3.1.1　数学归纳法原理学案

3.1　数学归纳法原理
3.1.1　数学归纳法原理
1.理解归纳法和数学归纳法原理.
2.会用数学归纳法证明有关问题.
自学导引
1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.
2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n取初始值n0时命题成立；
(2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.
基础自测
1.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
解析　f(n)＝＋＋＋…＋
f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选D.
答案　D
2.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　)
A.2k＋1 B.
C.2(2k＋1) D.
解析　n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1).
n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).
∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选C.
答案　C
3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________.
解析　a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2.
答案　an＝n2
知识点1　利用数学归纳法证明等式
【例1】通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明.
－1＋3＝________；－1＋3－5＝________；
－1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________.
解　上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5，
由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即
－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk
当n＝k＋1时，
－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1)
＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1)
＝(－1)k＋1(k＋1).
即n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)知，命题对于n∈N*都成立.
●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
1.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋.
上式表明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.
【例2】证明＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N*)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？
证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝.
∴当n＝1时，等式成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时，等式成立，即
＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋
＝＝1－＝右边.
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.
解　不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋＋＋…＋＋＋的和，而没有利用“归纳假设”.
正确的证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立.
(2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立，就是
＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋
＝1－＋＝1－＝1－＝右边.
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.
●反思感悟：在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.
2.用数学归纳法证明：
…＝ (n≥2).
证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，
右边＝＝，等式成立.
(2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立，
即…＝
则当n＝k＋1时，
…
＝＝·＝，
即n＝k＋1时，等式成立.
由(1)(2)知，对于任意正整数n(n≥2)，原等式成立.
知识点2　用数学归纳法证明不等式
【例3】用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋<2－ (n≥2).
证明　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.
(2)假设n＝k (k∈N*，k≥2)时命题成立，
即1＋＋＋…＋<2－，
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋
<2－＋
<2－＋＝2－＋－
＝2－，命题成立.
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立.
●反思感悟：(1)由n＝k到n＝k＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.
3.求证：1＋＋＋…＋≥ (n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，
∴左边≥右边，即命题成立.
(2)假设当n＝k时，命题成立，
即1＋＋＋…＋≥.
那么当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋≥＋
＝＋≥＋
＝＝＝＝.
由(1)(2)知原不等式在n∈N*时均成立.
课堂小结
1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.
2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：
(1)当n＝k＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.
(2)由n＝k推证n＝k＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n＝k时的结论作为条件应用上.
随堂演练
1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证(　　)
A.n＝1成立 B.n＝2成立
C.n＝3成立 D.n＝4成立
解析　因为多边形边数最少的是三角形，故应选C.
答案　C
2.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析　f(n)＝1＋＋＋…＋.
f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋，应选D.
答案　D
3.已知a1＝，an＋1＝，n∈N*，求证：an<2.
证明　(1)n＝1时，∵a1＝，∴a1<2.
(2)设n＝k (k≥1)时，ak<2，
当n＝k＋1时，ak＋1＝<＝2.
故n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)知，n∈N*时，an<2都成立.
基础达标
1.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝(　　)
A.1 B.1或2
C.1，2，3 D.1，2，3，4
解析　经验证当n＝1，2，3时均正确，但当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝38，故选C.
答案　C
2.一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得n＝k＋2时命题也成立则(　　)
A.该命题对于n>2的自然数n都成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取什么值无关
D.以上答案都不对
解析　由题意n＝2时成立可推得n＝4，6，8…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.
答案　B
3.某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k (k∈N*且k≥1)时该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时该命题不成立，那么应有(　　)
A.当n＝4时该命题成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝6时该命题不成立
答案　C
4.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是________.
解析　＋a2＝2(2×2－1)a2，a2＝，
＋＋a3＝3(2×3－1)a3，a3＝，
＋＋＋a4＝4(2×4－1)a4，a4＝，
猜想an＝.
答案　an＝
5.观察下列等式
1＝1，
3＋5＝8，
7＋9＋11＝27，
13＋15＋17＋19＝64，
…，
请猜想第n个等式是________________________.
答案　(n2－n＋1)＋(n2－n＋3)＋…＋[n2－n＋(2n－1)]＝n3
6.求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥2，k∈N*)时命题成立，
即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋
>＋
>＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.
综合提高
7.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　)
A.1 B.1＋a
C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3
解析　当n＝1时，an＋1＝a2，
∴左边应为1＋a＋a2，故选C.
答案　C
8.已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是(　　)
A.若f(3)≥9成立，则对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
B.若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)C.若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)D.若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
答案　D
9.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.
答案　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
10.用数学归纳法证明：设f(m)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋且n≥2)，第一步要证的等式是________.
答案　2＋f(1)＝2f(2)
11.求证：＋＋…＋＝＋＋…＋.
证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立.
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
＋＋…＋
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
即当n＝k＋1时，等式成立.
根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.
12.用数学归纳法证明：当n∈N*时，
(1＋2＋3＋…＋n)≥n2.
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，左边≥右边，不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥1，k∈N*)时不等式成立，
即(1＋2＋3＋…＋k)≥k2，
则当n＝k＋1时，
左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·

＝(1＋2＋3＋…＋k)＋(1＋2＋3＋…＋k)＋(k＋1)＋1
≥k2＋·＋(k＋1)＋1
＝k2＋＋1＋(k＋1)，
∵当k≥2时，1＋＋＋…＋≥1＋＝，
∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×
＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)知，当n∈N*时，不等式成立.