第2章 2.4 正态分布试题

2.4　正态分布
课时目标1.了解正态曲线的特点、意义.2.会用正态分布解决一些实际问题.3.理解3σ原则．
1．正态分布：在生产、科研和日常生活中，经常会遇到这样一类随机现象，它们是由一些相互独立的偶然因素所引起的，而每一个这种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，表示这类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布．__________________的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
2．正态曲线：正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝________________，x∈R，其中μ、σ是参数，且σ>0，μ∈R，参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)．________________________________的图象叫做正态曲线．
3．3σ原则
正态分布在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝·e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
2．下列函数是正态分布密度函数的是(　　)
A．f(x)＝e，μ、σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝·e－
C．f(x)＝e
D．f(x)＝e
3．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于(　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)等于(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
6.如图所示是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______、______、______.
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
8．工人生产的零件的半径ξ在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)．在正常情况下，取出1000个这样的零件，半径不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个范围的零件约有________个．
三、解答题
9．如图是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
能力提升
11．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？
1．要求正态分布的概率密度函数式，关键是理解正态分布密度曲线的概念及解析式中各字母参数的意义．
2．解正态分布的概率计算问题，一定要灵活把握3σ原则，将所求问题向P(μ－σ<ξ<μ＋σ)，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．
2．4　正态分布
答案
知识梳理
1．服从正态分布
2.e－　正态变量的概率密度函数
3．0.683　0.954　0.997
作业设计
1．B　[f(x)可以改写成f(x)＝e－，对照可知μ＝10，σ＝2.]
2．B
3．C　[均值即为其对称轴，∴μ＝0.]
4．A　[∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0，
又P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(X>2)＝(1－0.4×2)＝0.1.]
5．D　[由正态分布图象可知，μ＝4是该图象的对称轴，
∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝.]
6．①　②　③
解析　在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
7．0.8
解析　正态曲线关于x＝1对称，
∴ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4.
8．3
解析　半径属于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件个数约有0.997×1000＝997，
∴不属于这个范围的零件个数约有3个．
9．解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，
＝，解得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
10．解　∵ξ～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2000×0.683＝1366(人)．
11.
解析　由于随机变量X～N(μ，σ2)，其概率密度函数关于x＝μ对称，故P(x≤μ)＝.
12．解　(1)设学生的得分情况为随机变量X，
X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
所以成绩在60～80之间的学生所占的比为P(70－10所以成绩不及格的学生的比为：
(1－0.683)＝0.1585，即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80～90之间的学生的比为
[P(70－2×10＝(0.954－0.683)＝0.1355.
即成绩在80～90分之间的学生占13.55%.