2.3　平均值不等式(选学)学案

2.3　平均值不等式(选学)
2.4　最大值与最小值问题，优化的数学模型
1.进一步熟悉平均值不等式及柯西不等式.
2.会用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函数的最值问题.
自学导引
1.设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，
等号成立?a1＝a2＝…＝an.
2.设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，
等号成立?a1＝a2＝…＝an.
3.设a1，a2，…，an为正数，则≥
≥，等号成立?a1＝a2＝…an.
4.设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0)) x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题.
基础自测
1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为(　　)
A.20，23 B.19，25
C.21，23 D.19，24
解析　最多为5×3＋4×2＋2×1＝25，
最少为5×1＋4×2＋2×3＝19，应选B.
答案　B
2.若f(x)＝＋且x∈(0，1]，则f(x)的最小值是(　　)
A.2 B.不存在
C. D.
解析　∵x∈(0，1]，即x>0.
f(x)＝＋≥2＝2.
等号成立的条件是＝，即x＝?(0，1]，
所以利用均值不等式，等号不成立，不能求f(x)的最小值.令＝t，则＝，t∈，原函数变为y＝t＋，
∵y＝t＋在(0，1]上是减函数，则在上也是减函数，∴t＝时，ymin＝＋3＝.
答案　C
3.函数y＝ (x<0)的值域为____________.
解析　将原函数变为y＝，用函数x＋在x<0时的性质知：x＋≤－2.∴x＋＋1≤－1，∴1≥－，即0>≥－1，∴0>y＝≥－3，
故值域为[－3，0).
答案　[－3，0)
知识点1　利用柯西不等式求函数的最值
【例1】若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.
解　由柯西不等式，得：
(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝4.
所以25(x2＋y2)≥4，即x2＋y2≥.
当且仅当＝时，等号成立，
∴，解得.
所以x2＋y2的最小值为，最小值点为.
●反思感悟：利用柯西不等式求函数的最小值时，往往需乘以一个两常数的平方和，常数的选取要根据题设条件来定，如例1，利用柯西不等式求最大值时，往往对函数解析式的各项配一系数，使利用柯西不等式后n个项的平方和为常数.
1.设a，b，c为正数，a＋b＋4c2＝1，求＋＋c的最大值.
解　由柯西不等式得：
(＋＋c)2＝
≤[()2＋()2＋(2c)2]，
即(＋＋c)2≤1·＝.
当且仅当＝＝时，
即a＝b＝8c2时取等号.
∴20c2＝1，c＝＝，a＝b＝时，
＋＋c的最大值为.
知识点2　利用平均值不等式求函数的最值
【例2】(1)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；
(2)求y＝的最大值；
(3)若x>0，y>0，且x＋y＝2，求x2＋y2的最小值.
解　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立.
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)y＝＝＝
≤＝.
当且仅当＝，
即x2＝2，x＝±时，ymax＝.
(3)方法一：由x2＋y2≥2xy，得2(x2＋y2)≥(x＋y)2，
即x2＋y2≥.
因为x＋y＝2，所以x2＋y2≥2.
当且仅当x＝y＝1时，取得最小值2.
方法二：由柯西不等式，得：
(x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2.
∴x2＋y2≥(x＋y)2＝×4＝2.
当且仅当＝，即x＝y时取等号.
∴x＝y＝1时，(x2＋y2)min＝2.
●反思感悟：利用平均值不等式求最值关键在变形上，变形的目的是能得到积为定值或和为定值，求最值时一定要找出最大(小)值点，如果最大(小)值点不存在，则不能用平均值不等式求最值，可考虑用函数的单调性或用其它方程.
2.求函数y＝ (x≥0)的最小值.
解　y＝＝(x＋1)＋－4
≥2 －4＝2.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立.所以ymin＝2.
知识点3　平均值不等式在实际中的应用
【例3】从半径为2的圆板上剪下一个圆心角为θ的扇形，围成一个圆锥的侧面(如下图)，如何操作使圆锥体积最大(即求出相应的θ角).
解　如题图，圆锥的母线长为2，
设圆锥轴截面的底角为α.
则圆锥底面半径r＝2cos α，高h＝2sin α，
V＝πr2h＝π·4cos2α·2sin α
＝π(1－sin2α)sin α
＝π
＝π
≤π
＝π ＝π.
当且仅当2sin2α＝1－sin2α，即sinα＝时取等号.
此时，r＝，由此得扇形的中心角θ＝＝π.
即从圆板上剪下中心角为π的扇形围成的圆锥体积最大，最大值为π.
3.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元.
解析　设池底一边长为x m，水池的总造价为y元，则依题意得y＝4×120＋2·80
＝480＋320 (x>0).
∵x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝，
即x＝2时取等号，
∴y最小＝480＋320×4＝1 760(元)
答案　1 760
课堂小结
柯西不等式有代数式、向量式和三角式三种形式，代数式又有二维形式、三维形式和一般式，都要熟练掌握.柯西不等式和均值不等式的主要应用是求函数的最值和证明不等式，有些函数的最值既可以用柯西不等式来求又可以用平均值不等式来求.
随堂演练
1.求函数y＝，x≥0的最小值.
解　y＝＝(x＋2)＋＋1
≥2＋1＝7，当且仅当x＋2＝，
即x＋2＝3，x＝1时取等号.∴x＝1时，ymin＝7.
2.求函数y＝2－9x－ (x>0)的最大值.
解　y＝2－≤2－2＝2－12＝－10，
当且仅当9x＝，即x＝时取等号.
∴x＝时，ymax＝－10.
3.若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值，及最小值点.
解　由柯西不等式，得
(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2＝1.
∴x2＋y2≥，当且仅当＝，即3x＝2y时取等号.
由得
所以当时，(x2＋y2)min＝，
最小值点为.
基础达标
1.下列各式中，最小值等于2的是(　　)
A.＋ B.
C.tanθ＋cotθ D.2x＋2－x
解析　A中可以为负，则＋也可以为负数，不合题意.
B中＝＋，≥2，>0，也不合题意.C中tan θ＋cotθ可为负值不合题意.D中2x＋2－x＝2x＋≥2.当且仅当x＝0时取等号符合题意，故选D.
答案　D
2.函数y＝ (x>0)的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　y＝＝1＋＝1＋.
∵x>0时，x＋≥2，∴ymax＝1＋＝2.
答案　B
3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)
A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx
C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz
解析　方法一：用特值法进行验证.
令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.
A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；
B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；
C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；
D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.
方法二：由顺序和≥乱序和≥反序和.
可得az＋by＋cx最小.
答案　B
4.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________.
解析　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(当且仅当＝时取等号).
∵(x＋y)≥9对任意正实数x、y恒成立.
∴需(＋1)2≥9.∴a≥4.
答案　4
5.已知ab＝1 000，a>1，b>1，则＋的最大值是________.
解析　由柯西不等式得：·1＋·1
≤·
＝·＝·＝.
当且仅当1＋lga＝1＋lgb，即a＝b＝10时，取等号.
答案　
6.已知三个正数a，b，c的和是1，求证：这三个正数的倒数和不小于9.
证明　方法一：(a＋b＋c)
≥＝9.
又由已知，a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.
方法二：(a＋b＋c)
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
综合提高
7.设a∈R且a≠0，以下四个数中恒大于1的个数是(　　)
①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析　①中当a＝－1时，a3＋1＝0不合题意；
②中a2－2a＋2＝(a－1)2＋1，当a＝1时，a2－2a＋2＝1也不合题意；
③中当a＝－1时，a＋＝－2不合题意；
④中a2＋≥2>1.
答案　A
8.若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)
A.－1 B.＋1
C.2＋2 D.2－2
解析　由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋b)(a＋c)＝4－2，得(a＋b)(a＋c)＝4－2.
∵a、b、c>0，∴(a＋b)(a＋c)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”).
∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.
答案　D
9.若直角三角形ABC的斜边长c＝1，那么它的内切圆半径r的最大值为________.
解析　设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，因斜边c＝1，则直角三角形内切圆半径r＝(a＋b－1)＝－.
由题意知a2＋b2＝1，由柯西不等式
a·1＋b·1≤·＝.
当且仅当a＝b时取等号，又a2＋b2＝1，
∴a＝b＝时，a＋b的最大值为，
∴rmax＝－＝.
答案　
10.在△ABC中，三边a、b、c的对角分别为A、B、C，若2b＝a＋c，则角B的范围是____________.
解析　∵2b＝a＋c，∴b＝
∴cos B＝＝
＝≥＝.
∵y＝cosx在(0，π)上是减函数.∴0答案　011.某厂要生产一批无盖的圆柱形桶，每个桶的容积为1 m3，用来做底的金属每平方米为30元，做侧面的金属每平方米为20元，如何设计圆桶尺寸，可以使成本最低？
解　设圆桶的底面半径为r，高为h，
则依题意πr2h＝1，于是h＝，
底面积为πr2，侧面积为2πrh.
设w为总费用，
则w＝30πr2＋20×2πrh＝30πr2＋
＝30πr2＋＋≥3 ＝30
等号成立?30πr2＝?r3＝?r＝，
此时h＝＝·＝＝.
最低费用为30元.
12.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨 (0(1)设y＝ax，其中a满足≤a<1的常数，用a表示当售货金额最大时的x的值；
(2)若y＝x，求使售货金额比原来有所增加的x值的范围.
解　(1)由题意知某商品上涨元时，上涨后的定价、每月卖出的数量、每月售货金额分别是
p元、n件、znp元.
∴znp＝p·n，又y＝ax.
∴z＝a.又∵1＋>0，－>0，
∴z≤a＝，
当且仅当1＋＝－，
即x＝时，等号成立，
∵a∈?∈(0，10]，∴xmax＝.
(2)当y＝x时，z＝(10＋x).
要有所增加，只要z>1，即(10＋x)>1.
∴x2－5x<0，∴0