．
12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
1．求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解．
2．二点分布、二项分布、超几何分布的随机变量的期望，直接利用公式计算．
2．3　随机变量的数字特征
2．3.1　离散型随机变量的数学期望
答案
知识梳理
1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
2．(1)p　(2)np　(3)
作业设计
1．A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×
＝×10＝2.5.]
2．C　[∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，
0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4.]
3．B　[由题意知ξ～B(2，)，
∴E(ξ)＝2×＝.]
4．C　[E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝，
又∵η＝2ξ＋3，
∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.]
5．B　[次品数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.]
6．8.2
解析　E(X)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
7．0.4
解析　∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7×(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，
∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.
8．出海
解析　设ξ为公司出海的获利，则ξ的分布列为
ξ
60000
－80000
P
0.6
0.4
所以获利期望E(ξ)＝36000－32000＝4000>－10000，所以应出海．
9．解　设X为能活到65岁的人数，则X＝3,2,1,0.
则P(X＝3)＝C×0.63×(1－0.6)0＝0.216；
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)1＝0.432；
P(X＝1)＝C×0.61×(1－0.6)2＝0.288；
P(X＝0)＝C×0.60×(1－0.6)3＝0.064.
所以随机变量X的分布列为
X
3
2
1
0
P
0.216
0.432
0.288
0.064
即E(X)＝3×0.216＋2×0.432＋1×0.288＋0×0.064＝1.8.
10．解　设ξ为取出红球的个数，则ξ＝0,1,2.
所以P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.2.
(2)由于每取到一个红球可得100元，因此可得金额的期望值为
E(100ξ)＝100E(ξ)＝120(元)．
11．解　因为ξ＝－1,0,1,2，且η＝3ξ－1，所以η的值分别为－4，－1,2,5，
于是E(η)＝(－4)×＋(－1)×＋2×＋5×＝－－＋＋＝1.
12．解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，
(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P




所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.