第2章 2.3.2 离散型随机变量的方差试题

2.3.2　离散型随机变量的方差
课时目标1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
1．方差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则
D(X)＝______________________________________叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或离散程度)．
2．标准差
________________叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．二点分布的方差
若离散型随机变量X服从二点分布，则D(X)＝____________.
4．二项分布的方差
若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝____________.
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平
2．已知ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
则D(ξ)的值为(　　)
A. B. C. D.
3．设随机变量X服从二项分布B(4，)，则D(X)的值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为(　　)
A．100和0.08 B．20和0.4
C．10和0.2 D．10和0.8
5．某事件在一次试验中发生的次数ξ的方差D(ξ)的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
二、填空题
6．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.1
则质量好的机床为________机床．
7．已知随机变量ξ的方差D(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则D(η)＝________.
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
三、解答题
9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．
10．某人投弹击中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差．
能力提升
11．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝________.
12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．
1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
2．二点分布、二项分布的方差可以直接利用公式计算．
3．随机变量的期望和方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义．
2．3.2　离散型随机变量的方差
答案
知识梳理
1．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn
2．D(X)的算术平方根
3．pq(q＝1－p)
4．npq(q＝1－p)
作业设计
1．D　[由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错，而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平，故选D.]
2．C　[∵E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴D(ξ)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.]
3．C　[∵X～B(4，)，
∴D(X)＝4××(1－)＝4××＝.]
4．D　[因为ξ～B(n，p)，
所以解得
故选D.]
5．C　[设某事件在一次试验中发生的概率为p(0≤p≤1)，则该事件在一次试验中发生的次数ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－p
p
所以D(ξ)＝p(1－p)＝－(p－)2＋≤.]
6．A
解析　E(ξA)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E(ξB)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差．
D(ξA)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，
D(ξB)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.9264.
因为D(ξA)7．16
8.　5
解析　D(X)＝100p(1－p)＝100[]2
≤1002＝25，故标准差≤5，
当且仅当p＝1－p，即p＝时，等号成立．
9．解　(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×
＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
10．解　(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，
D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，
即Y～B(10,0.8)．
∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
11.　
解析　由题意知，解得
12．解　(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，
则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，
P(A∪B)＝1－P()＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92.∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92，
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(ξ＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(ξ＝1)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(ξ)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48
＝0.44＋0.96＝1.4，
D(ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728
＝0.4.