高中数学 人教A版必修五课件 2.2 第2课时 等差数列的性质及应用 :24张PPT
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| 名称 | 高中数学 人教A版必修五课件 2.2 第2课时 等差数列的性质及应用 :24张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 359.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-22 13:15:12 | ||
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文档简介
课件24张PPT。第2课时 等差数列的性质及应用等差数列的性质
1.思考:给出等差数列{an}:1,5,9,13,…,其通项公式是什么?从函数的角度看,an是关于n的什么函数?其图象有什么特点?
提示:通项公式为an=4n-3;an是关于n的一次函数,其图象是直线y=4x-3上的一些孤立的点.
2.填空:
(1)等差数列的图象
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d=0时,an是关于n的常数函数;当d≠0时,an是关于n的一次函数,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,且是这条直线上的一列孤立的点.
(2)公差d与斜率
等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点,而这条直线的斜率3.思考:在等差数列中,怎样用数列的任意其他项(非首项)和公差来表示通项an?在等差数列中,怎样由am,an求公差d?4.填空:
(1)在等差数列{an}中,an=am+(n-m)d;5.做一做:
已知等差数列{an},a3=5,a8=35,则其公差d= .?答案:6 6.思考:结合具体实例分析判断:若{an},{bn}均为等差数列,则{pan+qbn}(p,q∈R)是否也是等差数列?在{an}中,由奇数项组成的数列、偶数项组成的数列是否都能构成等差数列?
提示:是等差数列;都能构成等差数列.
7.填空:
(1)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q∈R)是公差为pd1+qd2的等差数列.
(2)若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)构成公差为md的等差数列.8.做一做:
已知{an}是等差数列,则下列数列{bn}也为等差数列的是( )解析:若{an}的公差为d,则当bn=a3n时,bn+1-bn=a3n+3-a3n=3d,故{bn}是公差为3d的等差数列.
答案:C
9.思考:请你观察几个具体的等差数列,通过计算分析判断:与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和?当m+n=p+q时,是否有am+an=ap+aq?特别地,当m+n=2t时,am,an,at之间的关系是什么?
提示:等于;有am+an=ap+aq;am+an=2at.10.填空:
(1)等差数列的项的对称性:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…;
(2)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2t,则am+an=2at.11.做一做:
(1)判断正误.
①在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数. ( )
②在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q. ( )
③等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列. ( )
④摆动数列不可能是等差数列. ( )
⑤在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap. ( )
⑥在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at. ( )
答案:①× ②× ③√ ④√ ⑤× ⑥√
(2)在等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12= ,a7= .?
解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.
因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.
答案:26 13探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列性质的应用
例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析:利用等差数列的性质解决各个问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9= .?
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= .?
解析:(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.
(2)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.
答案:(1)2 (2)24探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的综合问题
例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;
(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则因为该数列是递增数列,所以d>0, 故此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)解:方法一:设这三个数分别为a,b,c,则 故这三个数分别为4,6,8.
方法二:设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知可得由①得a=6,代入②得d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为( )分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决. 解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是( )
A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届
解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测错用等差数列的性质致误
典例在等差数列{an}中,若a6=10,a15=1,求a21的值.
错解:因为{an}是等差数列,所以a21=a6+a15=10+1=11.
提示:错解是运用了“ap+aq=ap+q”这一结论得到的.事实上,在等差数列中,根本没有这样的性质.防范措施必须熟记等差数列的性质以便灵活运用,在性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq”中,等式两边各有两项相加,项数相同,不能出现“am+an=am+n”的错误.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为( )
A.20 B.18 C.15 D.17
解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.
答案:B
2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq= .?
解析:设等差数列{an}的公差为d>0.
∵a1=1,且a2+a6=a8,
∴2+6d=1+7d,解得d=1.
若p-q=10,则ap-aq=10d=10.
答案:10
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于 .?
解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
答案:3∶4∶5探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?
解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,……,则每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知,数列{an}为递减数列,令an<0,即an=220-20n<0,解得n>11,
即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.
1.思考:给出等差数列{an}:1,5,9,13,…,其通项公式是什么?从函数的角度看,an是关于n的什么函数?其图象有什么特点?
提示:通项公式为an=4n-3;an是关于n的一次函数,其图象是直线y=4x-3上的一些孤立的点.
2.填空:
(1)等差数列的图象
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d=0时,an是关于n的常数函数;当d≠0时,an是关于n的一次函数,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,且是这条直线上的一列孤立的点.
(2)公差d与斜率
等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点,而这条直线的斜率3.思考:在等差数列中,怎样用数列的任意其他项(非首项)和公差来表示通项an?在等差数列中,怎样由am,an求公差d?4.填空:
(1)在等差数列{an}中,an=am+(n-m)d;5.做一做:
已知等差数列{an},a3=5,a8=35,则其公差d= .?答案:6 6.思考:结合具体实例分析判断:若{an},{bn}均为等差数列,则{pan+qbn}(p,q∈R)是否也是等差数列?在{an}中,由奇数项组成的数列、偶数项组成的数列是否都能构成等差数列?
提示:是等差数列;都能构成等差数列.
7.填空:
(1)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q∈R)是公差为pd1+qd2的等差数列.
(2)若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)构成公差为md的等差数列.8.做一做:
已知{an}是等差数列,则下列数列{bn}也为等差数列的是( )解析:若{an}的公差为d,则当bn=a3n时,bn+1-bn=a3n+3-a3n=3d,故{bn}是公差为3d的等差数列.
答案:C
9.思考:请你观察几个具体的等差数列,通过计算分析判断:与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和?当m+n=p+q时,是否有am+an=ap+aq?特别地,当m+n=2t时,am,an,at之间的关系是什么?
提示:等于;有am+an=ap+aq;am+an=2at.10.填空:
(1)等差数列的项的对称性:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…;
(2)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2t,则am+an=2at.11.做一做:
(1)判断正误.
①在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数. ( )
②在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q. ( )
③等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列. ( )
④摆动数列不可能是等差数列. ( )
⑤在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap. ( )
⑥在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at. ( )
答案:①× ②× ③√ ④√ ⑤× ⑥√
(2)在等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12= ,a7= .?
解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.
因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.
答案:26 13探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列性质的应用
例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析:利用等差数列的性质解决各个问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9= .?
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= .?
解析:(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.
(2)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.
答案:(1)2 (2)24探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的综合问题
例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;
(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则因为该数列是递增数列,所以d>0, 故此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)解:方法一:设这三个数分别为a,b,c,则 故这三个数分别为4,6,8.
方法二:设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知可得由①得a=6,代入②得d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为( )分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决. 解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是( )
A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届
解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测错用等差数列的性质致误
典例在等差数列{an}中,若a6=10,a15=1,求a21的值.
错解:因为{an}是等差数列,所以a21=a6+a15=10+1=11.
提示:错解是运用了“ap+aq=ap+q”这一结论得到的.事实上,在等差数列中,根本没有这样的性质.防范措施必须熟记等差数列的性质以便灵活运用,在性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq”中,等式两边各有两项相加,项数相同,不能出现“am+an=am+n”的错误.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为( )
A.20 B.18 C.15 D.17
解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.
答案:B
2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq= .?
解析:设等差数列{an}的公差为d>0.
∵a1=1,且a2+a6=a8,
∴2+6d=1+7d,解得d=1.
若p-q=10,则ap-aq=10d=10.
答案:10
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于 .?
解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
答案:3∶4∶5探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?
解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,……,则每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知,数列{an}为递减数列,令an<0,即an=220-20n<0,解得n>11,
即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.