3.2　用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学案

3.2　用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
3.2.1　用数学归纳法证明不等式
3.2.2　用数学归纳法证明贝努利不等式
1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.
2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.
3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.
自学导引
1.贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.
2.设α为有理数，x>－1，如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx，当且仅当x＝0时等号成立.
基础自测
1.若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N*恒成立，则自然数m的最小值为(　　)
A.8 B.9
C.10 D.12
解析　显然n＝1时，左边最大为<，
∴m的最小值为8，选A.
答案　A
2.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　)
A.n∈N＋ B.n≥4
C.n>4 D.n＝1或n>4
解析　n＝4，24＝42＝16，n＝1时，2>1，
n＝5，25＝32，52＝25，
∴当n>4时，2n>n2成立，故选D.
答案　D
3.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则T与0的关系是________.
解析　∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，
即2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0，
∵abc>0，上述不等式两边同时除以2abc，
得T＝＋＋<0.
答案　T<0
知识点1　用数学归纳法证明绝对值不等式
【例1】设x1，x2，…，xn为实数，证明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.
证明　(1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，
∴n＝2时命题成立.
(2)设命题n＝k (k≥2)时成立，即
|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，
于是，当n＝k＋1时，
|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|
≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|
≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.
即当n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立.
1.证明不等式|sin nθ|≤n|sinθ| (n∈N＋).
证明　(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k (k≥1)时，命题成立，即有|sinkθ|≤k|sinθ|.
当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)|
＝|sin kθcosθ＋coskθ·sinθ|
≤|sin kθcosθ|＋|cos kθ·sinθ|
≤|sin kθ|＋|sin θ|
≤k|sinθ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|.
即当n＝k＋1时不等式成立.
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.
知识点2　用数学归纳法证明平均值不等式
【例2】设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.
证明　不妨设an≥an－1≥…≥a1>0，
若a1＝an，则a1＝a2＝…＝an，
此时原不等式中等号成立.
设an>a1 (n≥2).
(1)n＝2时，由基本不等式>，
所以命题对n＝2成立.
(2)设n＝k时，不等式成立，
即≥.
记Ak＝，所以有：(Ak)k≥a1a2…ak.
当n＝k＋1时，
因为ak＋1>a1，ak＋1≥a2，ak＋1≥a3，…，ak＋1≥ak，
所以ak＋1－Ak＝
＝>0，
则有ak＋1>Ak.
根据二项式定理及归纳假设得：
＝
＝
＝(Ak)k＋1＋(k＋1)(Ak)k＋…＋
>(Ak)k＋1＋(Ak)k(ak＋1－Ak)
＝(Ak)k＋1＋(Ak)kak＋1－(Ak)k＋1
＝(Ak)kak＋1≥a1a2…akak＋1.
即>.
由(1)(2)知，对任意的n∈N*命题都成立.
●反思感悟：用数学归纳法证明不等式的第二步，设n＝k时命题成立，证n＝k＋1时命题也成立时，往往要通过放缩法来实现n＝k＋1时命题所需要的形式.
2.证明：如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n.
证明　(1)当n＝1时，a1＝1，命题成立.
(2)假设当n＝k时，命题成立.
即若k个正数的乘积a1a2…ak＝1，
则a1＋a2＋…＋ak≥k.
当n＝k＋1时，已知k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1满足条件a1a2…ak＋1＝1.
若这k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1都相等，则它们都是1，其和为k＋1，命题得证.
若这k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1不全相等，则其中必有大于1的数也有小于1的数(否则与a1a2…ak＋1＝1矛盾).不妨设a1>1，a2<1.
为利用归纳假设，我们把乘积a1a2看作一个数，这样就得到k个正数a1a2，a3，…，ak，ak＋1的乘积是1，由归纳假设可以得到
a1a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1≥k
∴a3＋a4＋…＋ak＋ak＋1≥k－a1a2
∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－(k＋1)
≥a1＋a2＋k－a1a2－k－1
＝a1＋a2－a1a2－1＝－(a1－1)(a2－1)
∵a1>1，a2<1，∴－(a1－1)(a2－1)>0
∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－k－1>0，
即a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1>k＋1，
∴当n＝k＋1时命题成立
由(1)(2)可知，对一切正整数n，如果n个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n成立.
知识点3　用数学归纳法证明柯西不等式
【例3】证明：|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤·.　
证明　(1)当n＝2时，
因为|a1b1＋a2b2|2－(a＋a)(b＋b)
＝(a1b1＋a2b2)2－(a＋a)(b＋b)
＝ab＋2a1b1a2b2＋ab－(ab＋ab＋ab＋ab)
＝－(ab－2a1b1a2b2＋ab)
＝－(a1b2－a2b1)2≤0.
所以|a1b1＋a2b2|2≤(a＋a)(b＋b).
即|a1b1＋a2b2|≤·.
也即n＝2时，柯西不等式成立.
(2)设n＝k (k≥2)时，
|a1b1＋a2b2＋…＋akbk|
≤·.
则当n＝k＋1时，由三角不等式及归纳假设，
得：|a1b1＋a2b2＋…＋ak＋1bk＋1|
≤|a1b1＋a2b2＋…＋akbk|＋|ak＋1bk＋1|
≤·＋|ak＋1bk＋1|
≤·
＝·.
由(1)(2)知柯西不等式得证.
●反思感悟：用数学归纳法证明不等式，难点不在于数学归纳法的原理，而在于如何变形.放缩以便于用上假设，再经过变形运算使命题得证.
3.已知a，b为正数，求证：当n为正整数时，≥.
证明　(1)当n＝1时，＝，命题成立.
(2)设n＝k (k≥1)时，命题成立，
即≥，
当n＝k＋1时，＝·
≤·，要证≤，
只须证·≤即可，
由－
＝
＝＝
＝≥0.
∴·≤.
即n＝k＋1时，命题成立.
由(1)，(2)可知，对任意的n∈N*命题都成立.
知识点4　用数学归纳法证明贝努利不等式
【例4】设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，
则(1＋x)n>1＋nx.
证明　(1)当n＝2时，由x≠0，知
(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，
因此n＝2时命题成立.
(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，
即(1＋x)k>1＋kx，则当n＝k＋1时，
(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)
＝1＋x＋kx＋kx2
>1＋(k＋1)x.
即n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)，(2)及数学归纳法知原命题成立.
●反思感悟：(1)在证明过程中适当放缩或采用多种方法去尝试.
(2)要注意记忆这种形式.
4.设x>－1，x≠0，证明：>1－，对一切不小于2的正整数n都成立.
证明　∵x>－1，
(1)当x>0时，0<<1，－1<－<0.
(2)当－1|x|，
∵<0，∴－>－x>0>－1，
因此，当x>－1，x≠0时，－>－1，且－≠0，
由贝努利不等式得：＝
>1＋n＝1－.
课堂小结
数学归纳法能证明与正整数n有关的不等式，但并不是所有与正整数n有关的不等式都能用数学归纳法证明.证明不等式的难点在于对命题的变形.在推证n＝k＋1命题成立时，往往利用放缩法通过增加一些项(或舍去一些项)或利用二项式定理后舍去一些项达到满足n＝k＋1时所需要的形式.有时也会利用比较法证明n＝k＋1时命题成立.
随堂演练
1.若an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，求证：证明　(1)当n＝1时，a1＝，<<成立，即1<<2成立，所以当n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k (k≥1)时，对n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋
>＋
>＋(k＋1)＝，
又ak＋1＝ak＋
<＋
＝＋
<＋＝，
∴对n＝k＋1，<
ak＋1<成立.
由(1)，(2)知，对一切自然数n∈N*不等式恒成立.
2.设n为大于1的正整数，求证：
…>.
证明　(1)当n＝2时，左边＝＝＝，
右边＝＝＝，
所以左边>右边，故命题对n＝2成立.
(2)设命题对n＝k (k≥2)成立，也就是：
…>.
当n＝k＋1时，
…
>·＝
>＝＝.
∴当n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)、(2)知命题对任何不小于2的正整数n都成立.
基础达标
1.利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为(　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
答案　C
2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
解析　1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案　B
3.已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A.2n B.n2
C.22(n－1) D.nn
答案　D
4.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第一步要证明的不等式是____________________.
答案　n＝2时，左边＝1＋＋＝<2＝右边
5.用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2 (n∈N*)时，第一步应验证________________________.
答案　n＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝4
6.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1 (n>1，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1，
即n＝2时命题成立.
(2)设n＝k (k≥2)时，命题成立，
即＋＋＋…＋>1，
当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋
>1＋(2k＋1)·－＝1＋.
∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝，
∴(2，＋∞)为t的增区间，
∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1，
∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)知，当n>1时，n∈N*命题都成立.
综合提高
7.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)
A.增加了
B.增加了＋
C.增加了＋但减少了
D.以上各种情况均不对
解析　由n＝k到n＝k＋1，左边多了＋，但却少了.故选C.
答案　C
8.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)
A.2k－1 B.2k－1
C.2k D.2k＋1
解析　由n＝k到n＝k＋1，应增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k项.故选C.
答案　C
9.用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n应为________.
答案　1
10.用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于________.
答案　＋＋
11.用数学归纳法证明：
＋＋…＋< (n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝<1＝右边，不等式成立.
当n＝2时，左边＝＋＝，右边＝.
由＋1<2，得<，
即n＝2时，不等式也成立.
(2)假设n＝k (k≥2)时，不等式成立，
即＋＋…＋<.
当n＝k＋1时，两边同加，得
＋＋…＋
<＋
只须证＋<即可.
由于－>
?>
?>＋
?(－1)>.
由于k≥2，上式显然成立.
即n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)、(2)知，不等式对n∈N*都成立.
12.已知等差数列{an}，等比数列{bn}，若a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2，且对所有的自然数n恒有an>0，求证：当n>2时，an证明　∵a1≠a2且an>0，故{an}是递增数列，
{an}公差d＝a2－a1，{bn}公比q＝＝.
当n>2时，an(1)当n＝3时，b3－a3＝b1q2－(a1＋2d)
＝－(2a2－a1)＝>0.
故原不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥3)时，不等式成立，即ak则bk＋1－ak＋1＝bk·q－(ak＋d)
＝bk－(ak＋a2－a1)>ak－ak－(a2－a1)
＝>0.即bk＋1>ak＋1.
即n＝k＋1时，命题也成立，
由(1)(2)可知，当n>2时，an