高中数学 人教A版必修五课件 2.5 第1课时 等比数列的前n项和 :24张PPT
文档属性
| 名称 | 高中数学 人教A版必修五课件 2.5 第1课时 等比数列的前n项和 :24张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 644.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-22 13:31:56 | ||
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文档简介
课件24张PPT。第1课时 等比数列的前n项和一、等比数列的前n项和公式
1.思考:若等比数列{an}的公比q=1,这时数列{an}是什么数列?其前n项和公式是什么?
提示:数列{an}是常数列,这时Sn=na1.
2.思考:对于等比数列{an},若q≠1,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1)=a1+q(Sn-a1qn-1),至此,你能用a1和q表示出Sn吗?4.填空:
等比数列的前n项和公式 5.对等比数列前n项和公式的说明:
(1)等比数列的前n项和公式分q=1和q≠1两种情形,注意应用公式的前提条件;答案:①× ②√ ③× ④× (2)①在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=3,q=4,则S5= .?二、错位相减法求数列的和
1.思考:推导等比数列前n项和公式的方法称为错位相减法,这种方法还适合于什么类型的数列求和呢?
提示:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列都可用错位相减法求和.
2.填空:
错位相减法求数列和
推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.3.做一做:
下列数列中,可以用错位相减法求和的是( )
A.{n2} B.{n+3n}解析:C项中的数列是一个等差数列与一个等比数列对应项的积,故可用错位相减法求和.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测等比数列前n项和公式的应用
例1在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题:
(1)若an=3×2n,求S6;(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
分析:先利用等比数列前n项和公式直接计算或建立方程组求得基本量后,再代入计算.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测例2设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.
分析:可根据前n项和公式建立公比q的方程求解,但必须先对q的值分q=1和q≠1进行分类讨论.
解:(1)若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,S6=6a1,显然满足S2+S4=S6,所以q=1符合题意;1)2=0,解得q=-1(q=1舍去).综上,公比q的值等于1或-1.
反思感悟在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公比分q=1和q≠1两种情况分别进行讨论.探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究本例中,若条件改为“数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3”,再求其公比q的值.探究一探究二思维辨析当堂检测错位相减法求和 探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟1.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn.
2.错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练,要注意通过训练,掌握在错位相减过程中的几个关键环节,避免出错.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练2已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列,bn=anlog25an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.探究一探究二思维辨析当堂检测忽视等比数列前n项和公式应用的条件致误
典例求数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn.提示:错解中,忽视了根据公比对参数a的取值进行讨论,从而导致错误.探究一探究二思维辨析当堂检测防范措施等比数列与等差数列相比,具有更多的特殊性,例如:等比数列中的任何一项均不能为零,等比数列的求和公式中,要分q=1和q≠1两种情况分别求解,因此当等比数列中的项含有字母时,要注意分类讨论.探究一探究二思维辨析当堂检测1.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=5,S5=55,则公比q等于( )
A.4 B.2
C.-2 D.-2或4答案:C 2.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么该数列的前8项和为( )答案:C 探究一探究二思维辨析当堂检测答案:16 答案:15 探究一探究二思维辨析当堂检测5.求数列an=n·2n的前n项和.
解:设前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1,于是-Sn=21+(22+23+24+…+2n)-故Sn=(n-1)·2n+1+2.
1.思考:若等比数列{an}的公比q=1,这时数列{an}是什么数列?其前n项和公式是什么?
提示:数列{an}是常数列,这时Sn=na1.
2.思考:对于等比数列{an},若q≠1,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1)=a1+q(Sn-a1qn-1),至此,你能用a1和q表示出Sn吗?4.填空:
等比数列的前n项和公式 5.对等比数列前n项和公式的说明:
(1)等比数列的前n项和公式分q=1和q≠1两种情形,注意应用公式的前提条件;答案:①× ②√ ③× ④× (2)①在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=3,q=4,则S5= .?二、错位相减法求数列的和
1.思考:推导等比数列前n项和公式的方法称为错位相减法,这种方法还适合于什么类型的数列求和呢?
提示:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列都可用错位相减法求和.
2.填空:
错位相减法求数列和
推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.3.做一做:
下列数列中,可以用错位相减法求和的是( )
A.{n2} B.{n+3n}解析:C项中的数列是一个等差数列与一个等比数列对应项的积,故可用错位相减法求和.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测等比数列前n项和公式的应用
例1在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题:
(1)若an=3×2n,求S6;(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
分析:先利用等比数列前n项和公式直接计算或建立方程组求得基本量后,再代入计算.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测例2设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.
分析:可根据前n项和公式建立公比q的方程求解,但必须先对q的值分q=1和q≠1进行分类讨论.
解:(1)若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,S6=6a1,显然满足S2+S4=S6,所以q=1符合题意;1)2=0,解得q=-1(q=1舍去).综上,公比q的值等于1或-1.
反思感悟在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公比分q=1和q≠1两种情况分别进行讨论.探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究本例中,若条件改为“数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3”,再求其公比q的值.探究一探究二思维辨析当堂检测错位相减法求和 探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟1.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn.
2.错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练,要注意通过训练,掌握在错位相减过程中的几个关键环节,避免出错.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练2已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列,bn=anlog25an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.探究一探究二思维辨析当堂检测忽视等比数列前n项和公式应用的条件致误
典例求数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn.提示:错解中,忽视了根据公比对参数a的取值进行讨论,从而导致错误.探究一探究二思维辨析当堂检测防范措施等比数列与等差数列相比,具有更多的特殊性,例如:等比数列中的任何一项均不能为零,等比数列的求和公式中,要分q=1和q≠1两种情况分别求解,因此当等比数列中的项含有字母时,要注意分类讨论.探究一探究二思维辨析当堂检测1.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=5,S5=55,则公比q等于( )
A.4 B.2
C.-2 D.-2或4答案:C 2.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么该数列的前8项和为( )答案:C 探究一探究二思维辨析当堂检测答案:16 答案:15 探究一探究二思维辨析当堂检测5.求数列an=n·2n的前n项和.
解:设前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1,于是-Sn=21+(22+23+24+…+2n)-故Sn=(n-1)·2n+1+2.