1.3　绝对值不等式的解法学案

1.3　绝对值不等式的解法
1.3.1　|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
1.3.2　|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.
2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.
自学导引
1.设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x≥0时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝－x.
2.|x|>a (a>0)?x>a或x<－a.
3.|x|0)?－a4.a<0时，|x|≤a的解集为?；|x|≥a的解集为R.
5.|f(x)|0)?－a6.|f(x)|>a (a>0)?f(x)>a或f(x)<－a.
7.|f(x)|8.|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
9.|f(x)|<|g(x)|?f2(x)10.|f(x)|>|g(x)|?f2(x)>g2(x).
基础自测
1.已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(?UA)∩B等于(　　)
A.[－1，4) B.(2，3)
C.(2，3] D.(－1，4)
解析　A＝{x||x－1|>2}＝{x|x<－1或x>3}，
B＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2?UA＝{x|－1≤x≤3}，
∴(?UA)∩B＝{x|2答案　C
2.不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)
A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4)
C.(－4，0) D.(－4，－2)∪(0，2)
解析　原不等式可化为1解得：0答案　D
3.若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
解析　根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解.
∵|ax－2|<3，∴－1当a>0时，－当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，答案　－3
知识点1　解|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c型不等式
【例1】解不等式：
(1)|x－a|≤b (b>0)；(2)|x－a|≥b (b>0).
解　(1)|x－a|≤b (b>0)?－b≤x－a≤b
?a－b≤x≤b＋a.
所以原不等式的解集为{x|a－b≤x≤a＋b}.
(2)|x－a|≥b?x－a≥b或x－a≤－b
?x≥a＋b或x≤a－b.
所以原不等式的解集为{x|x≥a＋b或x≤a－b}.
●反思感悟：对于|ax＋b|≤c或(ax＋b)≥c型不等式的化简，要特别注意a为负数时，可以先把a化为正数.
1.解不等式：
(1)2|x|＋1>7；(2)|1－2x|<5.
解　(1)2|x|＋1>7?2|x|>6
?|x|>3?x>3或x<－3.
∴不等式的解集为{x|x>3或x<－3}.
(2)|1－2x|<5?|2x－1|<5?－5<2x－1<5
?－4<2x<6?－2∴不等式的解集为{x|－2知识点2　解|f(x)|<|g(x)|型不等式
【例2】解不等式|x－a|<|x－b| (a≠b).
解　由|x－a|<|x－b|两边平方得：(x－a)2<(x－b)2.
整理得：2(a－b)x>a2－b2.因a≠b，当a>b时，x>；
当a当a>b时，；
当a●反思感悟：解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝对值符号，把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式.
2.解不等式|x2－2x＋3|<|3x－1|.
解　x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
|x2－2x＋3|<|3x－1|?x2－2x＋3<|3x－1|
?3x－1>x2－2x＋3或3x－1<－x2＋2x－3
?x2－5x＋4<0或x2＋x＋2<0.
由x2－5x＋4<0，得：1由x2＋x＋2<0，得：＋<0，
该不等式解集为?.所以原不等式的解集为(1，4).
知识点3　解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|
　　　≤c型不等式
【例3】解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解　①x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.
③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，
解得x>2，∴x>2.
综上可知：原不等式的解集为.
●反思感悟：对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.
3.设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0).
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围.
(1)证明　由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解　f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3当0综上，a的取值范围是.
课堂小结
解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：
(1)根据实数的绝对值的意义：|a|＝
(2)根据不等式的性质：
|x|0).
(3)根据|a|2＝a2 (a∈R)，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.
随堂演练
1.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)
A.(－∞，4) B.(－∞，1)
C.(1，4) D.(1，5)
解析　利用零点分区间法解绝对值不等式.
①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1∴x<4，∴1③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.
答案　A
2.不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是(　　)
A.0　　　　B.－1　　　C.1　　　　D.2
解析　(1)x≥2则不等式化为x－1＋x－2＝2x－3≤3，
解得2≤x≤3.∵x∈Z，∴x＝2或x＝3.
(2)1≤x<2，则不等式化为x－1＋2－x＝－1≤3，
则x∈[1，2).∵x∈Z，∴x＝1.
(3)x<1，则不等式化为1－x＋2－x＝3－2x≤3，解得x≥0.
∵x∈Z且取最小整数，∴x＝0.综上所得：x＝0.
答案　A
3.不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________.
解析　|2x－1|－|x－2|<0?|2x－1|<|x－2|?(2x－1)2<(x－2)2?4x2－4x＋1答案　(－1，1)
4.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.
解析　思路一：利用数轴对x进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.
方法一：要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
方法二：|x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
答案　{x|x≤－3或x≥2}
基础达标
1.如果<2和|x|>同时成立，那么x的取值范围是(　　)
A.－或x<－
C.x> D.x<－或x>
解析　解不等式<2得x<0或x>.
解不等式|x|>得x>或x<－.
∴x的取值范围为x>或x<－.
答案　B
2.若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B＝(　　)
A.{x|－1B.{x|2C.{x|－D.{x|－1解析　|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1A＝{x|－1(2x＋1)(x－3)>0?x<－或x>3，
∴B＝{x|x<－或x>3}.
结合数轴：
∴A∩B＝{x|－1答案　D
3.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.
|x－2|<1?10?x>1或x<－2.
由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件.
答案　A
4.若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a等于________.
解析　由|ax＋2|<6可知－8当a>0时，－∵解集为(－1，2)，
∴有，∴矛盾，
故a不可能大于0.当a＝0，则x∈R不符合题意.
当a<0时，∵解集为(－1，2)，
∴有，∴
故a＝－4.
答案　－4
5.若不等式|x－1|解析　由题意得0①0②1综合①，②得|x－1|<3，∴a∈[3，＋∞).
答案　[3，＋∞)
6.解不等式x＋|2x＋3|≥2.
解　原不等式可化为或
解得x≤－5或x≥－.
综上，原不等式的解集是.
综合提高
7.不等式(1＋x)(1－|x|)>0的解集为(　　)
A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠－1}
C.{x|－1解析　不等式可化为
或
∴0≤x<1或x<0且x≠－1.∴x<1且x≠－1.
答案　D
8.若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，5) B.[0，5)
C.(－∞，1) D.[0，1]
解析　由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x＋3|表示的是x与数轴上的点A(－3)及B(2)两点距离之和，A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5.数轴上其它点到A、B两点距离之和都大于5，
∴|x－2|＋|x＋3|≥5，∵x∈R，∴a<5.
答案　A
9.已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________.
解析　∵关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，∴Δ＝1－4≥0，∴＋|a|≤.
当a≤0时，＋|a|＝－2a≤，∴a＝0；
当0∴0当a>时，＋|a|
＝a－＋a＝2a－≤，∴a≤，a不存在.
综上可知0≤a≤.
答案　0≤a≤
10.不等式2<|2x＋3|≤4的解集为________.
解析　2<2x＋3≤4，
转化为2<2x＋3≤4或－4≤2x＋3<－2，
解得－所以原不等式的解集为
.
答案　
11.求不等式|logx|＋≥1的解.
解　因为对数必须有意义，所以先解不等式组
解得0又原不等式可化为|log3x|＋|log3(3－x)|≥1.
(1)当0不等式化为－log3x＋log3(3－x)≥log33，
∴3－x≥3x，∴x≤，
结合前提条件，得0(2)当1∴x2－3x＋3≤0，∴x∈?.
(3)当2∴x≥3(3－x).
∴x≥，结合前提条件，得≤x<3.
综上所述，原不等式的解集为∪.
12.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).