高中数学 人教A版必修五课件 2.4　第1课时　等比数列的概念及通项公式 :28张PPT

课件28张PPT。第1课时　等比数列的概念及通项公式一、等比数列 提示:③是等差数列,其余都不是等差数列;这些数列的共同特点是从第2项起,每一项与它的前一项的比都是同一个常数.2.填空:
等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.3.总结:对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.4.做一做:
(1)判断正误.
①如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数,那么这个数列是等比数列. (　　)
②常数列a,a,a,a,…一定是等比数列. (　　)
答案:①×　②×(2)判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.④1,0,1,0,1,0,…;
⑤1,-4,16,-64,256,….
解:①不是等比数列;②是等比数列,公比为1;③是等比数列,公比为二、等比中项
1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列?
(1)2,　　　　,8;(2)-10,　　　　,-10;(3)9,　　　　,-1.?
提示:(1)能,插入的数是4或-4;(2)能,插入的数是10或-10;(3)不能.
2.填空:
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式ab=G2.
3.等比中项概念的理解
(1)只有同号的两个实数才有等比中项.
(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.4.做一做:
(1)判断正误.
①任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个. (　　)
②在等比数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等比中项. (　　)
答案:①×　②√答案:C 三、等比数列的通项公式
1.思考:给出等比数列{an}:1,3,9,27,81,…,请根据下列两种思路探求其通项公式:
(1)根据等比数列的定义,{an}的递推公式可以如何表示?利用累乘法能否求得{an}的通项公式?
(2)根据等比数列的定义,能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来?由此归纳{an}的通项公式.2.填空:
等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.
3.做一做:
已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=-2,则an= (　　)
A.-6 B.-3×2n-1
C.-2×3n-1 D.3×(-2)n-1
解析:由等比数列的通项公式an=a1qn-1,得an=3×(-2)n-1.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列通项公式的应用
例1在等比数列{an}中,求解下列问题:(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
分析:先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题,解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.
2.在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测比中项及其应用
例2(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.
(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.
分析:(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.
又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.但与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac;但若b2=ac,a,b,c不一定成等比数列.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列的判断与证明
例3(1)判断下列数列是否为等比数列.
①1,3,32,33,…,3n-1,…;
②-1,1,2,4,8,…;
③a1,a2,a3,…,an,….①求证:{bn}为等比数列;
②求{an}的通项公式.分析:(1)判定等比数列,要抓住3个要点:①从第二项起.②要判定每一项,不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;②由{bn}为等比数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测∴数列为等比数列,且公比为3.
②记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;
当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)通项公式法:若数列{an}的通项an=cqn(c,q≠0),则数列{an}为等比数列.
2.一般地,若数列{an}满足递推关系式an=kan-1+b(k,b∈R,k≠1),则可探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在本例(2)中,若将条件改为“数列{an}的前n项和Sn满足探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视等比数列中奇、偶项的符号特点致误
典例在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,则a7=　　　　　.?
错解:∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,
∴a5·a9=1.又a7是a5,a9的等比中项,提示:错解中,忽视了等比数列中奇数项的符号相同、偶数项的符号相同这一特点,从而导致增解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:1 防范措施解等比数列的问题时,一定要特别注意符号,等比数列中项可以同正、同负,还可以正负交错,但是所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列数列为等比数列的是(　　)
A.0,1,2,4,…
B.22,42,62,82,…
C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3= (　　)
A.8 B.-8 C.±8 D.16答案:A 3.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为　　　　　.?
解析:∵a3=4×22=16,a5=4×24=64,答案:±32 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5.
(1)求该数列的通项公式;
(2)判断728是不是该数列中的项.解:(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去).(2)令3n-1=728,解得n=log3 728+1,但log3 728+1?N*,
所以728不是该数列中的项.