第2章 概率习题课3

习题课
课时目标1.进一步理解期望和方差的意义和作用.2.利用期望和方差解决一些实际问题．
1．期望反映了随机变量取值的____________；方差反映了随机变量取值的____________．
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝______.
一、选择题
1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于(　　)
A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804
2．下面关于离散型随机变量的期望与方差的叙述不正确的是(　　)
A．期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度
B．离散型随机变量的期望和方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化
C．离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数
D．离散型随机变量的方差是非负的
3．一批产品次品率为，现在连续抽查4次，用ξ表示次品数，则D(ξ)等于(　　)
A. B. C. D.
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)
　　
A.A>B，sA>sB B.AsB
C.A>B，sA5．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)
A．E(X)＝0，D(X)＝1
B．E(X)＝，D(X)＝
C．E(X)＝0，D(X)＝
D．E(X)＝，D(X)＝1
二、填空题
6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
x
P
p
且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝________.
7．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X表示解出此题的人数，则E(X)＝________，D(X)＝________.
8．若X～B(n，p)且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．
三、解答题
9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，求：
(1)随机变量X的分布列；
(2)X的数学期望和方差．
10．某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．
(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率；
(3)设随机变量ξ为甲、乙、丙这三名学生参加A社团的人数，求ξ的分布列与均值．
能力提升
11．已知10个晶体管中有7个正品，3个次品，每次任取一个来测试，测试后不再放回，直到出现正品为止，求：
(1)需要测试次数的分布列；
(2)需要测试次数的均值与方差．
12．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为ξ1、ξ2(单位：s)，其分布列如下：
ξ1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
ξ2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的期望与方差比较这两面大钟的质量．
1．理解期望、方差公式，利用公式可以求解一些相关问题．
2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．
习题课
答案
知识梳理
1．平均水平　离散程度
2．np　np(1－p)
作业设计
1．C　[由题意知发病的牛的头数ξ～B(10,0.02)，
所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.]
2．C
3．C　[ξ～B(4，)
∴D(ξ)＝np(1－p)＝4××(1－)＝.]
4．B　[A中的数据都不大于B中的数据，所以AsB.]
5．A　[得分X的分布列为
X
1
－1
P
0.5
0.5
所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，
D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.]
6．0.49
解析　∵0×＋p＋x＝1.1，
又＋p＋＝1，∴p＝，∴x＝2
∴D(ξ)＝1.12×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
7．0.6　0.42
8．3·2－10
解析　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，
∴，　∴，
∴P(X＝1)＝C·12＝3·2－10.
9．解　(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,4，则
P(X＝4)＝＝；P(X＝2)＝；
P(X＝1)＝；P(X＝0)＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
10．解　(1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，
故共有5×5×5＝125(种)．
(2)三名学生选择三个不同社团的概率是＝.
∴三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为
1－＝.
(3)由题意ξ＝0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
11．解　(1)设需要测试的次数为X，可能的取值为1,2,3,4，因此P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝·＝，
P(X＝3)＝··＝，
P(X＝4)＝···＝，
因此需要测试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝×1＋×2＋×3＋×4＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
12．解　由题意可知，E(ξ1)＝0，E(ξ2)＝0，
∴E(ξ1)＝E(ξ2)．∵D(ξ1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，
D(ξ2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，
∴D(ξ1)