第2章柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习学案

本章复习课
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.
2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.
3.了解排序不等式及平均值不等式.
知识结构
知识梳理
1.二维形式的柯西不等式
(1)定理1(二维)：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)·(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，上式等号成立?a1b2＝a2b1.
(2)(二维变式)：·≥|ac＋bd|.
(3)定理2(向量形式)：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当α及β为非零向量时，上式中等号成立?向量α与β共线(或平行)?存在实数λ≠0，使得α＝λβ.
(4)定理3(三角不等式)：设a1，a2，b1，b2为实数，则
＋≥，
等号成立?存在非负实数μ及λ，使μa1＝λb1，μa2＝λb2.
(5)三角变式：设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则
＋≥，等号成立?存在非负实数λ及μ使得μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)且μ(a2－b2)＝λ(b2－c2).
(6)三角向量式：设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|.
2.三维形式的柯西不等式：(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.
3.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，b3，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等号成立?＝＝…＝.
4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.
5.排序不等式：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.
6.平均值不等式
(1)定理1：设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，等号成立?a1＝a2＝…＝an.
(2)推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n，且等号成立?a1＝a2＝…＝an＝1.
(3)推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数，当a1＋a2＋…＋an＝nC时，则a1a2…an≤Cn，且等号成立?a1＝a2＝…＝an.
(4)定理2：设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，等号成立?a1＝a2＝…＝an.
典例剖析
知识点1　利用柯西不等式证明不等式
【例1】设a，b，c，d为正数，且不全相等，求证：＋＋＋>.
证明　构造两组数，，，，与，，，，
则由柯西不等式得：
(a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a)
≥(1＋1＋1＋1)2.
即2(a＋b＋c＋d)≥16，
于是＋＋＋≥，
等号成立?＝＝＝
?a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a?a＝b＝c＝d.
因题设a，b，c，d不全相等，
故＋＋＋>.
知识点2　利用柯西不等式求最值
【例2】已知x＋y＋z＝1，求＋＋的最大值.
解　由柯西不等式，得
(·1＋·1＋·1)
≤·
＝·＝＝3.
等号成立?＝＝，
即3x＋1＝3y＋2＝3z＋3
设3x＋1＝k，则x＝，y＝，z＝.
代入x＋y＋z＝1，得k＝3.
∴x＝，y＝，z＝0时取等号.
知识点3　利用排序不等式证明不等式
【例3】设a，b，c为正数，求证：
2≥＋＋.
证明　由对称性，
不妨设a≥b≥c>0，
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，
故a2≥b2≥c2，≥≥，
由排序不等式得：
＋＋≥＋＋
＋＋≥＋＋
以上两式相加得：2
≥＋＋.
知识点4　平均值不等式的实际应用
【例4】在半径为R的球的所有外切圆锥中求全面积最小的一个.
解　设x为圆锥底面半径，S为它的全面积，则S＝πx2＋πx·AC＝πx2＋πx(x＋CD)由Rt△CAE∽Rt△COD得
＝＝
＝.
解得CD＝.
于是S＝πx＝.
因为S和同时取得最小值，所以考虑的最小值问题.
＝＝
＝x2＋R2＋＝(x2－R2)＋＋2R2
≥2＋2R2＝4R2.于是S≥8πR2，
等号成立?x2－R2＝?x＝R.
所以圆锥的最小全面积为8πR2.
基础达标
1.已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)
A.，， B.，，
C.1，， D.1，，
解析　当且仅当＝＝时，x2＋y2＋z2取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.
答案　B
2.设x1，x2，…，xn，取不同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是(　　)
A.1 B.2
C.1＋＋＋…＋ D.1＋＋＋…＋
解析　∵x1，x2，…，xn是n个不同的正整数，所以1，2，3，…，n就是最小的一组，m＝＋＋…＋≥1＋＋＋…＋(前边是乱序和，后面是反序和).
答案　C
3.一批救灾物资随26辆汽车从A市以v km/h匀速直达灾区，已知两地公路长400 km，为安全起见，两车间距不得小于km，那么这批物资全部到灾区，至少需要______h.(　　)
A.5　　　　B.10　　　　C.15　　　　D.20
解析　依题意，所用时间为＝v＋≥10，当且仅当v＝80时取等号.
答案　B
4.已知x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________.
解析　(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝1.
∴x2＋y2＋z2≥.
当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，
x2＋y2＋z2取最小值.
答案　
5.设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是________.
解析　3(a＋b＋c)＝(1＋1＋1)(a＋b＋c)≥(＋＋)2.
所以＋＋≤＝.
答案　
6.已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，
证明：a3＋b3＋c3≥.
证明　利用柯西不等式
＝
≤[(a)2＋(b)2＋(c)2][a＋b＋c]
＝(a3＋b3＋c3)(a＋b＋c)2 (∵a＋b＋c＝1)
又因为a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
在此不等式两边同乘以2，
再加上a2＋b2＋c2
得：(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)
∵(a2＋b2＋c2)2≤(a3＋b3＋c3)·3(a2＋b2＋c2)
故a3＋b3＋c3≥.
综合提高
7.已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是(　　)
A.[0，] B.[－，0]
C.[－，] D.[－5，5]
解析　|3x＋2y|≤·≤.
所以－≤3x＋2y≤.
答案　C
8.已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(　　)
A.5 B.6
C.8 D.9
解析　x＋＋
＝
≥
＝9.
答案　D
9.函数y＝2＋的最大值是________.
解析　y＝×＋1×
≤＝.
答案　
10.设x1，x2，…，xn取不同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是________.
解析　设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，且满足a1又因为1>>>…>，
所以＋＋＋…＋
≥a1＋＋＋…＋
≥1×1＋2×＋3×＋…＋n×
＝1＋＋＋…＋.
答案　1＋＋＋…＋
11.求椭圆＋＝1 (a>b>0)的内接矩形的最大面积，并求此时矩形的边长.
解　方法一：设第一象限顶点坐标(x，y).
∵S与S2同时取得最大值.
又y2＝(a2－x2)，
∴S2＝16x2y2＝16x2·(a2－x2)
＝x2(a2－x2)≤＝4a2b2.
∴Smax＝2ab.此时有x2＝a2－x2，
即x＝a时，内接矩形面积最大，
此时，矩形的边长分别为a，b.
方法二：S＝4xy＝4ab··≤4ab＝2ab.
等号当且仅当＝，
即＝，
即x＝a，y＝b时成立.
∴当矩形的边长分别为a，b时，
内接矩形面积最大为S＝2ab.
12.某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.
请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案.要求：用料最省；简便易行.
解　设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为am，bm，c m.
由题意，可得abc＝500.
长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.
由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥3＝3＝300.
当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，
S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，
这表明将无盖长方体水箱的尺寸设计为10×10×5时，其用料最省.
如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成无盖长方体水箱的平面展开图.
逆向思维：先将无盖长方体水箱展开成平面图如图(1)所示，进一步剪拼成如图(2)所示的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形.因此，应选择规格为30×10的制作材料，制作方案如图(3).