第3章　数学归纳法与贝努利不等式本章复习学案

本章复习课
1.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.
2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单问题.
知识结构
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知识梳理
1.数学归纳法及其原理
数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k (k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.
3.运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错.
(2)没有利用归纳假设.
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.
典例剖析
知识点1　归纳、猜想、证明问题
【例1】已知x＋＝2cos θ，
(1)计算x2＋及x3＋的值；
(2)归纳出xn＋ (n∈N*)的值，再用数学归纳法证明.
解　(1)x2＋＝－2
＝22cos2θ－2＝2(2cos2θ－1)＝2cos 2θ
x3＋＝－3，
＝8cos3θ－3×2cos θ＝2cos 3θ.
(2)由(1)猜想xn＋＝2cos nθ (n∈N*)
证明：①当n＝1，2时，由(1)已证
②假设n＝k及n＝k－1时，命题成立，
即xk＋＝2cos kθ，
xk－1＋＝2cos(k－1)θ (k≥2，k∈N*)
则n＝k＋1时，xk＋1＋
＝－
＝4cos kθcos θ－2cos(k－1)θ
＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ
＝2cos(k＋1)θ
∴当n＝k＋1时，命题也成立，由①、②知，对一切n∈N*都有xn＋＝2cos nθ.
知识点2　探索性问题
【例2】是否存在常数a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切n∈N*都成立？并证明你的结论.
解　假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2
＝(an2＋bn＋c)中，
令n＝1，得4＝(a＋b＋c) ①
令n＝2，得22＝(4a＋2b＋c) ②
令n＝3，得70＝9a＋3b＋c ③
由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，
于是，对于n＝1，2，3，都有
1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2
＝(3n2＋11n＋10) (*)成立.
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立.
假设n＝k时，(*)成立，
即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，
那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋5k＋12k＋24)
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，
由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立.
综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切
n∈N*都成立.
知识点3　与数列通项有关的归纳、猜想、证明
【例3】设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；
(2)当a1>3时，证明对所有n≥1有
①an≥n＋2；
②＋＋…＋≤.
(1)解　由a1＝2，an＋1＝a－nan＋1得：
a2＝a－a1＋1＝3，a3＝a－2a2＋1＝4
a4＝a－3a3＋1＝5
由此可推测数列{an}的一个通项公式是an＝n＋1.
(2)证明　①当n＝1时，a1>3＝1＋2，不等式成立.
假设n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2
当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1
≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3
即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立.
∴an≥n＋2对于n∈N*都成立.
②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知
当k≥2时，ak＝a－(k－1)ak－1＋1
＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1
≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1
ak＋1≥2(ak－1＋1)，即≥2
∴ak＋1≥2k－1(a1＋1)，≤·(k≥2)
＋＋…＋
≤
＝≤≤.
知识点4　用数学归纳法证明三角等式
【例4】用数学归纳法证明
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n (n≥2，n∈N*).
证明　(1)当n＝2时，左边＝tan α·＝
右边＝－2＝－2＝，等式成立.
(2)假设当n＝k时(k≥2，k∈N*)等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα
＝－k
则当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α(*)
由tan α＝tan[(k＋1)α－kα]＝
得tan kαtan(k＋1)α＝－1.
代入(*)式，得
右边＝－k＋－1
＝－(k＋1)，
即tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α＝－(k＋1).
这就是说，当n＝k＋1时等式成立.
根据(1)(2)可知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立
基础达标
1.如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A.P(n)对所有的正整数n成立
B.P(n)对所有的正偶整数n成立
C.P(n)对所有正奇整数n成立
D.P(n)对所有比1大的自然数n成立
答案　B
2.利用数学归纳法证明＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)
A.增加了一项
B.增加了两项和
C.增加了一项，并减少了
D.增加了两项和，并减少了
答案　D
3.用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是(　　)
A. B.＋cos α
C.＋cos α＋cos 3α D.cos α
答案　B
4.平面上有n条直线，其中任意三条不平行，任意两条不共线，则这n条直线把平面分成________个部分.
答案　＋1
5.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.
答案　＋＋…＋
6.n∈N，求证：4·6n＋5n＋1－9能被20整除.
证明　(1)当n＝1时，4·6n＋5n＋1－9＝40，能被20整除，即n＝1时命题成立.
(2)设n＝k时命题成立，即4·6k＋5k＋1－9能被20整除.
设4·6k＋5k＋1－9＝20m(m为整数).
∴－9＝20m－4·6k－5k＋1.
∴4·6k＋1＋5k＋2－9
＝4·6k＋1＋5k＋2＋20m－4·6k－5k＋1
＝20(6k＋5k＋m)，
∴4·6k＋1＋5k＋2－9能被20整除.
∴当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)、(2)，知对n∈N，命题成立.
综合提高
7.对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生用数学归纳法证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即则当n＝k＋1时，左边＝＝<＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证明中(　　)
A.过程全部正确
B.n＝1时验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
8.设平面内有几条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(x)，则f(x＋1)与f(k)的关系为(　　)
A.f(k＋1)＝f(k)＋k－1
B.f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
C.f(k＋1)＝f(k)＋k
D.f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
答案　C
9.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n＋2＋122n＋1能被133整除，假设n＝k时命题成立，推证n＝k＋1时命题也成立，应添加的辅助项为________.
答案　11×122k＋1－11×122k＋1
10.用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：
(1)n＝1时，1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，
(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3).
∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数的积，
∴能被6整除，故n＝k＋1时命题成立.
综合(1)、(2)，对一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除.
这种证明情况________.
答案　未用上归纳假设，不是数学归纳法
11.求证：cos x＋cos 3x＋…＋cos(2n－1)x＝ (n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝cos x，右边＝＝cos x，等式成立.
(2)假设n＝k (k≥1)时，
cos x＋cos 3x＋…＋cos(2k－1)x＝成立.
当n＝k＋1时，
cos x＋cos 3x＋…＋cos(2k－1)x＋cos(2k＋1)x
＝＋cos(2k＋1)x
＝(sin 2kx＋2sin xcos(2k＋1)x)
＝(sin 2kx＋sin(2k＋2)x－sin 2kx)＝，
∴对n＝k＋1时，等式成立.
由(1)，(2)知，对一切自然数n∈N*，等式均成立.
12.已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N＋)，e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn(1)解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减；
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞).
当x>0时，f(x)令x＝，得1＋(2)解　＝1·＝1＋1＝2；
＝·＝2·2＝(2＋1)2＝32；
＝·＝32·3＝(3＋1)3＝43.
由此推测：＝(n＋1)n. ②
下面用数学归纳法证明②.
(ⅰ)当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立.
(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，②成立，即＝(k＋1)k.
当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)ak＋1，由归纳假设可得
＝·
＝(k＋1)k(k＋1)＝(k＋2)k＋1.
所以当n＝k＋1时，②也成立.
根据(ⅰ)(ⅱ)，可知②对一切正整数n都成立.
(3)证明　由cn的定义，②，均值不等式(推广)，bn的定义及①得
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(a1)＋(a1a2)＋(a1a2a3)＋…＋(a1a2…an)
＝＋＋＋…＋
≤＋＋＋…＋
＝b1＋b2
＋…＋bn·
＝b1＋b2＋…＋bn
<＋＋…＋＝a1＋a2＋…
＋an即Tn