第1章不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习课学案

本章复习课
1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形.
2.熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法.
3.理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值.
4.会解四种类型的绝对值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≤m，|x－c|＋|x－b|≥m.
5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值.
6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.
知识结构
知识梳理
1.实数的运算性质与大小顺序的关系：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a2.不等式的6个基本性质是不等式的基础.
3.一元一次、一元二次不等式的解法是解不等式的基础，各类不等式的求解都转化为一元一次不等式、一元二次不等式，一元二次不等式都可化为两种类型，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)或ax2＋bx＋c≤0 (a>0)，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集实质上是函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)的函数值f(x)≥0对应的自变量x的取值范围，方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根实质上是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.
4.基本不等式
(1)定理1：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab (当且仅当a＝b时取“＝”).
(2)定理2：若a，b∈R＋，则≥(当且仅当a＝b时取“＝”).
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)可以当作重要结论直接应用.
(4)定理3：若a，b，c∈R＋，则≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”).
(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，取“＝”.
(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正，二定，三相等”的要求.
5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：
(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论.
6.绝对值三角不等式：
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离.
(2)|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，ab≥0时等号成立).
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c| (a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0等号成立).
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0).
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).
7.不等式证明的基本方法
(1)比较法：作差法与作商法.
(2)综合法：强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题.
(3)分析法：强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分性，步步可逆不是指等价，当然等价也行.
(4)反证法：反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”、“存在性”的命题；④结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题.
(5)放缩法：放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用基本不等式放缩.例如＋>，<，>，<(以上k>2且k∈N*).
典例剖析
知识点1　基本不等式的应用
【例1】求函数y＝x2(1－5x) 的最值.
解　y＝x2＝·x·x·，
∵0≤x≤，∴－2x≥0.
∴y≤＝.
当且仅当x＝－2x，
即x＝时，y取得最大值且ymax＝.
知识点2　证明不等式(利用函数的单调性)
【例2】已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，
求证：＋>.
证明　设函数f(x)＝＝1－ (x>0，m>0).
易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
∵f(a)＋f(b)＝＋
>＋＝＝f(a＋b).
又a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)＝，
∴＋>.
知识点3　应用绝对值三角不等式证明不等式
【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的定义域为[－1，1].
(1)记|f(x)|的最大值为M，求证：M≥；
(2)当M＝时，求f(x)的表达式.
(1)证明　由题意M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，M≥|f(－1)|.
∴4M≥2|f(0)|＋|f(1)|＋|f(－1)|
＝2|b|＋|1＋a＋b|＋|1－a＋b|
≥|1＋a＋b＋1－a＋b－2b|＝2，∴M≥.
(2)解　当M＝时，|f(0)|＝|b|≤，
∴－≤b≤.
同理有－≤1＋a＋b≤，－≤1－a＋b≤.
两式相加－1≤2＋2b≤1，∴－≤b≤－.
又－≤b≤，∴b＝－.
当b＝－时，由－≤1＋a＋b≤?－1≤a≤0；
由－≤1－a＋b≤?0≤a≤1，即a＝0.
∴f(x)＝x2－.
基础达标
1.若a，b，x，y∈R，则是成立的(　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由(x－a)(y－b)>0知，x－a与y－b同号，
由x＋y>a＋b得(x－a)＋(y－b)>0，
即(x－a)，(y－b)同正，
所以如果易知
答案　C
2.若a3＋b3＝2，则(　　)
A.a＋b<2 B.a＋b≤2
C.a＋b>2 D.a＋b≥2
解析　∵a3＋b3＝2，
∴(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2，
(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2.
(a＋b)3＝3(a＋b)ab＋2≤3(a＋b)＋2.
∴(a＋b)3≤8，∴a＋b≤2.
答案　B
3.设a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是(　　)
A.a2＋b2≥2ab B.＋≥2
C.＋≥a＋b D.＋≤
解析　＋－＝－＝＝＞0，故选D.
答案　D
4.A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________.
解析　A＝1＋＋＋…＋≥＋＋…＋＝＝，∴A≥.
答案　A≥
5.若a＝，则a＋b的最小值是________.
解析　设b＝sin θ，－≤θ≤，
则a＝cos θ，a＋b＝sin.
∵－≤θ＋≤，
∴－≤sin≤1，
故－1≤a＋b≤.
答案　－1
6.解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.
解　①当x>2时，原不等式等价于
?x>2
②当－3≤x≤2时，原不等式等价于
?－③当x<－3时，原不等式等价于
?x<－12.
综上所述知不等式的解集为{x|x>－或x<－12}.
综合提高
7.设函数y＝x2－x＋a (a>0)满足f(m)<0，则(　　)
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
解析　设x1、x2是方程x2－x＋a＝0的两根，
则|x1－x2|＝＝<1.
∴当f(m)<0时，f(m＋1)>0.
答案　C
8.设0A.f(a)B.fC.f()D.f(b)解析　当x>0时，f(x)＝1＋
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
又b>>.
答案　D
9.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析　由ab＝a＋b＋3≥2＋3，令＝x，则有
x2≥2x＋3?x2－2x－3≥0，解x求的范围.
x≥3或x≤－1(舍去)，∴ab≥9.
答案　[9，＋∞)
10.函数y＝1＋2x＋的值域是____________.
解析　∵＝|2x|＋≥2.
∴2x＋∈[2，＋∞)或(－∞，－2].
∴y∈(－∞，－2＋1]∪[2＋1，＋∞).
答案　(－∞，－2＋1]∪[2＋1，＋∞)
11.设a>b>c>1，记M＝a－，N＝a－，P＝2，Q＝3，试找出其中的最小者，并说明理由.
解　∵b>c>0，∴>，∴N又Q－P＝c＋2－3
＝c＋＋－3
≥3－3＝0，
又a>b>c>1，∴c≠，
从而Q>P，又N－P＝2－－b＝(2－1－)
＝[(－1)＋(－)]>0(∵a>b>c>1)
∴P12.设a、b、c、d是正数，求证：下列三个不等式
a＋b(a＋b)(c＋d)(a＋b)cd中至少有一个不正确.
证明　本题显然应该用反证法.
假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以①与②相乘，得：
(a＋b)2由③得(a＋b)cd∵a＋b>0，∴4cd<(a＋b)(c＋d).
结合②，得4cd∴3cd由④，得(a＋b)2<ab，即a2＋b2<－ab，矛盾.
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确.