1.1.1　不等式的基本性质学案

1.1　不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
1.1.1　不等式的基本性质
1.了解不等关系与不等式.
2.掌握不等式的性质.
3.会用不等式的性质解决一些简单问题.
自学导引
1.对于任何两个实数a，b，
a>b?a－b>0；
aa＝b?a－b＝0.
2.不等式有如下8条性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)加(减)：a>b?a＋c>b＋c；
(4)乘(除)：a>b，c>0?ac>bc；
a>b，c<0?ac(5)乘方：a>b>0?an>bn，n∈N*且n≥2；
(6)开方：a>b>0?>，n∈N*且n≥2；
(7)a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(8)a>b>0，c>d>0?ac>bd.
基础自测
1.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>a
C.－a>a2>a>－a2 D.a2>－a>a>－a2
解析　由a2＋a<0知a≠0，故有a<－a2<0，0答案　B
2.若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
解析　思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.
思路二：根据不等式的性质直接推导.
方法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，所以<，所以选项A错误，选项B正确.故选B.
方法二：因为c－d>0，
所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<，故选B.
答案　B
3.设x∈R，则与的大小关系是________.
解析　当x＝0时，＝0<，
当x≠0时，＝，
∴＋x2≥2，∴≤(当x＝±1时取等号)，
综上所述≤.
答案　≤
知识点1　不等式的性质及应用
【例1】判断下列各题的对错
(1)<且c>0?a>b(　　)
(2)a>b且c>d?ac>bd(　　)
(3)a>b>0且c>d>0?>(　　)
(4)>?a>b(　　)
解析　(1)?<，
当a<0，b>0时，此式成立，
推不出a>b，∴(1)错.
(2)当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错.
(3)?>>0?>成立.∴(3)对.
(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.
1.有以下四个条件：
①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使<成立的有________个条件.
解析　①b>0>a，∴<0<，结论成立；
②0>a>b，∴<，结论成立；
③a>0>b，∴>，结论不成立；
④a>b>0，∴<，结论成立.
答案　3
知识点2　实数大小的比较
【例2】实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小.
解　x2－2x＋y＝z－1?z－y＝(x－1)2≥0?z≥y；
x＋y2＋1＝0?y－x＝y2＋y＋1
＝＋>0?y>x，故z≥y>x.
●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：
(1)作差.
(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.
(3)定号，即确定差的符号.
(4)下结论.
2.已知－解　∵－1－a2，即A>B，
>，即C>D，
又∵A－C＝1＋a2－＝<0，∴A∵B－D＝1－a2－＝>0，
∴C>A>B>D.
知识点3　不等式的证明
【例3】如果a>b>0，c.
证明　∵c－d>0，
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
不等式的两边同乘>0，得：>>0，
又∵f<0，∴<，即>.
●反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.
3.已知a解　最大的一个是ax＋by＋cz
∵ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)(y－z)>0
?ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz
同理ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz
ax＋by＋cz>cx＋by＋az故结论成立.
课堂小结
1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a>b”、“a2.不等式的性质是不等式变形的依据.每一步变形，都应有根有据.记准适用条件是关键.
3.关于传递性要正确处理带等号的情况：由a>b，b≥c或a≥b，b>c均可推得a>c；而a≥b，b≥c不一定可以推得a>c，可能是a>c，也可能是a＝c.
随堂演练
1.已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析　运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案　C
2.已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由?a>b；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要而不充分条件，选B.
答案　B
3.已知不等式：①x2＋3>2x；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2＋b2≥2(a－b－1)，其中正确的不等式有__________.(填上正确的序号)
答案　①③
4.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d解析　∵d>c，a＋d∴a∵a＋d∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，
即d∴a答案　a基础达标
1.若<<0，则下列不等式中正确的有(　　)
①a＋b|b|；③abc.
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
答案　A
2.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B.a2>b2
C.> D.a|c|>b|c|
解析　本题只提供了“a，b，c∈R，a>b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A，还需有ab>0这个前提条件；选项B，当a，b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2>－3，但22>(－3)2不正确；选项C，>0，因而正确；选项D，当c＝0时不正确.
答案　C
3.设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.b－a>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.b＋a>0
解析　∵a－|b|>0，∴a>|b|>0.
∴不论b正或b负均有a＋b>0.
答案　D
4.已知60解析　x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的范围；
＝x×，所以需先求出的范围.
∵28∴－33<－y<－28，<<.
又60即<<3.
答案　275.设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a、b满足的条件是________________.
答案　ab≠1或a≠－2
6.已知a、b∈{正实数}且a≠b，比较＋与a＋b的大小.
解　∵－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)
＝，
∴当a>b>0时，a2>b2，∴>0.
当00.
∴只要a≠b，总有＋>a＋b.
综合提高
7.已知实数x，y满足axA.> B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C.sinx>sin y D.x3>y3
解析　先依据指数函数的性质确定出x，y的大小，再逐一对选项进行判断.因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不成立.B中，当x＝0，y＝－1时，ln 1答案　D
8.若a，b，x，y∈R，则是成立的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由可得
即有由
可得或
即有所以应选C.
答案　C
9.设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的范围是________.
解析　∵－＜α＜β＜，
∴－＜－β＜－α＜.∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.
答案　－π＜α＜－β＜0
10.有以下四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使＜成立的有________个条件.
解析　①∵b＞0，∴＞0.∵a＜0，∴＜0.∴＜.
②∵b＜a＜0，∴＞.
③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0.∴＞.
④∵a＞b＞0，∴＜.
综上知，①②④均能使＜成立.
答案　3
11.若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明　∵＋－a－b＝(a－b)
＝，
(a－b)2≥0恒成立，且已知a>0，b>0，
∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.
∴＋≥a＋b.
12.已知α、β满足
试求α＋3β的取值范围.
解　设α＋3β＝λ(α＋β)＋v(α＋2β)
＝(λ＋v)α＋(λ＋2v)β.
比较α、β的系数，得
从而解出λ＝－1，v＝2.
分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
另解　由①，∴－1≤－(α＋β)≤1 ③
由③②可得，0≤β≤4④
由④②可得，1≤α＋2β＋β≤4＋3，
即：1≤α＋3β≤7.