1.1.2　一元一次不等式和一元二次不等式的解法学案

1.1.2　一元一次不等式和一元二次不等式的解法
1.会解一元一次不等式和一元二次不等式.
2.会用一元一次不等式和一元二次不等式解决实际问题.
自学导引
1.一元一次不等式的解法.
(1)ax＋b≥0(a>0)解集为.
(2)ax＋b≤0(a<0)解集为.
2.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x?
?
基础自测
1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝(　　)
A.{－1，0} B.{0，1}
C.{－1，0，1} D.{0，1，2}
解析　化简集合B，利用交集的定义求解.
由题意知B＝{x|－2答案　A
2.函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(　　)
A.[－3，1] B.(－3，1)
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析　由对数的真数大于0，构造不等式进行求解.
要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).
答案　D
3.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)
解析　利用一元二次不等式的解法求解.
由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4答案　(－4，1)
知识点1　一元一次、一元二次不等式的解法
【例1】解下列不等式：
(1)3x＋2<2(x＋1)－4；
(2)－3x2－2x＋8≤0；
(3)8x－1≥16x2.
解　(1)原不等式等价于3x－2x<2－4－2即x<－4.
∴原不等式的解集为{x|x<－4}.
(2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0
?(x＋2)(3x－4)≥0?x≤－2或x≥.
∴不等式的解集为(－∞，－2]∪.
(3)原不等式等价于16x2－8x＋1≤0?(4x－1)2≤0.
∴只有当4x－1＝0，即x＝时不等式成立，
故不等式解集为.
●反思感悟：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.
1.解下列不等式：
(1)－2(x＋2)≥－5(x－1)；
(2)8x－1≤16x2.
解　(1)由原不等式可得：
4x＋5－6(x＋2)≥－15(x－1)，
即4x－6x＋15x≥15＋12－5，
即13x≥22，解得x≥，
故原不等式解集为.
(2)∵原不等式即为16x2－8x＋1≥0，
其相应方程为16x2－8x＋1＝0，Δ＝(－8)2－4×16＝0，
∴上述方程有两相等实根x＝，
结合二次函数y＝16x2－8x＋1的图象知，原不等式的解集为R.
知识点2　含参数的一元二次不等式的解法
【例2】已知不等式>0(a∈R).
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.
解　(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；
②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0，
解得x<－1或x>；
③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；
若<－1，即－1若＝－1，即a＝－1，则不等式解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，a<－1时，解集为；
a＝－1时，原不等式无解；
－1a＝0时，解集为{x|x<－1}；
a>0时，解集为.
(2)∵x＝－a时不等式成立，
∴>0，即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).
●反思感悟：(1)含参数的一元二次不等式可分为两种情形：一是二次项系数为常数.参数在一次项或常数项的位置，此时可考虑分解因式，再对参数进行讨论，若不易分解因式，则要对判别式Δ分类讨论，分类应不重不漏；二是二次项系数为参数，则应考虑二次项系数是否为0，然后再讨论二次项系数不为0的情形，以便确定解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小，以便写出解集.
(2)含参数不等式的解法问题，是高考的重点内容，主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.
2.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即a>－2，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为；当－2知识点3　一元二次不等式的应用
【例3】某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍.
(1)用x和y表示z；
(2)设y＝kx(0(3)若y＝x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.
解　(1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为
p元，每月卖出数量为n件，
每月售货总金额是npz元，
因而npz＝p·n，
所以z＝.
(2)在y＝kx的条件下，z＝，
整理可得z＝·，
由于00，
所以使z值最大的x的值是.
(3)当y＝x时，z＝，
要使每月售货总金额有所增加，即z>1，
应有(10＋x)·>100，即x(x－5)<0，
解得0●反思感悟：不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用题，要审清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键.
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售收入将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？
解　设每年销售量为x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
∵Δ＝36>0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8.
然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，
由图象得不等式的解为2≤R≤8.
课堂小结
1.解一元二次不等式时，首先要将一元二次不等式化成标准型，即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式，其中a>0.
如解不等式6－x2>5x时首先化为x2＋5x－6<0.
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式(其中a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系.
(1)知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根可以写出对应不等式的解集；
(2)知道一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集也可以写出对应方程的根.
3.数形结合：利用一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集.
随堂演练
1.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2A.(1，3) B.(1，4)
C.(2，3) D.(2，4)
解析　先化简集合A，再利用集合的交集的定义或利用数轴求解.由已知可得集合A＝{x|1答案　C
2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|0C.{a|0答案　D
3.不等式2x2－x<4的解集为________.
解析　利用指数函数的性质化为整式不等式求解.
∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，
∴－1答案　{x|－14.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________.
解析　依题意，f(x)的对称轴为x＝1，又开口向下，
∴当x∈[－1，1]时，f(x)是单调递增函数.
若f(x)>0恒成立.
则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，
即b2－b－2>0.
∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.
答案　b>2或b<－1
基础达标
1.　已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝(　　)
A.[－2，－1] B. [－1，2)
C.[－1，1] D.[1，2)
解析　先求解集合A，再进行集合之间的运算.
∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.
答案　A
2.满足＜2与＞－3的x适合的条件是(　　)
A.＜x＜ B.x＞
C.x＜－ D.x＞，或x＜－
解析　原不等式化为－(x＋1)＞0，即＞0，(x＋)(x－)(x－1)＜0.用数轴标根法可得，x＜－，或1＜x＜.
答案　C
3.已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　不等式x2＋2ax－a>0的解集是R等价于4a2＋4a<0，即－1答案　C
4.不等式x(x－1)(x－2)2(x2－1)(x3－1)＞0的解集是________.
解析　原不等式即x(x－1)3(x－2)2(x＋1)(x2＋x＋1)＞0，∴x2＋x＋1＞0，(x－1)2k≥0，(x－2)2≥0，
∴原不等式等价与不等式组
∴原不等式的解集是{x|－1＜x＜0，或x＞1，且x≠2}.
答案　{x|－1＜x＜0，或x＞1，且x≠2}
5.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是________.
解析　原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1答案　[－4，3]
6.解不等式－3(x＋1)<(x＋2)－14.
解　不等式两边同时乘以2得，(x－4)－6(x＋1)<2(x＋2)－28，即－5x－10<2x－24，
得：－7x<－14，即x>2.
故原不等式的解集为{x|x>2}.
综合提高
7.已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是(　　)
A.∪
B.
C.∪
D.
解析　由f(x)>0，得ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)，∴a<0.且解得a＝－1或，
∴a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，
得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－，故选A.
答案　A
8.在R上定义运算：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则(　　)
A.－1C.－解析　依题设得x－a－x2＋a2<1恒成立，
即＋>0恒成立?a2－a－<0恒成立?－答案　C
9.若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4)的解集为________.
解析　由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[(x＋6)x]，
2f(4)＝f(16).根据单调性得(x＋6)x<16，
解得－80，x>0，所以0答案　(0，2)
10.若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围是________.
解析　令f(x)＝x2＋ax＋a2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f(0)<0，即a2－1<0.
∴－1答案　－111.解不等式：log(3x2－2x－5)≤log(4x2＋x－5).
解　原不等式等价于
解①得x2＋3x≤0，即－3≤x≤0.
解②得x>1或x<－.
故原不等式的解集为.
12.已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.
解　方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，
只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围是[－3，1].
方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
所求a的取值范围是[－3，1].