高中数学 人教A版必修五课件 1章习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用 :18张PPT

课件18张PPT。习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用一、正弦定理与余弦定理及其变形
1.填空: (2)正弦定理的变形:
①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆半径);?③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;? 2.做一做:
(1)判断正误.
①在△ABC中,sin2C=sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C.(　　)
②若△ABC是直角三角形,则a2+b2=c2. (　　)
答案:①√　②×
(2)在△ABC中,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=(　　)解析:由acos A=bsin B,得sin Acos A=sin2B,所以sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.
答案:D二、三角形中有关边和角的常用性质
1.填空:
(1)三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;
(2)在△ABC中,a>b?A>B?sin A>sin B;?
(3)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b.
2.做一做:
(1)判断正误.①在△ABC中,若A=2B,则a=2b. (　　) 答案:①×　②√ (2)已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则实数x的取值范围为　　　.?探究一探究二探究三当堂检测用正、余弦定理求边和角 分析:先由bsin A=3csin B及正弦定理得出边a,c的关系,从而得到边a,c的长度,再利用余弦定理求出b.
解析:由bsin A=3csin B及正弦定理,得ab=3bc,
即a=3c.因为a=3,所以c=1.答案:D 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟应用正、余弦定理解决三角形问题,关键是根据已知条件对边和角进行相互转化,化简表达式,通过代数变形或三角恒等变换解决问题.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(　　)答案:C 探究一探究二探究三当堂检测利用正、余弦定理判断三角形形状
例2在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.分析: 探究一探究二探究三当堂检测解法一∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
∴由正、余弦定理,得整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
解法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A,
即sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0,∴sin Bcos B=sin Acos A.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟判断三角形形状的两种途径
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
2.利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用“A+B+C=π”这个结论.
注意:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)·sin B=(b-ccos C)sin A”,判断△ABC的形状.
解:因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三当堂检测正、余弦定理与平面向量的综合 分析:先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c,再利用余弦定理求出边b,最后根据正弦定理求角C.探究一探究二探究三当堂检测答案:B 探究一探究二探究三当堂检测答案:C 探究一探究二探究三当堂检测2.在△ABC中,内角A,B,C所对边为a,b,c,且sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C,则∠A=(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°答案:B 探究一探究二探究三当堂检测A.19 B.14 C.-18 D.-19 答案:D 答案:1