高中数学 人教A版必修五课件 2.3　第1课时　等差数列的前n项和 :29张PPT

课件29张PPT。第1课时　等差数列的前n项和一、 数列的前n项和
1.填空:
数列的前n项和
对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
2.做一做:
已知数列{an}的通项公式an=n2+1,若其前n项和为Sn,则S3=　　　　　.?
解析:∵an=n2+1,∴a1=2,a2=5,a3=10,
∴S3=a1+a2+a3=17.
答案:17二、等差数列的前n项和
1.思考:高斯求和的故事我们一定耳熟能详,高斯是怎样求出1+2+3+…+100的结果的呢?2.思考:如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多1根,最下面的一层有9根.问题(1):一共有几层?图形的横截面是什么形状?
问题(2):假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样一共有多少根钢管?问题(3):原来有多少根钢管?
问题(4):能否利用这种方法推导等差数列{an}的前n项和公式Sn=a1+a2+…+an?3.填空:
(1)若{an}是等差数列,则Sn可以用首项a1和末项an表示为4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式:
(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;
②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,
若C=0,则数列{an}为等差数列;
若C≠0,则数列{an}不是等差数列.5.做一做:
(1)判断正误.
①若数列{an}的前n项和Sn=4,则{an}不是等差数列. (　　)
②若数列{an}的前n项和Sn=kn(k∈R),则{an}为常数列. (　　)
③等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数. (　　)
答案:①√　②√　③×
(2)①在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a3=7,公差d=2,则S20=　　　.?
②已知数列{an}为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则n=　　　　.?答案:①440　②12 三、数列中an与Sn的关系
1.思考:若已知数列{an}的前n项和为Sn,则Sn-1表示什么?an与Sn,Sn-1之间的关系是什么?
提示:Sn-1表示数列{an}前(n-1)项的和;an=Sn-Sn-1(n≥2).
2.填空:
an与Sn的关系3.做一做:
(1)判断正误.
①若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. (　　)
②公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N*. (　　)
答案:①×　②×探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列前n项和公式及其应用
例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=　　　　.?
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=　　　　.?
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=　　　　.?
分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:(1)81　(2)15　(3)-171 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于(　　)
A.15　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=　　　　.?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:(1)C　(2)B　(3)10或11 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用an与Sn的关系解决问题
例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式;分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.
由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N*).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤
1.当n=1时,a1=S1.
2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5A.9 B.8 C.7 D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾;
若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.
(2)由(1)知,{an}为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通项公式为an=n+2.反思感悟利用an与Sn的关系求数列{an}的通项公式.
已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或其他数列,求出其通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在本例中,若条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,8a1=(a1+2)2,
解得a1=2.
当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为数列{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,
所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列{an}为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列在实际生活中的应用
例4 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,
则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
…
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元).
反思感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,整理得n2+13n-420=0.
解得n=15,n=-28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知Sn求an时,忽视n=1的情况致误
典例已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.
错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1.
提示:错解中忘记了对a1的值是否符合求出的通项公式的检验,导致结果错误.
正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测防范措施已知数列{an}的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步:利用a1=S1求a1;第二步:当n≥2时,求an=Sn-Sn-1;第三步:检验a1是否适合当n≥2时得到的an,若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=(　　)
A.18 B.20 C.22 D.24答案:B 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(n∈N*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an=　　　　.?
解析:设{an}的公差为d,故an=2+(n-1)×2=2n.
答案:2n探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有座位　　　　　个.?
解析:从第1排开始每排座位数形成等差数列{an},其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.∴该电影院共答案:270 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}是否为等差数列?
解:(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5.又当n=1时,a1=2不满足上式,(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,
但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列.