2.1.1　平面上的柯西不等式的代数和向量形式学案

2.1　柯西不等式
2.1.1　平面上的柯西不等式的代数和向量形式
1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等几种不同形式，理解它们的几何意义.
2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.
自学导引
1.若a1，a2，b1，b2∈R，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，等号成立?a1b2＝a2b1.
2.设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号成立?α与β共线?α＝λβ(λ≠0)；|α|＋|β|≥|α＋β|，等号成立的条件为〈α，β〉＝0或α与β同向或α＝λβ(λ>0).
3.设a1，a2，b1，b2为实数，则＋≥，等号成立?存在非负实数μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2.
4.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则＋≥
，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|.
5.设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)__(λ>0).
基础自测
1.已知a，b∈R*且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
A.P≤Q B.PC.P≥Q D.P>Q
解析　P＝(ax＋by)2＝[(x)＋(y)]2
≤(ax2＋by2)(a＋b)＝ax2＋by2＝Q
∴P≤Q，选A.
答案　A
2.下列说法：
①二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.
②二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.
③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.
④柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.
其中正确的个数有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析　由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.
答案　A
3.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.
解析　运用柯西不等式求解.
根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.
答案　

知识点1　利用柯西不等式证明不等式
【例1】已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.
证明　由于2x＋y＝(x)＋(y).
由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得
(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)
≤×6＝×6＝11，
∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.
●反思感悟：柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2?≥|a1b1＋a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形.
1.已知a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd.
证明　由柯西不等式知：ac＋bd≤＝·＝xy.∴xy≥ac＋bd.
【例2】(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，用代数的方法证明＋≥.
证明　(＋)2
＝x＋y＋2＋x＋y
≥x＋y＋2|x1x2＋y1y2|＋x＋y
≥x＋y－2(x1x2＋y1y2)＋x＋y
＝x－2x1x2＋x＋y－2y1y2＋y
＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
∴＋≥
●反思感悟：在平面中设α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，则α±β＝(x1±x2，y1±y2)由向量加法的三角形法则知：
|α|＋|β|≥|α＋β|?＋≥
，由向量减法的几何意义知：
|α|＋|β|≥|α－β|?＋≥
.
2.利用柯西不等式证明：≥.
证明　＝
≤(a2＋b2)＝.
知识点2　利用柯西不等式求函数的最值
【例3】求函数y＝5＋的最大值.
解　函数的定义域为{x|1≤x≤5}.
y＝5＋≤
＝×2＝6当且仅当5＝
即x＝时取等号，故函数的最大值为6.
●反思感悟：解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.
3.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.
解　2x2＋3y2＝[(x)2＋(y)2]×
≥
＝(x＋y)2＝.
课堂小结
1.二维形式的柯西不等式
(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立.
2.推论：(1)(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2；
(2)·≥|a1b1＋a2b2|；
(3)·≥|a1b1|＋|a2b2|.
3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|.当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立.
4.二维形式的三角不等式
(1)＋≥(或＋≥)；
(2)＋≥.
随堂演练
1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.
解　(a＋a＋a)(b＋b＋b)
≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
当且仅当＝＝时等号成立.
2.写出空间代数形式的三角不等式.
解　有两种形式分别对应定理3、定理4.
定理3为＋
≥
定理4为＋

≥.
3.已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1.
求证：ax＋by＋cz≤1.
证明　由柯西不等式得：
(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2
∵a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，
∴|ax＋by＋cz|≤1.
∴ax＋by＋cz≤1.
基础达标
1.函数y＝＋的最小值是(　　)
A.20 B.25
C.27 D.18
解析　y＝＋＝[2x＋(1－2x)]
＝[()2＋()2]
≥＝(2＋3)2＝25.
答案　B
2.若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[－2，2]
C.[－，] D.[－，]
解析　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2
∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2].
答案　A
3.已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)
A. B.1
C.3 D.9
解析　∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
答案　A
4.设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值是________.
解析　∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2][( )2＋( )2＋( )2]≥＝18.
∴＋＋≥2.
答案　2
5.若a2＋b2＋c2＝2，x2＋y2＋z2＝4，则ax＋by＋cz的取值范围是__________.
解析　∵(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，
∴(ax＋by＋cz)2≤8，∴－2≤ax＋by＋cz≤2.
答案　[－2，2 ]
6.已知a2＋b2＝1，a，b∈R，求证：|acosθ＋bsinθ|≤1.
证明　∵(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)
＝1·1＝1，∴|acosθ＋bsinθ|≤1.
综合提高
7.已知x，y∈R＋，且xy＝1，则·的最小值为(　　)
A.4 B.2
C.1 D.
解析　(1＋)＝≥＝＝22＝4.
答案　A
8.设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)
A.P>Q B.P≥Q
C.P解析　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥＝(a＋b)2
∵a>0，b>0，∴a＋b>0.
∴≥＝(a＋b)
又∵a≠b，而等号成立的条件是·＝·
即a＝b，∴>a＋b.
即P>Q.
答案　A
9.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小________.
解析　由柯西不等式，得P＝＋≤×＝·＝Q.
答案　P≤Q
10.函数y＝2＋的最大值为________.
解析　y＝2＋＝＋1·≤·
＝·＝3.
当且仅当·1＝·取等号.
即2－2x＝4x＋2，∴x＝0时取等号.
答案　3
11.若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点.
解　由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，
∴4x2＋9y2≥.
当且仅当2x·1＝3y·1，
即2x＝3y时取等号.
由　得
∴4x2＋9y2的最小值为，最小值点为.
12.设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值.
解　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥＝(1＋1)2＝4.
∴2≥4，
即≥2.
当且仅当·＝·，
即a＝b时取等号，
∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.