高中数学北师大版必修五课件 第三章 不等式3.2.1 :30张PPT

课件30张PPT。§2　一元二次不等式2.1　一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的有关概念
(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.
(2)一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.
【做一做1】下列不等式是一元二次不等式的是(　　)?解析:A不是,当m=0时,不符合定义;B不是,它是分式不等式;C也不是,它是二元二次不等式;只有D是,故选D.
答案:D2.一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集如下表:【做一做2】不等式5-x2>4x的解集为(　　)?
A.(-5,1) B.(-1,5)
C.(-∞,-5)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(5,+∞)
答案:A
【做一做3】不等式(x+3)(1-x)≤0的解集为(　　)?
A.{x|x≥3或x≤-1} B.{x|-1≤x≤3}
C.{x|-3≤x≤1} D.{x|x≤-3或x≥1}
解析:(x+3)(1-x)≤0?(x+3)(x-1)≥0?x≤-3或x≥1,故选D.
答案:D反思感悟1.一般情况下,求解一元二次不等式的基本思路是:
将一元二次不等式化成ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a>0)的标准形式,求相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的解,根据二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像写出该不等式的解集.对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解,也可将二次项系数a化为正数再求解.
2.求解一元二次不等式的步骤还可作出如下灵活的调整:
(1)若能将一元二次不等式左边因式分解,化为a(x-x1)(x-x2)>0(≥0)或a(x-x1)(x-x2)<0(≤0)的形式,则可无需验证判别式,易知方程的根,从而易得不等式的解集;
(2)若不等式的左边能够化为完全平方式,右边为零,不论取何值完全平方式始终大于或者等于零,则不等式的解集易得.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)(x+t)(x+t+3)>0是一元二次不等式. (　　)
(2)一元二次方程的根就是相应函数的图像与x轴的交点. (　　)
(3)不论实数a取什么值,不等式ax2+bx+c≥0的解集一定与相应方程ax2+bx+c=0的解有关. (　　)
(4)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2(x10的解集不可能为{x|x1答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)×探究一探究二探究三思维辨析
【例1】 解下列各不等式:
(1)x2-5x+4≥0;　　　　(2)9x2+6x+1>0;
(3)-x2+2x-3<0.
分析:按一元二次不等式的求解步骤进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一般情况下,求解一元二次不等式的基本思路是:
将一元二次不等式化成ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a>0)的标准形式,求相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的解,根据二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像写出该不等式的解集.对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解,也可将二次项系数a化为正数再求解.
2.求解一元二次不等式的步骤还可作出如下灵活的调整:
(1)若能将一元二次不等式左边因式分解,化为a(x-x1)(x-x2)>0(≥0)或a(x-x1)(x-x2)<0(≤0)的形式,则可无需验证判别式,易知方程的根,从而易得不等式的解集;
(2)若不等式的左边能够化为完全平方式,右边为零,不论取何值完全平方式始终大于或者等于零,则不等式的解集易得.探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1　(1)设集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|4-x≥1},则A∩B等于(　　)?
A.{x|2C.{x|3≤x<4} D.?
(2)设集合A={x|x2-2x<0},集合B={x|1≤x≤4},则A∩B等于(　　)
A.(0,2] B.(1,2)
C.[1,2) D.(1,4)
(3)已知全集U=R,集合A={x|-x2+10x-21≥0},B={x|x2-7x+10<0},则?R(A∩B)=(　　)
A.(-∞,3)∪(5,+∞) B.(-∞,3)∪[5,+∞)
C.(-∞,3]∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞)探究一探究二探究三思维辨析解析:(1)由x2-6x+8<0得,2由4-x≥1得,x≤3.
所以A={x|2所以A∩B={x|2(2)由x2-2x<0得,0所以A={x|0(3)由-x2+10x-21≥0得x2-10x+21≤0,
解得3≤x≤7,
由x2-7x+10<0解得2所以A={x|3≤x≤7},B={x|2所以A∩B={x|3≤x<5}.
所以?R(A∩B)={x|x<3或x≥5}.
答案:(1)A　(2)C　(3)B探究一探究二探究三思维辨析
【例2】 求a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3){2};
(4)[-1,+∞).
分析:根据解一元二次不等式的步骤,逆向分析与思考,得到对应方程根的情况,再确定a,b的值.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一元二次不等式与其对应函数与方程之间相互联系、相互渗透,并在一定条件下可以相互转换.若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.
2.若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x>x1或x0,且x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根;若ax2+bx+c>0的解集是{x|x10},B={x|x2+ax+b≤0}.且A∪B=R,A∩B={x|3解析:A={x|x>3或x<-1},
因为A∪B=R,A∩B={x|3所以B={x|-1≤x≤4}.
所以-1,4是方程x2+ax+b=0的两根.
所以a=-(-1+4)=-3,b=-1×4=-4.
答案:-3　-4探究一探究二探究三思维辨析【例3】 解关于x的不等式:ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).
分析首先对不等式左端进行因式分解,然后根据a>0,a=0,a<0的情况和方程ax2-(2a+1)x+2=0根的情况进行分类求解.
解:不等式ax2-(2a+1)x+2<0,即(ax-1)(x-2)<0.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.解含参数不等式时,对参数的讨论要不重不漏,最后的结果要分类叙述,切不可随意取并集,此外,解集为?时,也是其中的一种情况,不能随便去掉.
2.含参类不等式引起讨论的原因有如下几种:
(1)二次项系数的正负;
(2)相应的一元二次方程的判别式Δ与0的关系;
(3)相应的一元二次方程的两根的大小.
在解决以上障碍时,最优的处理次序应先看二次项系数,再考虑Δ,最后分析两根大小.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3　解关于x的不等式x2+2x+m<0(m∈R).?探究一探究二探究三思维辨析忽视题中的隐含条件而致误
【典例】 已知关于x的不等式x2-(a-2)x+(a2+3a+5)≤0的解集为{x|x1≤x≤x2},求
错解由已知得,x1,x2是方程x2-(a-2)x+(a2+3a+5)=0的两个根,
所以x1+x2=a-2,x1x2=a2+3a+5,
=(a-2)2-2(a2+3a+5)
=-a2-10a-6=-(a+5)2+19≤19,
所以 的最大值为19.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析 变式训练　如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系是　　　　　　　.?
解析:因为ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},
所以-2,4为方程ax2+bx+c=0的两根.所以f(x)=ax2-2ax-8a.
所以f(-1)=-5a,f(2)=-8a,f(5)=7a.
由ax2+bx+c>0的解集形式可知a>0,
所以f(2)答案:f(2)答案:B123452.若不等式x2+4x-2m<0的解集是?,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≥-2 B.m>-2
C.m≤-2 D.m<-2
解析:依题意有Δ=42-4×1×(-2m)≤0,解得m≤-2.
答案:C123453.不等式(x+1)(1-2x)<0的解集是　　　　　.?12345答案:-10 12345