1.2 基本不等式(一)学案
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1.2 基本不等式(一)
1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.
2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.
自学导引
1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
2.定理2(基本不等式)：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
3.我们常把叫做正数a，b的算术平均值，把叫做正数a，b的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
4.关于用不等式求函数最大、最小值
(1)若x≥0、y≥0，且xy＝p(定值)，则当x＝y时，x＋y有最小值2.
(2)若x≥0、y≥0，且x＋y＝s(定值)，则当x＝y时，xy有最大值.
基础自测
1.设0A.a2＋b2 B.a＋b
C.2ab D.2
解析 ∵0∴a＋b>2，a2a2＋b2>2ab，且ab<.
答案 B
2.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析 由条件＋＝知a，b均为正数.因而可利用基本不等式求解.
由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
答案 C
3.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a>0，b>0，
ab＝a＋b＋3≥2＋3，
∴()2－2＋3≥0，
∴≥3或≤－1(舍去)，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
知识点1 不等式证明
【例1】求证：＋a≥7 (其中a>3).
证明 ＋a＝＋(a－3)＋3，
由基本不等式，得＋a＝＋(a－3)＋3
≥2 ＋3＝2＋3＝7.
当且仅当＝a－3，即a＝5时取等号.
●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，
求证：≥9.
证明 方法一：＝1＋＋＋
＝1＋≥1＋＝9.
方法二：＝
＝＝5＋2≥9.
知识点2 最值问题
【例2】设x，y∈R＋且＋＝3，求2x＋y的最小值.
解 方法一：2x＋y＝·3(2x＋y)
＝·(2x＋y)＝≥.
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
∴2x＋y的最小值为.
方法二：设＝，＝
则x＝，y＝
2x＋y＝＋＝＋
≥，当且仅当m＝n，即x＝，y＝时，取得最小值.
●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.
2.已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值.
解 由y＝4x－2＋
＝4x－5＋＋3≤－2＋3＝1.
当4x－5＝时取等号，∴x＝1，∴最大值为1.
知识点3 基本不等式的实际应用
【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.
解 设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a元和b元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为＝(元/片)；乙公司两次购电脑芯片的平均价格为＝(元/片).
∵a>0，b>0且a≠b，
∴>，＋>2＝，
∴<，∴>，
∴乙公司的平均成本比较低.
3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问：
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解 设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，
则有S＝xy，由题意得：
40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
(1)由基本不等式，得
3 200≥2＋20xy＝120 ＋20xy
＝120＋20S，
∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16>0，∴－10≤0，从而S≤100.
∴S的最大允许值是100 m2.
(2)S取最大值的条件是40x＝90y，
又xy＝100，由此解得x＝15.
∴正面铁栅的长度应设计为15米.
课堂小结
1.两个不等式：a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而≥2是不成立的.
2.两个不等式：a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.
当a＝b取等号，其含义是a＝b?＝；
仅当a＝b取等号，其含义是＝?a＝b.
综合上述两条，a＝b是＝的充要条件.
3.与基本不等式有关的两个常用不等式：
(1)＋≥2 (a、b同号)；
(2)≤≤≤ (a>0，b>0).
随堂演练
1.设实数x，y，满足x2＋y2＝1，当x＋y＋c＝0时，c的最大值是( )
A. B.－
C.2 D.－2
解析 方法一：设x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈[－π，π]
当x＋y＋c＝0时，
c＝－x－y＝－(cos θ＋sinθ)＝－sin，
当sin＝－1时，cmax＝.
方法二：c2＝(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2
∵－≤c≤，∴cmax＝.
答案 A
2.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.
由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.
答案 D
3.已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值________.
解析 ∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝时，上式等号成立.
又＋＝1，∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
答案 16
4.x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，的最小值是________.
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，
得≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”.
答案 3
基础达标
1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最大值为( )
A. B. C. D.2
答案 C
2.若a，b∈R＋，且a＋b≤2，则＋的最小值为( )
A.1 B.2
C. D.4
答案 B
3.下列命题：①x＋最小值是2；②的最小值是2；③的最小值是2；④2－3x－的最小值是2.其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①当x<0时结论不成立；
②由＝＝＋≥2，故结论成立；
③由＝＋，由≥2，≤，∴≠，故结论不成立；
④当x>0时，2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，
当x<0时，2－3x－＝2－≥2＋2＝2＋4，故结论不成立.
答案 A
4.若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是________.
答案 a≥2
5.若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________.
解析 由题意得a2＝(1＋2b)(1－2b)＝1－4b2.
即a2＋4b2＝1.
∵a2＋4b2≥2，得|ab|≤且≥4，
∴＝＝
＝＝≤＝.
答案
6.已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4.
证明 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，
当且仅当a＝b时，取等号.①
＋≥2 >0，当且仅当＝，即a＝b时取等号.②
①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，取等号.
综合提高
7.函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A.－3 B.3
C.4 D.－4
解析 x>1，x－1>0，
y＝log2＝log2
≥log2(2＋6)＝log28＝3.
答案 B
8.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析 设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.
由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
答案 C
9.设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________.
解析 将＋进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值.
令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.
∴tmax＝＝3.
答案 3
10.对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________.
解析 利用均值不等式找到|2a＋b|取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c表示a，b，再求＋＋的最小值.
由题意知，c＝4a2－2ab＋b2＝(2a＋b)2－6ab，
∴(2a＋b)2＝c＋6ab.若|2a＋b|最大，则ab>0.
当a>0，b>0时，
(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋3，
∴(2a＋b)2≤c＋(2a＋b)2，∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，当且仅当b＝2a，即时取等号.
此时＋＋＝＋＋>0.
当a<0，b<0时，
(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3(－2a)·(－b)
≤c＋3，
∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，即－2a－b≤2.
当且仅当b＝2a，即时取等号.
此时＋＋＝－－＋＝－＝4－1≥－1，当＝，即c＝4时等号成立.
综上可知，当c＝4，a＝－1，b＝－2时，＝－1.
答案 －1
11.若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
解 (1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立.
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
12.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速率v(千米/时)之间的函数关系为y＝(v＞0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解 (1)依题意，y＝≤＝≈11.1(千辆/时)
(2)由条件得＞10，
整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25))(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答 当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.
1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.
2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.
自学导引
1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
2.定理2(基本不等式)：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
3.我们常把叫做正数a，b的算术平均值，把叫做正数a，b的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
4.关于用不等式求函数最大、最小值
(1)若x≥0、y≥0，且xy＝p(定值)，则当x＝y时，x＋y有最小值2.
(2)若x≥0、y≥0，且x＋y＝s(定值)，则当x＝y时，xy有最大值.
基础自测
1.设0
C.2ab D.2
解析 ∵0
答案 B
2.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析 由条件＋＝知a，b均为正数.因而可利用基本不等式求解.
由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
答案 C
3.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a>0，b>0，
ab＝a＋b＋3≥2＋3，
∴()2－2＋3≥0，
∴≥3或≤－1(舍去)，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
知识点1 不等式证明
【例1】求证：＋a≥7 (其中a>3).
证明 ＋a＝＋(a－3)＋3，
由基本不等式，得＋a＝＋(a－3)＋3
≥2 ＋3＝2＋3＝7.
当且仅当＝a－3，即a＝5时取等号.
●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，
求证：≥9.
证明 方法一：＝1＋＋＋
＝1＋≥1＋＝9.
方法二：＝
＝＝5＋2≥9.
知识点2 最值问题
【例2】设x，y∈R＋且＋＝3，求2x＋y的最小值.
解 方法一：2x＋y＝·3(2x＋y)
＝·(2x＋y)＝≥.
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
∴2x＋y的最小值为.
方法二：设＝，＝
则x＝，y＝
2x＋y＝＋＝＋
≥，当且仅当m＝n，即x＝，y＝时，取得最小值.
●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.
2.已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值.
解 由y＝4x－2＋
＝4x－5＋＋3≤－2＋3＝1.
当4x－5＝时取等号，∴x＝1，∴最大值为1.
知识点3 基本不等式的实际应用
【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.
解 设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a元和b元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为＝(元/片)；乙公司两次购电脑芯片的平均价格为＝(元/片).
∵a>0，b>0且a≠b，
∴>，＋>2＝，
∴<，∴>，
∴乙公司的平均成本比较低.
3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问：
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解 设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，
则有S＝xy，由题意得：
40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
(1)由基本不等式，得
3 200≥2＋20xy＝120 ＋20xy
＝120＋20S，
∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16>0，∴－10≤0，从而S≤100.
∴S的最大允许值是100 m2.
(2)S取最大值的条件是40x＝90y，
又xy＝100，由此解得x＝15.
∴正面铁栅的长度应设计为15米.
课堂小结
1.两个不等式：a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而≥2是不成立的.
2.两个不等式：a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.
当a＝b取等号，其含义是a＝b?＝；
仅当a＝b取等号，其含义是＝?a＝b.
综合上述两条，a＝b是＝的充要条件.
3.与基本不等式有关的两个常用不等式：
(1)＋≥2 (a、b同号)；
(2)≤≤≤ (a>0，b>0).
随堂演练
1.设实数x，y，满足x2＋y2＝1，当x＋y＋c＝0时，c的最大值是( )
A. B.－
C.2 D.－2
解析 方法一：设x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈[－π，π]
当x＋y＋c＝0时，
c＝－x－y＝－(cos θ＋sinθ)＝－sin，
当sin＝－1时，cmax＝.
方法二：c2＝(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2
∵－≤c≤，∴cmax＝.
答案 A
2.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.
由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.
答案 D
3.已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值________.
解析 ∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝时，上式等号成立.
又＋＝1，∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
答案 16
4.x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，的最小值是________.
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，
得≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”.
答案 3
基础达标
1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最大值为( )
A. B. C. D.2
答案 C
2.若a，b∈R＋，且a＋b≤2，则＋的最小值为( )
A.1 B.2
C. D.4
答案 B
3.下列命题：①x＋最小值是2；②的最小值是2；③的最小值是2；④2－3x－的最小值是2.其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①当x<0时结论不成立；
②由＝＝＋≥2，故结论成立；
③由＝＋，由≥2，≤，∴≠，故结论不成立；
④当x>0时，2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，
当x<0时，2－3x－＝2－≥2＋2＝2＋4，故结论不成立.
答案 A
4.若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是________.
答案 a≥2
5.若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________.
解析 由题意得a2＝(1＋2b)(1－2b)＝1－4b2.
即a2＋4b2＝1.
∵a2＋4b2≥2，得|ab|≤且≥4，
∴＝＝
＝＝≤＝.
答案
6.已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4.
证明 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，
当且仅当a＝b时，取等号.①
＋≥2 >0，当且仅当＝，即a＝b时取等号.②
①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，取等号.
综合提高
7.函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A.－3 B.3
C.4 D.－4
解析 x>1，x－1>0，
y＝log2＝log2
≥log2(2＋6)＝log28＝3.
答案 B
8.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析 设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.
由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
答案 C
9.设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________.
解析 将＋进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值.
令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.
∴tmax＝＝3.
答案 3
10.对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________.
解析 利用均值不等式找到|2a＋b|取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c表示a，b，再求＋＋的最小值.
由题意知，c＝4a2－2ab＋b2＝(2a＋b)2－6ab，
∴(2a＋b)2＝c＋6ab.若|2a＋b|最大，则ab>0.
当a>0，b>0时，
(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋3，
∴(2a＋b)2≤c＋(2a＋b)2，∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，当且仅当b＝2a，即时取等号.
此时＋＋＝＋＋>0.
当a<0，b<0时，
(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3(－2a)·(－b)
≤c＋3，
∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，即－2a－b≤2.
当且仅当b＝2a，即时取等号.
此时＋＋＝－－＋＝－＝4－1≥－1，当＝，即c＝4时等号成立.
综上可知，当c＝4，a＝－1，b＝－2时，＝－1.
答案 －1
11.若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
解 (1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立.
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
12.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速率v(千米/时)之间的函数关系为y＝(v＞0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解 (1)依题意，y＝≤＝≈11.1(千辆/时)
(2)由条件得＞10，
整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25))(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答 当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.