高中数学 人教A版必修五课件 2.5　第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 :27张PPT

课件27张PPT。第2课时　等比数列前n项和的性质及应用等比数列前n项和的性质
1.思考:对于不是常数列的等比数列{an},如果其前n项和可以写成Sn=A·qn+B的形式,那么系数A,B应满足什么条件?2.思考:如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是否也构成等比数列呢?
提示:不一定.当{an}的公比q=-1,且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n的各项均为零,不能构成等比数列.其他情况下,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n可构成等比数列.3.做一做:
(1)判断正误.
①若某一数列的前n项和为Sn=4·3n-1-4,则其必为等比数列. (　　)③若{an}为等比数列,则S5,S10,S15仍然构成等比数列. (　　)
④若an为等比数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9仍然构成等比数列. (　　)
答案:①×　②√　③×　④√(2)①在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于(　　)
A.140 B.120 C.210 D.520
②在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和Sn=3n+k,则实数k等于　　　.?
解析:①∵S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80,
∴S6=S4+80=S2+40+80=140.
②依题意得k+1=0,所以k=-1.
答案:①A　②-1探究一探究二探究三思想方法当堂检测等比数列前n项和的性质
例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　;?
(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　;?
(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　　.?
分析:运用等比数列前n项和的性质求解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解析:(1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,
∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,
即7,S4-7,91-S4构成等比数列,
∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.
又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2
=(a1+a2)(1+q2)=S2·(1+q2)>0,∴S4=28.
(2)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟等比数列前n项和的性质
1.若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.
2.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.
3.当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测等差数列与等比数列的综合问题 (1)求S2和S3;
(2)求数列{an}的前n项和;
(3)求数列{Sn}的前n项和.
分析:先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求{Sn}的前n项和.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.
2.利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测?探究一探究二探究三思想方法当堂检测等比数列的实际应用
例3小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,……购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少?
分析:根据题意,列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息是解题的关键.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(方法一)设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则
A2=5 000×(1+0.008)2-x=5 000×1.0082-x,
A4=A2(1+0.008)2-x=5 000×1.0084-1.0082x-x,
……
A12=5 000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,故小华每期付款金额约为880.8元. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测(方法二)设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则
A2=x,
A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),
A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),
……
A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).
∵年底付清欠款,∴A12=5 000×1.00812,
即5 000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),故小华每期付款金额约为880.8元. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题有两种处理方法,如本题中方法一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;而方法二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测分类讨论思想在数列求和中的应用 审题视角数列的通项公式为分段函数的形式,因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律,奇数项是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项为首项为9,公比为9的等比数列,在求和时,应对奇数项和偶数项分别求解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测方法点睛分段数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解.解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论.需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题时要特别留意.探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.已知等比数列{an},an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(　　)答案:D 探究一探究二探究三思想方法当堂检测2.已知等比数列的前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为(　　)答案:D 3.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+r,则r=　　　　.?探究一探究二探究三思想方法当堂检测4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(n∈N*)为　　　　　.?答案:5 探究一探究二探究三思想方法当堂检测