1.2 基本不等式(二)学案
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1.2 基本不等式(二)
1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.
2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.
自学导引
1.当a、b、c∈R＋时，≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a、b、c的几何平均值.
2.如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.
基础自测
1.设a、b、c∈R，下列各不等式中成立的是( )
A.a2＋b2≥2|ab| B.a＋b≥2
C.a3＋b3＋c3≥3abc D.≥
解析 由a2＋b2－2|ab|＝|a|2－2|ab|＋|b|2
＝(|a|－|b|)2≥0，故选A.
答案 A
2.函数y＝x2·(1－5x)的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析 由y＝x2·(1－5x)＝·x·x(1－5x)
≤＝.
答案 A
3.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.
解析 利用不等式求解.
因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.
因为a2＋b2＋c2＝1，
所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，
所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，
所以3a2≤2，所以a2≤，
所以－≤a≤，所以amax＝.
答案
知识点1 利用平均值不等式证明不等式
【例1】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥.
证明 a＋b＋c＝1?(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2，
[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
≥3·3＝9
?＋＋≥.
●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.
1.证明(a＋b＋c)≥(a，b，c∈R＋).
证明 ∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)
≥3，
＋＋≥3，
∴(a＋b＋c)≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
知识点2 利用平均值不等式求最值
【例2】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
解 方法一：∵a、b∈R＋，且ab＝a＋b＋3≥3，
∴a3b3≥81ab.又ab>0，∴a2b2≥81.
∴ab≥9(当且仅当a＝b时，取等号).
∴ab的取值范围是[9，＋∞).
方法二：∵ab－3＝a＋b≥2，
∴ab－2－3≥0且ab>0，
∴≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b时取等号)
∴ab的取值范围是[9，＋∞).
●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.
2.求y＝sin xcos2x，x∈的最大值.
解 ∵x∈，∴sin x>0，y>0.
y2＝sin2xcos4x＝
≤＝＝＝.
故y≤＝，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝，
y有最大值.
知识点3 平均值不等式的实际应用
【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据：
①，②，③，④，⑤，
则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( )
A.①② B.①③
C.②③④ D.②⑤
解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x(x>0)，
则a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，
∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，
∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)
≤＝.
∴1＋x≤，即x≤，
对比所给数据，只有①③满足条件，故选B.
答案 B
3.设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为__________ cm2.
解析 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则abc＝1 000，且a>0，b>0，c>0.
∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3＝600.
当且仅当a＝b＝c＝10 (cm)时取“＝”号.
所以它的表面积S的最小值为600 cm2.
答案 600
课堂小结
利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.
随堂演练
1.设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.p＝r＜q
C.q＝r＞p D.p＝r＞q
解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p，q，r之间的相等与不等关系.
因为b>a>0，故<.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋lnb)＝ln＝p.
答案 B
2.已知x≥，则f(x)＝有( )
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
解析 f(x)＝＝，
又∵x≥，x－2≥，
则f(x)≥·2＝1.
答案 D
3.函数y＝x2·(1－3x)在上的最大值是________.
解析 由y＝x2·(1－3x)
＝·x·x(1－3x)
≤＝.
答案
4.用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm2.
解析 设矩形长为x cm(0面积S＝x(8－x).由于x>0，8－x>0，
可得S≤＝16，
当且仅当x＝8－x即x＝4时，Smax＝16.
所以矩形的最大面积是16 cm2.
答案 16
基础达标
1.若x>0，则4x＋的最小值是( )
A.9 B.3
C.13 D.不存在
解析 ∵x>0，
∴4x＋＝2x·2x·≥3＝3.
答案 B
2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝·，则x的取值范围为( )
A. B.
C.[1，8) D.[8，＋∞)
解析 ∵x＝
＝··
＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.
答案 D
3.已知x，y都为正数，且＋＝1，则xy有( )
A.最小值16 B.最大值16
C.最小值 D.最大值
解析 ∵x，y∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴1＝＋≥2＝，∴≥4，∴xy≥16，
当且仅当即时取等号，
此时(xy)min＝16.
答案 A
4.已知a，b，∈R*，则≥________.
解析 ＝1＋1＋1＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
答案 9
5.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元).
解析 利用均值(基本)不等式解决问题.
设该长方体容器的长为x m，则宽为m.又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x>0).因为x＋≥2＝4，所以ymin＝80＋20×4＝160(元).
答案 160
6.已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值.
解 (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得
(2)＋
＝＋≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
综合提高
7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是( )
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，
于是有V＝πr2h≤π·＝π＝π，
当且仅当r＝h时取等号.
答案 B
8.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 l＝4r＋2h，即2r＋h＝，
V＝πr2h≤π＝π.
答案 A
9.定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________.
解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.
因为x?y＝，所以(2y)?x＝.又x>0，y>0，故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立.
答案
10.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.
解析 把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值.
(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＋18＝＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.
(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2 000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.
答案 (1)1 900 (2)100
11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.
解 设AN的长为x米(x>2)，矩形AMPN的面积为y.
∵＝，∴|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝(x>2)
(1)由S矩形AMPN>32得>32，
∵x>2，∴3x2－32x＋64>0，
即(3x－8)(x－8)>0，∴28，
即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞).
(2)令y＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3(x－2)＝，
即x＝4时，y＝取得最小值，
即S矩形AMPN取得最小值24平方米.
(3)令g(x)＝3x＋(x≥4)，设x1>x2≥4，
则g(x1)－g(x2)＝3(x1－x2)＋
＝，
∵x1>x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16，
∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在[4，＋∞)上递增.
∴y＝3(x－2)＋＋12在[6，＋∞)上递增.
∴当x＝6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.
12.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例常数为b，固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？
解 (1)因为汽车每小时的运输成本为bv2＋a(元)，
全程时间为(小时)，故y＝(bv2＋a)，
即y＝s，v∈(0，c].
(2)由于＋bv≥2，当且仅当v＝时取等号，故
①若≤c，则当v＝时，y取最小值.
②若>c，则先证y＝s，v∈(0，c]为单调减函数，事实上，当v1、v2∈(0，c]，且v1则y1－y2＝s
＝s＝s(v1－v2)
＝sb(v1－v2)·，
∵v1、v2∈(0，c]，v1∴v1－v2<0，v1v2>0，v1<，v2<.
进而v1v2<，从而y1－y2>0.
故y＝s，v∈(0，c]为单调减函数，
由此知当v＝c时，y取得最小值.
综上可知，若≤c，则当v＝时，y取得最小值；
若>c，则当v＝c时，y取得最小值.
1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.
2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.
自学导引
1.当a、b、c∈R＋时，≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a、b、c的几何平均值.
2.如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.
基础自测
1.设a、b、c∈R，下列各不等式中成立的是( )
A.a2＋b2≥2|ab| B.a＋b≥2
C.a3＋b3＋c3≥3abc D.≥
解析 由a2＋b2－2|ab|＝|a|2－2|ab|＋|b|2
＝(|a|－|b|)2≥0，故选A.
答案 A
2.函数y＝x2·(1－5x)的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析 由y＝x2·(1－5x)＝·x·x(1－5x)
≤＝.
答案 A
3.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.
解析 利用不等式求解.
因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.
因为a2＋b2＋c2＝1，
所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，
所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，
所以3a2≤2，所以a2≤，
所以－≤a≤，所以amax＝.
答案
知识点1 利用平均值不等式证明不等式
【例1】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥.
证明 a＋b＋c＝1?(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2，
[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
≥3·3＝9
?＋＋≥.
●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.
1.证明(a＋b＋c)≥(a，b，c∈R＋).
证明 ∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)
≥3，
＋＋≥3，
∴(a＋b＋c)≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
知识点2 利用平均值不等式求最值
【例2】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
解 方法一：∵a、b∈R＋，且ab＝a＋b＋3≥3，
∴a3b3≥81ab.又ab>0，∴a2b2≥81.
∴ab≥9(当且仅当a＝b时，取等号).
∴ab的取值范围是[9，＋∞).
方法二：∵ab－3＝a＋b≥2，
∴ab－2－3≥0且ab>0，
∴≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b时取等号)
∴ab的取值范围是[9，＋∞).
●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.
2.求y＝sin xcos2x，x∈的最大值.
解 ∵x∈，∴sin x>0，y>0.
y2＝sin2xcos4x＝
≤＝＝＝.
故y≤＝，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝，
y有最大值.
知识点3 平均值不等式的实际应用
【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据：
①，②，③，④，⑤，
则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( )
A.①② B.①③
C.②③④ D.②⑤
解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x(x>0)，
则a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，
∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，
∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)
≤＝.
∴1＋x≤，即x≤，
对比所给数据，只有①③满足条件，故选B.
答案 B
3.设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为__________ cm2.
解析 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则abc＝1 000，且a>0，b>0，c>0.
∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3＝600.
当且仅当a＝b＝c＝10 (cm)时取“＝”号.
所以它的表面积S的最小值为600 cm2.
答案 600
课堂小结
利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.
随堂演练
1.设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.p＝r＜q
C.q＝r＞p D.p＝r＞q
解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p，q，r之间的相等与不等关系.
因为b>a>0，故<.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋lnb)＝ln＝p.
答案 B
2.已知x≥，则f(x)＝有( )
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
解析 f(x)＝＝，
又∵x≥，x－2≥，
则f(x)≥·2＝1.
答案 D
3.函数y＝x2·(1－3x)在上的最大值是________.
解析 由y＝x2·(1－3x)
＝·x·x(1－3x)
≤＝.
答案
4.用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm2.
解析 设矩形长为x cm(0
可得S≤＝16，
当且仅当x＝8－x即x＝4时，Smax＝16.
所以矩形的最大面积是16 cm2.
答案 16
基础达标
1.若x>0，则4x＋的最小值是( )
A.9 B.3
C.13 D.不存在
解析 ∵x>0，
∴4x＋＝2x·2x·≥3＝3.
答案 B
2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝·，则x的取值范围为( )
A. B.
C.[1，8) D.[8，＋∞)
解析 ∵x＝
＝··
＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.
答案 D
3.已知x，y都为正数，且＋＝1，则xy有( )
A.最小值16 B.最大值16
C.最小值 D.最大值
解析 ∵x，y∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴1＝＋≥2＝，∴≥4，∴xy≥16，
当且仅当即时取等号，
此时(xy)min＝16.
答案 A
4.已知a，b，∈R*，则≥________.
解析 ＝1＋1＋1＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
答案 9
5.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元).
解析 利用均值(基本)不等式解决问题.
设该长方体容器的长为x m，则宽为m.又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x>0).因为x＋≥2＝4，所以ymin＝80＋20×4＝160(元).
答案 160
6.已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值.
解 (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得
(2)＋
＝＋≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
综合提高
7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是( )
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，
于是有V＝πr2h≤π·＝π＝π，
当且仅当r＝h时取等号.
答案 B
8.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 l＝4r＋2h，即2r＋h＝，
V＝πr2h≤π＝π.
答案 A
9.定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________.
解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.
因为x?y＝，所以(2y)?x＝.又x>0，y>0，故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立.
答案
10.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.
解析 把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值.
(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＋18＝＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.
(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2 000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.
答案 (1)1 900 (2)100
11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.
解 设AN的长为x米(x>2)，矩形AMPN的面积为y.
∵＝，∴|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝(x>2)
(1)由S矩形AMPN>32得>32，
∵x>2，∴3x2－32x＋64>0，
即(3x－8)(x－8)>0，∴2
即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞).
(2)令y＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3(x－2)＝，
即x＝4时，y＝取得最小值，
即S矩形AMPN取得最小值24平方米.
(3)令g(x)＝3x＋(x≥4)，设x1>x2≥4，
则g(x1)－g(x2)＝3(x1－x2)＋
＝，
∵x1>x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16，
∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在[4，＋∞)上递增.
∴y＝3(x－2)＋＋12在[6，＋∞)上递增.
∴当x＝6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.
12.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例常数为b，固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？
解 (1)因为汽车每小时的运输成本为bv2＋a(元)，
全程时间为(小时)，故y＝(bv2＋a)，
即y＝s，v∈(0，c].
(2)由于＋bv≥2，当且仅当v＝时取等号，故
①若≤c，则当v＝时，y取最小值.
②若>c，则先证y＝s，v∈(0，c]为单调减函数，事实上，当v1、v2∈(0，c]，且v1
＝s＝s(v1－v2)
＝sb(v1－v2)·，
∵v1、v2∈(0，c]，v1
进而v1v2<，从而y1－y2>0.
故y＝s，v∈(0，c]为单调减函数，
由此知当v＝c时，y取得最小值.
综上可知，若≤c，则当v＝时，y取得最小值；
若>c，则当v＝c时，y取得最小值.