鲁教版五四制数学九年级上册同步学案及练习（含详细解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版五四制数学九年级上册同步学案及练习（含详细解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-20 21:07:14 | ||
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文档简介
鲁教版五四制初中数学九年级上册同步学案及练习
目录
第一章 解直角三角形 1
本章综合解说 1
1 锐角三角函数 1
学习目标 1
知识详解 1
课外拓展 6
2 30°、45°、60°角的三角函数值 6
学习目标 6
知识详解 6
课外拓展 11
3 用计算器求锐角的三角函数值 11
学习目标 11
知识详解 11
课外拓展 14
4 解直角三角形 14
学习目标 14
知识详解 14
课外拓展 18
5 解直角三角形的应用 18
学习目标 18
知识详解 18
课外拓展 25
6 测量物体的高度 25
学习目标 25
知识详解 26
课外拓展 32
单元总结 32
单元测试 35
第二章 二次函数 44
本章综合解说 44
1 对函数的再认识 44
学习目标 44
知识详解 44
课外拓展 48
2 二次函数 48
学习目标 48
知识详解 49
课外拓展 52
3 二次函数的图像和性质 52
学习目标 52
知识详解 52
课外拓展 57
4 二次函数的图像和性质 57
学习目标 57
知识详解 57
课外拓展 61
5 用三种方式表示二次函数 61
学习目标 61
知识详解 62
课外拓展 66
6 确定二次函数的表达式 66
学习目标 66
知识详解 66
课外拓展 72
7 二次函数与一元二次方程 72
学习目标 72
知识详解 72
课外拓展 78
8 二次函数的应用 78
学习目标 78
知识详解 78
课外拓展 82
单元总结 83
单元测试 86
第三章 投影与视图 94
本章综合解说 94
1 视点、视线与盲区 95
学习目标 95
知识详解 95
课外拓展 98
2 中心投影 98
学习目标 98
知识详解 98
课外拓展 103
3 平行投影 103
学习目标 103
知识详解 103
课外拓展 108
4 正投影 108
学习目标 108
知识详解 108
课外拓展 111
5 三视图 111
学习目标 111
知识详解 111
课外拓展 116
单元总结 117
单元测试 117
期中测试 126
期末测试 133
第一章 解直角三角形
本章综合解说
学习目标
1.理解锐角三角函数的定义，能运用相关知识解直角三角形。?
2.经历解直角三角形有关知识解决实际应用问题，提升分析问题、解决问题的能力。?
3.通过本章知识的复习，体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想在解决数学问题中的广泛应用，深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性。
内容提要
锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用。锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础。因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一。
学法指导
本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用。
研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想，因此本章还包含了数形结合的思想。
1 锐角三角函数
学习目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义。
2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。?
4.理解锐角三角函数的意义。
5.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
6.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算。
知识详解
1. 如图1，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c为斜边，则：
对于∠A来说，∠A的正弦，记作sinA= ；
∠A的余弦，记作cosA= ；
∠A的正切，记作tanA= ；
∠A的余切，记作cotA= 。
锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。
注意：（1） 锐角三角函数只有大小,没有单位；（2）锐角三角函数的值的大小仅与角的大小有关，而与他们所在的三角形的边的长度无关。
2. 同角的三角函数间的关系：
（1）平方关系：；
（2）倒数关系：tan．Cot=1；或
（3）商关系：tan=；cot=。
（4）互余两角的三角函数的关系：
sin=cos，cos=sin，
tan=cot，cot=tan。
【典型例题】
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，则表示（??）
A．sinA??
B．cosA??
C．sinB??
D．以上都不对
【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，则表示sinA。
例2：如图，tan等于（??）?
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】tanα= =
例3：sin表示的是（??）??
A．一个角??
B．一个角的度数??
C．线段的长度??
D．一个比值
【答案】D
【解析】sin表示三角函数值，是个比值。
【误区警示】
易错点1：理解锐角三角函数的定义
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ．（三边分别对应a，b，c）
【答案】
【解析】由锐角三角函数的定义可直接解答．cosA=
易错点2：锐角三角函数的值
2. 在△ABC中，∠C=90°，则sinA、cosA、tanA、cotA四个三角函数值中，有可能比1大的有（??）??
A．1个；??
B．2个；??
C．3个；??
D．4个
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，则∠A为锐角，?则sinA＜1，cosA＜1，tanA＞0，cotA＞0，?故有可能比1大的有tanA，cotA，共2个．
【综合提升】
针对训练
1. 如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）
A．
B．1
C．
D．
2. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么下列锐角三角比中与的值不相等的是（ ）
A．sinA
B．cosA
C．cosB
D．sin∠BCD
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果已知a和∠B，则b= ，c= （用锐角三角函数表示）。
1.【答案】A
【解析】过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，∴tanA= ，故选A．
2.【答案】B
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB=90°，∠ADC=∠BDC=90°．在△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴sinA=；cosA=；
∵∠A+∠B=90°，∴sinA=cosB=；
∵∠A=∠BCD=90°-∠ACD，
∴sinA=sin∠BCD=
3.【答案】a?tanB、
【解析】∵tanB=，∴b=a?tanB，∵cosB=，∴c=
【中考链接】
（2013年宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（??）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可得tan∠AOB=
课外拓展
锐角三角函数与勾股定理二者有着紧密的联系，可以说勾股定理的存在导致三角函数值的诞生，二者的结合使生活中许多几何问题能够迎而解。我们在应用三角函数的同时，也在应用着勾股定理。三角函数值是一个比值，这个比值的得出，是根据勾股定理得到直角三角形三边的数值而得到的。正是由于直角三角形的三边的数值，我们可以得到直角三角形两条直角边的比值，那么也就得到三角函数的正切和余切的值，同时我们也能得到两条直角边和斜边的比值，也就是得出三角函数的正弦和余弦的值。
2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义。
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算。
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
知识详解
1. 特殊角的三角函数值记忆法
（1）视图记忆法：如图2、图3所示：
（2）列表记忆法：特殊角的三角函数值
2. 锐角三角函数值的符号及其变化规律
（1）锐角的各三角函数值均为正值。
（2）锐角的正弦、余弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
当0°＜A＜B＜90°时，sinA＜sinB，tanA＜cotB；cosA＞cosB，cotA＞cotB。
3.求锐角三角函数值的方法
（1）用锐角三角函数的定义求（一般是已知线段长）；
（2）设参数法（一般是未知线段长时，根据条件，适当地设参数，然后再根据定义求解）；
（3）转移所求锐角（一般是所求锐角不在一个直角三角形中，或在直角三角形但不易求，此时需转移角，然后再求）；
（4）根据关系式求（主要是三角函数之间的关系）。
【典型例题】
例1：在△ABC中，若 +（cosB - )2=0，则∠C的度数是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】由题意知=0，cosB - =0，解得sinA=，cosB=，所以∠A=45°，∠B=45°，故∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°，故选C。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA= ；④tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）
【答案】②③④
【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确。
例3：sin45°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D． 1
【答案】B
【解析】sin45°=
【误区警示】
易错点1：特殊角的三角函数的计算
1. sin60°的相反数是（ ）
A．—
B．—
C．—
D．—
【答案】C
【解析】∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是－
易错点2：特殊角的三角函数的应用
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==；
∴∠A=30°
∴∠B=60°
∴sinB=
【综合提升】
针对训练
1. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（??）??
A．不变??
B．扩大5倍??
C．缩小5倍??
D．不能确定
2. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
3. 如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
(
C
B
A
图4
)
A．
B．
C．
D．
1. 【答案】A
【解析】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，?∴两三角形相似，?∴∠A的三角函数值不变。
2.【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．
3.【答案】B
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝＝．
(
C
B
A
图4
D
)
【中考链接】
（2013年重庆）计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（??）
A．?4
B．?4?
C．?5
D．?5
【答案】D
【解析】原式=6×1﹣2×=5．
课外拓展
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。
3 用计算器求锐角的三角函数值
学习目标
1.学会计算器求任意角的三角函数值。
2.熟悉计算器的用法。
知识详解
1. 求已知锐角的三角函数值
例：求sin63゜52′41″的值。（精确到0.0001）
先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以 sin63゜52′41″≈0.8979
又如：求cot70゜45′的值。（精确到0.0001）
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349 215 633.
所以 cot70゜45′≈0.3492
2. 由锐角三角函数值求锐角
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538 445 77。
再按键：
显示结果为36゜32′18.4。
所以，x≈36゜32′。
【典型例题】
例1：已知，求锐角x（精确到1′）。
【答案】设x+50°=，则cot＝0.1950
在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出D)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为78.96536044。
再按键：
，
显示结果为78°57′55″30
∴α≈78°58′，所以x+50°＝78°58′，
x＝28°58′
【解析】把x+50°看做一个整体设为，即cot ＝0.1950。根据，可以求出tan的值。再求出，最后求出锐角x
例2：四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（ ）
A．0.8857
B．0.8856
C．0.8852
D．0.8851
【答案】A
【解析】sin62°20′≈0.8857，故选A。
例3：用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（ ）
A．cotα
B．tanα
C．cosα
D．sinα
【答案】A
【解析】用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A。
【误区警示】
易错点1：用计算器求值步骤
1. 用计算器求下列三角函数（保留四位小数）：sin38°19′=
【答案】0.6193
【解析】按MODE，出现：DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：0.6193
易错点2：用科学记算器进行计算三角函数
2. 已知cotA=1.3773，用计算器求锐角A= （精确到1″）。
【答案】35°58′55″
【解析】按MODE，出现：DEG，按SHIFT，tan，（，1，÷，1.3773，）=，显示：35.98183436，按，“DEG?”，显示：35°58′55″
【综合提升】
针对训练
1.用计算器求下列三角函数（保留四位小数）：cos78°43′16″=
2. 用计算器求下列三角函数（保留四位小数）：tan57°26′=
3. 已知tanα=1.369?0，用计算器求锐角α的值，正确的按键顺序是
1.【答案】0.1956
【解析】按MODE，出现：DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：0.1956
2.【答案】1.5657
【解析】按MODE，出现：DEG，按tan，50，“．”，26，“．”，=，显示：1.5657
3.【答案】先按shift键，再按三角函数tan 键，再依次输入1.3690即可。
【解析】先按shift键，再按三角函数tan 键，再依次输入1.3690，就可以出来答案α≈53.85°。
【中考链接】
（2011年盐城）利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．0.5
B．0.707
C．0.866
D．1
【答案】A
【解析】依次按键，则计算器上显示的结果是0.5。故选A。
课外拓展
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
4 解直角三角形
学习目标
1.初步了解解直角三角形的意义。?
2.会用两边解直角三角形。
知识详解
1．在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两元素（其中至少有一条边），求出其他所有位置元素的过程，叫做解直角三角形?。
2．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当的做高，化斜三角形为直角三角形，再求解?。
3．解直角三角形的类型有两种情况：①已知两条边?②已知一条边和一个锐角。
【典型例题】
例1：已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，求b。
【答案】∵sinA==
∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
∵sinB=
∴b=c?sinB=?sin30°=
【解析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，下列条件不能解直角三角形的是（ ）
A．已知a、b或b、c
B．已知∠A、∠B
C．已知a、b
D．已知a、∠B或b、∠A
【答案】B
【解析】解直角三角形的条件是已知一边和一角，或已知两边都可，已知∠A、∠B，不能求出各边的数值，故不能解直角三角形的是B。
例3：关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直角三角形一定相似。
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5。
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解。
D．如果已知直角三角形一锐角的三角比，那么这个直角三角形的三边之比一定确定。
【答案】D
【解析】A、等腰直角三角形和含30°的直角三角形不相似，所以A选项错误；
B、若直角三角形的两边长分别是3和4，其中4为斜边时，第三边为，所以B选项错误；
C、已知直角三角形两个元素（直角除外），并且已知的是直角三角形两个锐角，那么此直角三角形不能解，所以C选项错误；
D、已知直角三角形一锐角的三角比，根据锐角函数的定义可求出这个直角三角形的三边之比，所以D选项正确。
【误区警示】
易错点1：解直角三角形的方法
1. 在Rt△ABC中，己知∠C=90°，∠B=60°，b=4．解这个直角三角形。
【答案】∵∠B=60°∴∠A=90°-60°=30°
a=b?tanA=4×tan30°=4×=
c=2a=
【解析】先根据三角形的内角和求得角A的度数，再通过三角函数即可求得a与b的值。
易错点2：解直角三角形与勾股定理的应用
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，解这个直角三角形。
【答案】∵∠C=90°，AB=2，BC=，∴AC=1，
∴sinB==，∴∠B=30°∴∠A=90°-∠A=60° 。
【解析】首先根据勾股定理推出AC的长度，然后根据AC和AB的关系即可推出∠B的度数，既而求出∠A的度数。
【综合提升】
针对训练
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，解这个直角三角形。
2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=2，解这个直角三角形．
3. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、b,若acosA=bcosB,则△ABC一定是（??? ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
1.【答案】在直角△ABC中∠B=90-∠A=60°，
∵tanA==tan30°=
∴AC==
∵sinA==
∴AC=8
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则sinA=cosB，sinB=cosA，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素。
2.【答案】在直角△ABC中∠B=90-∠A=60°，
∵tanA==tan30°=
∴a=×=2
∵sinA==
∴c=4
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则sinA=cosB，sinB=cosA，tanA=cotB，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素。
3.【答案】D
【解析】根据正弦定理以及acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°
所以△ABC为等腰或直角三角形。
【中考链接】
（2013年温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（??）?
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】sinA==
课外拓展
解直角三角形知识可以广泛的应用于测量、工程技术和物理学中，主要用来计算距离、高度和角度，解题的关键是建立实际问题的数学模型，即画出图形，找出要解的直角三角形，选择恰当的关系式，并准确把握仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义。
5 解直角三角形的应用
学习目标
1.能够把实际问题转化为数学问题，并进一步对结果的意义进行说明。?
2.经历解决实际问题的过程，体会三角函数的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。
知识详解
1. 仰角、俯角
视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图1）。
2. 坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面与水平面的夹角叫做坡角，（如图2）。
3. 方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图3中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC。
4. 方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图4中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西60°，北偏西60°。
2.解直角三角形的思路是：?
（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据。
??（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解。
3. 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下三个步骤：
（1）审题，通过图形（题目没画出图形的，可自己画出示意图），弄清已知和未知；
（2）找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；
（3）根据直角三角形元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形。
其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：
（1）将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；
（2）如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位。
【典型例题】
例1：如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任意取一点A，再在河的另一岸取两点B、C，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC长为20米，（1）求小河的宽度（使用计算器的地区，结果保留三位有效数字；不使用计算器的地区，结果保留根号）；?（2）请再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明．
【答案】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D．?在Rt△ABD中，∵∠ABC=45°，?∴BD=AD，?∵BC=20，?∴CD=BC﹣BD=20﹣AD，?在Rt△ACD中，∠ACD=30°，tan∠ACD=∴AD=CDtan∠ACD，?即AD=∴AD=≈7.32（米）．?答：小河的宽度约为7.32米；
（2）先取点A，测量得∠ABC=90°处取点B，然后取∠ACB=30°，量出BC的长度即可。
【解析】（1）做AD⊥BC与D，设公共直角边为未知数，利用特殊的角的三角函数表示出组成BC的各边，相加等于BC的长度即可求得小河的宽度；?（2）取一点A，AB⊥BC，量取∠ACB=30°，再测量BC的长，则有AB=BC?tan30°。
例2：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？?（精确到0.1海里，≈1.732）?
【答案】解：由题意，得AB=20×1=20（海里）．?直角三角形MDB中，BD=MD?cot45°=MD，?直角三角形AMD中，AD=MD?cot30°=MD．∵AB=AD﹣BD=（﹣1）MD=20，?∴MD=10（+1）≈27.3（海里）
答：货轮到达灯塔正东方向的D处时，货轮与灯塔的距离约为27.3海里。
【解析】本题中MD是直角三角形MDB和直角三角形ADM的共有直角边，那么可用MD来表示出AD和BD，再根据AB的长来求出MD。
例3：如图，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60°的方向，求河的宽度？（结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中，?∵∠ABD=60°，?∴∠CAB=60°，?
∴AC=BC?cot60°=60即河宽为60米。
【解析】在直角三角形中，利用BC的长，以及∠ABC的度数，根据三角函数即可求得AC的长。
【误区警示】
易错点1：坡度坡角问题
1. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12?m，塔影长DE=18?m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（??）
A．?24m?
B．?22m?
C．?20m?
D．?18m
【答案】A
【解析】过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．?
由题意得：∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．∴GF=BD=CD=6m．又∵∴AG=1.6×6=9.6（m）．?∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m。
易错点2：测量河的宽度
2. 为了搞好防洪工程建设，需要测量岷江河某段的宽度，如图（1），一测量员在河岸的A处测得对岸岸边的一个标记B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向行进了150米到达点C处，这时测得标记B在北偏西30°的方向。
（1）求河的宽度。（保留根号）
（2）除上述测量方案外，请你在图（2）中再设计一种测量河的宽度的方案。
【答案】如图
（1）∵∠BCE=30°，∴∠ACB=60°
又∠CAB=90°，AC=150米，∴在Rt△ABC中，，即，
答：河的宽度为。
（2）利用全等、相似等方法，正确即可。
【解析】（1）由题设可得△ABC为直角三角形，且有∠B=∠BCE=30°，且AC=150米，故可解直角三角形ABC求出AB。
（2）可用解直角三角形、全等三角形、相似三角形等性质来测量河的宽度。
【综合提升】
针对训练
1. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a．若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为（??）
A．?（﹣1，）
B．?（﹣1，）
C．?（，﹣1）
D．?（，﹣1）
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为（??）
A．
B．
C．?5
D．?6
3. 如图，一首轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西26°方向，距离灯塔120海里的点M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的点N处，那么这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是 海里每小时（精确到0.01海里）
1. 【答案】D
【解析】设它现在所在的点是A，则OA=2，做AB⊥y轴于点B，那么AB=OA×sin60°=，OB=OA×cos60°=1，∴所在位置的坐标为（，﹣1）
2. 【答案】A
【解析】连接BD，交EF与O．?∵将矩形沿EF折叠，?∴∠BOF=∠DOF=90°，?∵∠BOF=∠C，?又∵∠CBD=∠OBF，?∵△BOF∽△BCD，?则BD=10，BO=5．?∴OF：6=5：8，OF=∴EF=
3. 【答案】26.31
【解析】由题意可得，这艘轮船的航行路线图如下图所示：?已知：MP=120海里，∠MPN=26°，?由题意得，MN⊥NP，?所以，在Rt△PMN中，?MN=MP×sin∠MPN?
即MN=120×sin26°=52.62（海里）?轮船在这段时间内航行的平均速度=轮船在这段时间内航行的路程÷时间，所以，平均速度=MN÷2=26.31（海里/时）?答：这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是26.31海里每小时。
【中考链接】
（2012年深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时?刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米
B．12米
C．?（4+2）米
D．10米
【答案】A
【解析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。?作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，?∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，?∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。?∴BD=BF+EF+ED=12+2，∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，?∴在Rt△ABD中，AB=BD=
课外拓展
锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用，“不上高山，能测山高；不下湖泊，能量河宽”，正是三角函数应用的独特魅力所在。同时锐角三角函数在生活中也突出体现其基础性、普及性和发展性。在应用三角函数解决各类实际问题时，建立数学模型就是十分关键的一步，同时也是很困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。在建立数学模型中，会更有利于发挥我们的主动性、创造性，让我们能把学习知识、应用知识、探索发现更好地结合起来。
6 测量物体的高度
学习目标
1.经历设计活动方案及撰写报告的过程。?
2.能够对所得数据进行分析。?
3.能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
知识详解
1.活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度。
活动报告：
2.活动方式：分组活动，全班交流研讨。
3.活动工具：侧倾器（或经纬器、测角仪等）、皮尺等测量工具。
简易测倾器可以自己制作，用木板做一个半圆刻度盘，半径是15～20cm（90°～0°～90°），用螺钉螺母把它和一根长130cm的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直径的两端钉两个标针（如图1-5-2）。当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的。
4. 用测倾器测量倾斜角的方法
（1）把测倾器插在一点（图1-5-3），使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标针连线在水平位置；
?????????????????
（2）转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处；
（3）根据同角的余角相等，可以知道，所测倾斜角即仰角∠EOB等于铅垂线与零度线间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是∠EOB的度数。
注意：（1）测倾器可用教学时用的量角器（木制的，半径为20cm）只需把指针换成一根杆，长约130cm，把刻度改为（90°～0°～90°），如图1-5-4所示。
（2）90°～0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°。
（3）测倾器的制作和使用原理是：同角的余角相等。
【典型例题】
例1：?如图1-5-7，A、B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B．现有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测有器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）。
（1）请你设计一个测量B楼高度的方法：要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形；
（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算B楼高度的表达式。
【答案】（1）如图1-5-8，设AC为A楼，BD表示B楼，测量步骤为：
①用测角器在A楼的顶端A点测量到B楼楼底的俯角α，
②用测角器在点A测量B楼楼顶的仰角β，
③用皮尺从A楼顶放下，测量点A到地面的高度为α。
（2）如图1-5-8，在Rt△ACD中，CD=a×tan∠DAC=
在Rt△AEB中，BE=AE·tanβ．∵AE=CD，∴BE= ·tanβ．
∴B楼高BD=BE＋ED=BE＋AC= ·tanβ＋a=a（1＋）
【解析】如果在A楼底端C点测仰角∠BCD，应考虑测角器的高度或身高，不能忽略。
例2：如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高为m，底面半径为2m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m。
（1）求∠B的度数；
（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度。
【答案】（1）过点D作DF⊥BC于点F，
由题意，得DF=m，EF=2m，BE=4m，
在Rt△DFB中，，所以∠B=30°
（2）过点A作AH⊥BP于点H
因为∠ACP=2∠B=60°，所以∠BAC=30°，AC=BC=8m，
在Rt△ACH中，
即光源A距水平面的高度为
【解析】本题综合考查锐角三角函数、直角三角形等知识，解答时需作出过点D和点A的BP的垂线，然后在直角三角形中利用边角关系求解。
例3：如图所示，秋千拉绳OB的长为3米，静止时，踏板到地面的距离BE长为0.6米（踏板的厚度忽略不计），小亮荡该秋千时，当秋千拉绳由OB运动到OA时，拉绳OA与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时该秋千踏板离地面的高度AD是多少米？（精确到0.1米）
【答案】如图，作AF⊥OE于F，在Rt△AFO中，∠AFO=90°，
∴OF=OA·cos∠AOF
又∵OA=OB=3，∠AOF=55°
∴OF=3·cos55°≈1.72
∴EF=3＋0.6－1.72≈1.9
∴AD=EF=1.9（米）
【解析】在Rt△OAF中，先求OF，再求AD的高度，将实际问题转化为解直角三角形的问题是解决问题的关键。
【误区警示】
易错点1：构造出直角三角形解决问题
1. 如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为，上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？
【答案】，又是锐角，，又，BE=，，。
答：坡角B为30度，坝高为3m，坝底宽为（）m。
【解析】首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知
求∠B、AE、BC，此题实质转化为解直角三角形的问题。
易错点2：将实际问题转化为数学问题
2. 如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？
【答案】根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°，AB=BC=8，作CD⊥AB于D。
∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度。
在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，（海里）
（海里）
【解析】将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题。
【综合提升】
针对训练
1. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（ ）
A．24米??????
B．20米??????
C．16米??????
D．12米
2. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30?，从C点向塔底?B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45?，则塔AB的高为（ ）
A．??????????
B．???????
C．
D．
3. 某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=（ ）
A.
B.2?????????????
C.
D.
1.【答案】D
【解析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC?tan27°。?把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。故选D。
2.【答案】D
【解析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC=3AB?和BC=AB+100求解即可求出答案：?
在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。?在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。?∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=AB，解得AB=。故选D。
3.【答案】A
【解析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，?∴PA=20。?
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，∴∠APB=90°?，BP=60×=40。∴tan∠ABP==。
【中考链接】
（2012年嘉兴）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米。
A．?asin40°?
B．?acos40°?
C．?atan40°
?D．
【答案】C
【解析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，?∴AB=atan40°。故选C。
课外拓展
测量底部可以到达的物体的高度如图1-5-5，以测量旗杆AB的高度为例，如果从测点到旗杆底部的水平距离可以直接量得，高度AB就可以测出，具体如下：
（1）工具——测倾器、卷尺。
（2）步聚：①在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α。
②量出仪器的高CD=EB=b，和测点D到旗杆的水平距离BD=CE=a。
③按照AB=atanα＋b的表达式，就可求得旗杆高．这是因为AB=AE＋EB=atanα＋b。
单元总结
【知识网络】
锐角三角函数
30°、45°、60°角的三角函数值
解直角三角形 用计算器求锐角的三角函数
解直角三角形
解直角三角形的应用
测量物体的高度
【专题综合讲解】
1. 如图1，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c为斜边，则：
对于∠A来说，∠A的正弦，记作sinA= ；
∠A的余弦，记作cosA= ；
∠A的正切，记作tanA= ；
∠A的余切，记作cotA= 。
锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。
2. 同角的三角函数间的关系：
（1）平方关系：；
（2）倒数关系：tan．Cot=1；或
（3）商关系：tan=；cot=。
（4）互余两角的三角函数的关系：
sin=cos，cos=sin，
tan=cot，cot=tan。
3.特殊角的三角函数值
4．在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两元素（其中至少有一条边），求出其他所有位置元素的过程，叫做解直角三角形?。
5．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当的做高，化斜三角形为直角三角形，再求解?。
6．解直角三角形的类型有两种情况：①已知两条边?②已知一条边和一个锐角。
7. 仰角、俯角
视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图1）。
8. 坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面与水平面的夹角叫做坡角，（如图2）。
9. 方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图3中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC。
10. 方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图4中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西60°，北偏西60°。
11.解直角三角形的思路是：?
（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据。
??（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解。
单元测试
一、选择题
1. sin30°的值等于（??）
A．?1?
B．?
C．?
D．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（??）
A．
B．
C．?
D．
3. 三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（??）?
A．
B．
C．?
D．
4. 如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（??）
A．250m?
B．?250m?
C．?m?
D．?250m
5. 如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（??）
A．?15°?
B．?20°?
C．?30°?
D．?45°
6. 计算：tan 60°+2sin 45°2cos 30°的结果是（ ）
A.2
B.
C.
D.1
7. 已知为锐角，且则等于（ ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
8. 如果∠A是锐角，且，那么∠A＝（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9. 王英从A地向北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时王英离A地有（ ）米。
A.50
B.100
C.150
D.100
10. 在正方形网格中，∠的位置如图，则sin ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11. 若∠a=60°，则∠a的余角为 ，cosa的值为 。
12. 在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=
13. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC= 米．?
14. 课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）
15. 如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=
三、解答题
16. 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）
17. 如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）
18. 在菱形ABCD中，DE⊥AB于B，DE=6，sinA=，求菱形ABCD的周长．
19. 如图，在直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．
20. 已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则cosA值是多少？
参考答案
一、
1.【答案】D
【解析】根据特殊角的三角函数值来解，sin30°=
2.【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，?则cosB=sinA=
3.【答案】A
【解析】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，?∴tanα=
4.【答案】A
【解析】由已知得，∠AOB=30°，OA=500m，则AB=OA=250m，故选A。
5.【答案】C
【解析】∵tanα=1：=∴坡角α为30°
6.【答案】C
【解析】tan 60°+2sin 45°2cos 30°= +
7.【答案】C
【解析】因为，所以 =60°，所以α=70°，故选C
8.【答案】B
【解析】因为∠是锐角且，所以，所以
9.【答案】
【解析】如图，作AE⊥BC于点E．∵ ∠EAB=30°，AB=100，∴ BE=50，AE=50．∵ BC=200，∴ CE=150．在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC=100．即此时王英离A地的距离是100米。
10.【答案】B
【解析】由题图可知=
11.【答案】30°，
【解析】∠a的余角=90°﹣60°=30°，cos60°=
12.【答案】
【解析】∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），?sinB=
13.【答案】100
【解析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，?∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米．
14.【答案】13.9
【解析】Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，?∴AB=BC?tan30°=24× =8≈13.9（米）．
15.【答案】
【解析】OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，?则sina=
16.【答案】∵BD=CE=6m，∠AEC=60°，?
∴AC=CE?tan60°=6×=6≈6×1.732≈10.4m，?∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9m，答：旗杆AB的高度是11.9米。
【解析】先根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB=AC+DE即可得出结论．
17.【答案】作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，?设CD=x，在RT△ACD中，可得AD=x，?在RT△ABD中，可得BD=x，?又∵BC=20，即x+x=20，?解得：x=10（—1）?∴AC=x≈10.3（海里）?
答：A、C之间的距离为10.3海里。
【解析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案。
18.【答案】根据题意，DE⊥AB于B，DE=6，sinA=，?所以AD==10，?又因为四边形ABCD菱形，?故周长为40．?答：菱形ABCD的周长为40。
【解析】DE⊥AB于B，DE=6，sinA=，可以得出AD的长度，又四边形ABCD菱形，故菱形ABCD的周长为4AD。
19.【答案】解：作PC⊥x轴于C．?∵tanα=，OC=3，?∴PC=4，即y=3．?则OP=5．?则sinα=
【解析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标，即y的值；再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得角α的正弦值。
20.【答案】∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，，?∴△ABC是直角三角形。
∴cosA=
【解析】根据三角形三边的长判断出三角形的形状，画出图形，再根据锐角三角函数的定义解答。
第二章 二次函数
本章综合解说
学习目标
1. 正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。
2. 理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。?
3. 了解二次函数与二次方程之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。
内容提要
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
学法指导
二次函数图象是本章的重点之一，二次函数的图象是它性质的直观体现，函数图象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法。函数图象对于了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的。
1 对函数的再认识
学习目标
1.经历探索两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。
2.复习并进一步归纳认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系。
知识详解
1.对函数了解
（1）每个问题中都有两个变化的量。
（2）当其中一个量变化时，另一个变量随之变化。
（3）每一个问题都有一个量可自由变化。
（4）当解出一个变量的值，另一个变量是否有惟一的值与之对应。
（5）每一个变量的值是否可以任意选取。
2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x、y ，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。
3. 函数的概念由三句话组成：“两个变量”“x的每一个值”“y有惟一确定的值”（2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有惟一确定的值和它对应。否则就不存在函数关系。（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4. 对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时的函数的值，简称函数值。如对于函数y=3x+7，16就是当x=3时的函数值。
5.用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析式，函数还可以用表格和图像表示，分别称为列表法和图像法。
6.函数自变量的取值范围，应使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义。
【典型例题】
例1：函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x≥3
C．x＞3
D．x≤3
【答案】B
【解析】有意义的条件是：x-3≥0．∴x≥3
例2：2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①离家至轻轨站，y由0缓慢增加；②在轻轨站等一会，y不变；③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加；④观看比赛，y不变；⑤乘车回家，y快速减小．结合选项可判断A选项的函数图象符合童童的行程。
例3：万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回万州．若该轮船从万州出发后所用的时间为x（小时），轮船距万州的距离为y（千米），则下列各图形中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分三段考虑，①逆水行驶，y随x的增大而缓慢增大；②静止不动，y随x的增加，不变；③顺水行驶，y随x的增减快速减小．结合图象，可得C选项正确。
【误区警示】
易错点1：函数关系式
1. 下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示这种关系的函数关系式为（ ）
y 50 80 100 150
x 30 45 55 80
A．y=
B．y=2x-10
C．y=x+25
D．y=x+5
【答案】B
【解析】根据题意，设函数关系式为y=kx+b，
则，解得，
所以，y与x的函数关系式为y=2x-10
易错点2：函数自变量的取值范围
2. 函数y=+3中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x≥1
C．x≤1
D．x≠1
【答案】B
【解析】根据题意得，x-1≥0，解得x≥1
【综合提升】
针对训练
1. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x≥1
C．x＞-2
D．x≥-2
2. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0
B．x＞2
C．x≥2
D．x≠2
3. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3
B．x＜3
C．x≠3
D．x≠-3
1.【答案】A
【解析】根据题意得：x-1＞0，解得：x＞1。
2.【答案】D
【解析】根据题意得，x-2≠0，解得x≠2。
3.【答案】C
【解析】根据题意得，3-x≠0，解得x≠3。
【中考链接】
（2014年娄底）函数y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0
B．x≥-2
C．x≥2
D．x≤-2
【答案】C
【解析】根据题意，得x-2≥0，解得x≥2。
课外拓展
自变量一词来自数学。在数学中，y=f（x）。在这一方程中自变量是x，因变量是y。将这个方程运用到心理学的研究中，自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量和类别变量之分。如果实验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实验。如实验者操纵的自变量是类别变量，则实验是因素型的。在心理学实验中，一个明显的问题是要有一个有机体作为被试对刺激作反应。显然，这里刺激变量就是自变量。
2 二次函数
学习目标
1. 能够表示简单变量之间的二次函数关系。能利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。
2.理解二次函数概念。
知识详解
1. 定义：一般地，解析式形如（a，b，c是常数，a0），那么y叫做x的一元二次函数。
x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2.二次函数的形式
一般形式：（a，b，c是常数，a0）
特殊形式：（1）?y=a????（a≠0，但是b＝c＝0）
（2）?y=a＋bx? （a≠0，且b?≠0，而c＝0）
（3）?y=a＋c?? （a≠0，且c?≠0，而b＝0）
【典型例题】
例1：下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x+1
B．y=-2x+1
C．y=+2
D．y=x-2
【答案】C
【解析】A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y=-2x+1，是一次函数，故此选项错误；
C、y=+2是二次函数，故此选项正确；
D、y=x-2，是一次函数，故此选项错误。
例2：函数y=3+x-4是（ ）
A．一次函数
B．二次函数
C．正比例函数
D．反比例函数
【答案】B
【解析】因为二次项的系数是3≠0，所以是二次函数．故选B
例3：已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是???（ ）
A.有最小值0，有最大值3?
B.有最小值﹣1，有最大值0??
C.有最小值﹣1，有最大值3??
D.有最小值﹣1，无最大值
【答案】C
【解析】由函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即可求得函数的最值：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3。故选C。
【误区警示】
易错点1：二次函数的形式
1. 下列函数关系中，不可以看作二次函数（a0）模型的是（??）??
A.圆的半径和其面积变化关系??
B.我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系??
C.掷铅球水平距离与高度的关系??
D.面积一定的三角板底边与高的关系
【答案】D
【解析】A.圆的半径和其面积变化关系式为：，正确；?
B.我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系式为：?
，符合二次函数的定义，正确；?
C.因为掷铅球投掷的过程形成的是抛物线，所以其关系式应为（a0），正确；?
D.面积一定的三角板底边与高的关系是反比例函数关系，错误。
易错点2：二次函数的定义
2. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（??）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A.未知数的最高次数不是2，故本选项错误；?
B.二次项系数a=0时，不是二次函数，故本选项错误；?
C.∵=—14x﹣49，即y=﹣14x﹣49，没有二次项，故本选项错误；?
D.由原方程得，，符合二次函数的定义，故本选项正确。
【综合提升】
针对训练
1. 二次函数的二次项系数与常数项的和是（??）??
A.1??
B.﹣1??
C.7??
D.﹣6?
2. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（??）??
A.y=2a（x﹣1）??
B.y=2a（1﹣x）??
C.y=a（1﹣）??
D.y=a
3. 如果函数是二次函数，那么k的值一定是
1. 【答案】B
【解析】二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1．故选B。
2. 【答案】D
【解析】由题意第二次降价后的价格是a．?则函数解析式是y=a。
3. 【答案】0
【解析】根据二次函数的定义，得：
=2解得k=0或k=3；?又∵k﹣3≠0，?∴k≠3．?∴当k=0时，这个函数是二次函数。
【中考链接】
（2013年镇江）二次函数y=﹣4x+5的最小值是（??）???
A．?﹣1?
B．?1?
C．?3?
D．?5?
【答案】B
【解析】配方得：y=﹣4x+5=﹣4x++1=+1，?当x=2时，二次函数y=﹣4x+5取得最小值为1．
课外拓展
二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型；生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
3 二次函数的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画出二次函数的图象，能根据图象观察、分析出二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。
2.了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
知识详解
1.如图2-4，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的交点，它是图像的最低点。
2. 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像?
（1）列表：以O为中心，均匀地选取一些便于计算的x的值，计算出函数y的对应值，列出函数的对应值表；?
（2）描点：把每对的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内，描出相应的点。?
（3）连线：自变量的取值按由小到大的顺序，用平滑的曲线联结各点，就得到函数的图像。?
注意：一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析。
3. 二次函数图像的性质
（1）二次函数的图像是一条抛物线，它关于y轴即x=0对称；它的顶点坐标是（0,0）。?
（2）a>0，抛物线开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点。?
（3）a<0时，抛物线开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点。
【典型例题】
例1：若y=（a2+a）xa2?2a?1是二次函数，那么（ ）
A．a=-1或a=3
B．a≠-1且a≠0
C．a=-1
D．a=3
【答案】D
【解析】根据题意，得：a2-2a-1=2解得a=3或-1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠-1所以a=3
例2：已知y＝mxm2+3m+2是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或-3
B．0或3
C．0
D．-3
【答案】D
【解析】依题意有：m2+3m+2=2，且m≠0，解得m=-3
例3：函数y=ax-2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵在y=ax-2，∴b=-2，∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，∵①当a＞0时，∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，∵②当a＜0时，∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限
【误区警示】
易错点1：函数图像
1. 在下列四个函数的图象中，函数y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知：①图象A函数值具有对称性．在对称轴的右侧y的值随x值的增大而增大，错误；②B的增减性需要限定在各个象限内，错误；③C图象是函数y的值随x值的增大而增大，正确；④D的图象是函数y的值随x值的增大而减小，错误。
易错点2：函数性质
2. 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A．
B．y=x-1
C．
D．
【答案】D
【解析】A、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；
B、一次函数y=x-1的图象，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
C、正比例函数的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
D、反比例函数中的1＞0，所以y随x的增大而减小； 故本选项正确。
【综合提升】
针对训练
1. 下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
2. 二次函数y=2x（x-3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2
B．-2
C．-1
D．-4
3. 已知函数：①y=3x-1；②y=3x2-1；③y=3x3+2x2；④y=2x2-2x+1，其中二次函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
1.【答案】D
【解析】A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；
D、，是二次函数，正确。
2.【答案】D
【解析】y=2x（x-3）=2x2-6x．所以二次项系数与一次项系数的和=2+（-6）=-4
3.【答案】B
【解析】①y=3x-1为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=3x3+2x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
故是二次函数的有2个
【中考链接】
（2014年宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，错误。
课外拓展
坐标的思想是法国数学家笛卡尔，也是一名哲学家，所创立的。有一天，笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。
4 二次函数的图像和性质
学习目标
1. 经历描点法画函数图像的过程,?学会观察、归纳、概括函数图像的特征。
2. 掌握型二次函数图像的特征。
知识详解
1. 二次函数图像的性质
（1）抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，k）。
（2）与的图像形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到。
（3）把的图像向上或向下平移c个单位，即得到的图像。k>0时，沿y轴向上平移；k<0，沿y轴向下平移。
2. 二次函数的图像?
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线x=，顶点坐标是（，）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点抛
物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且），都可以运用配
方法，把它的解析式化为的形式。
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式。
3. 二次函数图像的画法?
（1）描点法?
其步骤如下：?
①把二次函数化成的形式?
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标?
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。
（2）平移法?其步骤如下：?
①利用配方法把二次函数化成确定顶点（h，k）；?
②作出的图像?
③将抛物线的图像平移，使其顶点平移到（h，k）?
【典型例题】
例1：周长是4m的矩形，它的面积S（）与一边长x（m）的函数图象大致是（??）
【答案】D
【解析】∵S=x（2﹣x）?=+1（0＜x＜2）．?∴顶点坐标（1，1）开口向下。
例2：己知二次函数，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（??）?
?A、＞0??
B、=0?
?C、＜0??
D、≤0?
【答案】A
【解析】∵a＜0，?∴抛物线的开口向下．?∵a﹣b+c＞0，?
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，画草图得：抛物线与x轴有两个交点，?∴＞0。
例3：二次函数y=的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（??）?
A．?y=+3?
B．?y=﹣3?
C．?y=
D．?y=
【答案】D
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（3，0）．?
可设新抛物线的解析式为：y=+k，?代入得：y=。
【误区警示】
易错点1：二次函数的性质
1. 已知抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定是（??）?
?A、1??
B、2??
C、﹣2??
D、2或﹣2
【答案】D
【解析】抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，?则△=0，解得b=±2．故选D。
易错点2：二次函数图象
2. 把抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为y=﹣3x+5，则有（??）??
A、b=3，c=7??
B、b=﹣9，c=25??
C、b=3，c=3??
D、b=﹣9，c=21
【答案】
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，把y=﹣3x+5的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得抛物线的图象。
【综合提升】
针对训练
1. 已知一抛物线和的图象形状相同，对称轴平行于y轴，且顶点坐标为（﹣1，3），则它所对应的函数关系式为
2. 已知二次函数的图象如图所示，则当y＜0时，对应x的取值范围
是
3. 已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：
1. 【答案】
【解析】已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），可设此抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+h（a≠0），由于抛物线和的图象形状相同，因此a=±2．即抛物线的解析式为
2. 【答案】﹣4＜x＜2
【解析】观察图象可知，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），?∴当y＜0时，x的取值范围正好在两交点之间，即﹣4＜x＜2。
3. 【答案】（答案不唯一）。
【解析】已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交．因而二次项系数小于0，顶点在y轴的正半轴的二次函数就满足条件。
【中考链接】
（2013年昭通）已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（??）
A．?a＞0?
B．?3是方程的一个根???
C．?a+b+c=0?
D．?当x＜1时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；?
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程的一个根，故此选项正确；?
C、把x=1代入二次函数（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；?D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误。
课外拓展
函数图象之起源
函数观念古代早已有之，而函数概念则是由17世纪德国著名数学家莱布尼茨提出的。起初，人们研究函数，只是对着函数解析式反反复复地算来算去。后来，法国著名数学家笛卡儿引入了平面直角坐标系，该坐标系由两个数轴组成。两个数轴互相垂直，原点重合，单位长度相等。习惯上把铅直的数轴称为y轴，水平的数轴称为x轴，y轴的上方为正方向，x轴的右方为正方向。从此，平面上的每一个点都可以用平面直角坐标系的坐标表示。??????????直角坐标系引入后，人们发现，直角坐标系用有序数对表示点，而有序数对中的两个数恰恰可以用函数中的两个变量表示。这是数学史上的伟大创举!?
?????????此后，人们就知道，函数可以通过坐标系转化成图形，从而直观地研究。数和形是数学的两大根基，以前毫不相干，正是坐标系的出现，把作为“数”的函数转化为作为“形”的图象，从此数学发展更蓬勃。令数有了几何意义，是很多高等数学的思想，如微积分中，导数的几何意义就是某函数的图象在一点上的切线的斜率。
5 用三种方式表示二次函数
学习目标
1. 通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2. 通过实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
知识详解
1.函数的表示方式
解析法—用表达式表示函数，用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示两个变量之间的函数关系的方式叫做表达式法，这个等式叫做函数的表达式。
列表法—用表格表示函数，把自变量x的一系列值及其对应的函数值y，列成一个表格来表示二者之间的关系的方法叫做表格法。
图象法—用图象表示函数，把一个函数的自变量x和函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点所组成的图形就是这个函数的图像，用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
2.比较三种方式的优缺点
【典型例题】
例1：已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b
B．a＜b
C．a=b
D．不能确定
【答案】A
【解析】∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，∴a＞b。
例2：已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值-5、最大值0
B．有最小值-3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
【答案】B
【解析】由二次函数的图象可知，∵-5≤x≤0，∴当x=-2时函数有最大值，y最大=6；当x=-5时函数值最小，y最小=-3
例3：已知抛物线y=2x2-4x-1，下列说法中正确的是（ ）
A．当x=1时，函数取得最小值y=3
B．当x=-1时，函数取得最小值y=3
C．当x=1时，函数取得最小值y=-3
D．当x=-1时，函数取得最小值y=-3
【答案】C
【解析】二次函数y=2x2-4x-1可化为y=2（x-1）2-3，故当x=1时，函数取得最小值y=-3
【误区警示】
易错点1：二次函数的最值问题
1. 下列为四个二次函数的图形，哪一个函数在x=2时有最大值3（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A、由图形可知，函数在x=2时有最大值3；B、由图形可知，函数在x=2时有最小值3；C、由图形可知，函数在x=0时有最大值大于3；D、由图形可知，函数在x=0时有最小值小于3．
易错点2：二次函数的图像
2. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限，a＞0，与二次函数开口向下，即a＜0相矛盾，错误；
B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限，a＜0，与二次函数开口向上，a＞0相矛盾，错误；
C、y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），故此二次函数与x轴的两个交点为（-，0），（-1，0），一次函数y=ax+c与x轴的交点为（-，0），故两函数在x轴上有交点，错误；排除A、B、C。
【综合提升】
针对训练
1. 二次函数y=2x2+4x+3的图象的（ ）
A．最高点在（-1，1）
B．最高点在（1，-1）
C．最低点在（-1，1）
D．最低点在（1，-1）
2. 若二次函数y=x2+ax+5图象关于直线x=-2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围应是（ ）
A．-4≤m≤-2
B．m≤-2
C．-4≤m＜0
D．-2≤m＜0
3. 如果二次函数y=x2-2x+m的最小值为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1
B．m＞1
C．m≤1
D．m≥1
1.【答案】C
【解析】y=2x2+4x+3=2（x2+2x+1-1）+3=2（x+1）2+1，∵a=2＞0，∴抛物线开口向上，抛物线有最底点，即最底点坐标为（-1，1）
2.【答案】C
【解析】∵x=0时，y=5，∴y的最大值5可能是x=0时的函数值，
∴≥-2，解得m≥-4，∴m的取值范围应是-4≤m＜0
3.【答案】A
【解析】∵y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴最小值为m-1，∵二次函数y=x2-2x+m的最小值为负数，∴m-1＜0，解得：m＜1
【中考链接】
（2013年徐州）二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
则该函数图象的顶点坐标为（??）???
A．?（﹣3，﹣3）?
B．?（﹣2，﹣2）?
C．?（﹣1，﹣3）?
D．?（0，﹣6）
【答案】B
【解析】∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，?∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，?∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）。
课外拓展
没有捷径可以走
古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。
闲着没事的多禄米，有一天忽然心血来潮想学一点儿什么东西。当时，阿基米德已是一位十分著名的科学家了。多禄米决定把阿基米德请来，拜他为师，学习一点几何知识。
接到国王召见，阿基米德不敢怠慢，急忙来到了皇宫。这里金碧辉煌，白玉大理石铺成的透明地板，水晶珍珠般的吊灯，雕龙刻虎的梁柱，把整座宫殿装扮得格外豪华、漂亮，阿基米德一边欣赏着宫殿中的装饰，心中一边想，这些宏伟的建筑中不知凝结了多少科学家和劳动人民的智慧和心血，尤其是那些精巧、别致的设计，无不反映出建造者们在数学、特别是几何学方面很深的造诣。
从此以后，阿基米德就当上了国王的私人数学教师。刚开始上几何课时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲几何学内容都很浅显，但对于不爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情绪。
对国王情绪的变化，阿基米德看到眼里，记在心中。他仍然一如既往的认真讲课。他细心而又耐心的各多禄米讲解着各种几何的图形、原理以及计算方法，可是多禄米毫无兴趣，有点昏昏欲睡了。阿基米德来到多禄米的身边，用手推推他。这位国王勉强睁开惺忪的睡眼，没等阿基米德说话，他反而先问：“请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。”听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的乡村小道，一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途，请问陛下走的是哪一条道路呢？”“当然是皇家的坦途呀！”多禄米回答得十分干脆，但又感到茫然不解。
阿基米德继续说：“不错，您当然是走皇家的坦途，但那是因为您是国王的缘故。可现在，您是一名学生，要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓，也无论是老师还是学生，大家只能走同一条路。因为，走向学问是没有什么皇家大道的。”阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个道理：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁的。
6 确定二次函数的表达式
学习目标
1. 能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式。
2. 经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法。
知识详解
1.待定系数法
先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
2.二次函数的三种形式
（1）一般式：（a、b、c为常数，a≠0），已知抛物线上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）两点式：（a、、为常数，a≠0），已知抛物线与x轴交点的横坐标、，通常选用交点式。
说明：
（1）要确定二次函数的表达式，就是确定表达式的待定系数（常数），由于二次函数的表达式的每一种形式中都含有三个未知数，所以必须已知三个独立条件，才能确定二次函数的表达式。
（2）在求二次函数表达式时，可根据以下情况求解：已知二次函数图象过三点，求解析式，可以设一般式；已知二次函数图象的顶点和另一点，求解析式，可以设顶点式；已知图像与X轴的两个点，求解析式，可以设两点式。
【典型例题】
例1：若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为（ ）
A．5
B．-3
C．-13
D．-27
【答案】D
【解析】法一：设二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k，
∵当x=-4或-2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=-3，k=5，
∴y=a（x+3）2+5，
把（-2，3）代入得，a=-2，
∴二次函数的解析式为y=-2（x+3）2+5，
当x=1时，y=-27．
法二：根据图表可得：对称轴x=-3，
∴横坐标为1的对称点与横坐标为为-7的点对称，
∴当x=1时，y=-27
例2：若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（ ）
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A．y=x2-4x+3
B．y=x2-3x+4
C．y=x2-3x+3
D．y=x2-4x+8
【答案】A
【解析】将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1，
将（-1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：解得
∴函数解析式是：y=x2-4x+3
例3：已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=x2-2x+3
B．y=x2-2x-3
C．y=x2+2x-3
D．y=x2+2x+3
【答案】B
【解析】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），
所以解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3
【误区警示】
易错点1：抛物线经过的三点求函数的表达式
1. 如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=x2-x+2
B．y=x2+x+2
C．y=-x2-x+2
D．y=-x2+x+2
【答案】D
【解析】根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），
所以
解得a=-1，b=1，c=2，
这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2
易错点2：顶点式
2. 若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y=-x2+2x-5
B．y=ax2-2ax+a-3（a＞0）
C．y=-2x2-4x-5
D．y=ax2-2ax+a-3（a＜0）
【答案】D
【解析】抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下。
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确。
【综合提升】
针对训练
1. 已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2x2+x+2
B．y=x2+3x+2
C．y=x2-2x+3
D．y=x2-3x+2
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（-2，-2），且过点
B（0，2），则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=x2+2
B．y=（x-2）2+2
C．y=（x-2）2-2
D．y=（x+2）2-2
3. 如图，已知抛物线l1：y=（x-2）2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（ ）
A．y=（x-2）2+4
B．y=（x-2）2+3
C．y=（x-2）2+2
D．y=（x-2）2+1
1.【答案】D
【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得所以该函数的解析式是y=x2-3x+2
2.【答案】D
【解析】设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2-2，将（0，2）代入得
2=a（0+2）2-2
解得：a=1
故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2-2
3.【答案】C
【解析】连接BC，
∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，
∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；
∵抛物线l1的解析式是y=（x-2）2-2，
∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，
∴OA=4；
∴OA?AB=16，
∴AB=4；
∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，
∴l2的解析式为：y=（x-2）2-2+4，即y=（x-2）2+2
【中考链接】
（2014年淄博）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）．它与反比例函数y=-的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2-x-2
B．y=x2-x+2
C．y=x2+x-2
D．y=x2+x+2
【答案】A
【解析】将A（m，4）代入反比例解析式得：4=-，即m=-2，
∴A（-2，4），将A（-2，4），B（0，-2）代入二次函数解析式得：
解得：b=-1，c=-2，则二次函数解析式为y=x2-x-2。
课外拓展
抛物线是平面内到一个定点（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
7 二次函数与一元二次方程
学习目标
1. 能够利用前面所学知识熟练求解函数的解析式。
2. 能够理解抛物线图像与x轴交点个数的判断方法与相应一元二次方程解个数的关系。
知识详解
1.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线的交点为（0, ）。
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（,）。
2.抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离，
3. 平行于轴的直线与抛物线的交点
抛物线与轴的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点．当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
4. 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
5. 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
【典型例题】
例1：已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1
B．x1=1，x2=2
C．x1=1，x2=0
D．x1=1，x2=3
【答案】B
【解析】∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x=。
又∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2
例2：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A．ac＞0
B．方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
C．2a﹣b=0
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；
C、∵抛物线对称轴为x==1，∴2a+b=0，故本选项错误；
D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误。
例3：已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（ ）
A．abc＜0
B．c＞0
C．4a＞c
D．a+b+c＞0
【答案】A
【解析】∵4a﹣b=0，∴抛物线的对称轴为x==﹣2
∵a﹣b+c＞0，
∴当x=﹣1时，y＞0∵抛物线与x轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于2，
∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标位于﹣3与﹣1之间，b2﹣4ac＞0
∴16a2﹣4ac=4a（4a﹣c）＞0
据条件得图象：
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，4a﹣c＞0，
∴4a＞c
当x=1时，y=a+b+c＞0
故选A
【误区警示】
易错点1：抛物线与x轴的交点
1. 抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（ ）
A．a＜0，b2﹣4ac＜0
B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＜0
D．a＞0，b2﹣4ac＞0
【答案】A
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，
∴由二次函数图象与系数关系知a＜0，且与x轴没有交点，即所对应二次方程没有解，
∴△=b2﹣4ac＜0，故选A。
易错点2：图象法求一元二次方程的近似根
2. 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．
故选C。
【综合提升】
针对训练
1. 根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．8＜x＜9
B．9＜x＜10
C．10＜x＜11
D．11＜x＜12
2. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ ）
A．﹣1.6
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
3. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ②a>0 ③b>o ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的是 （
目录
第一章 解直角三角形 1
本章综合解说 1
1 锐角三角函数 1
学习目标 1
知识详解 1
课外拓展 6
2 30°、45°、60°角的三角函数值 6
学习目标 6
知识详解 6
课外拓展 11
3 用计算器求锐角的三角函数值 11
学习目标 11
知识详解 11
课外拓展 14
4 解直角三角形 14
学习目标 14
知识详解 14
课外拓展 18
5 解直角三角形的应用 18
学习目标 18
知识详解 18
课外拓展 25
6 测量物体的高度 25
学习目标 25
知识详解 26
课外拓展 32
单元总结 32
单元测试 35
第二章 二次函数 44
本章综合解说 44
1 对函数的再认识 44
学习目标 44
知识详解 44
课外拓展 48
2 二次函数 48
学习目标 48
知识详解 49
课外拓展 52
3 二次函数的图像和性质 52
学习目标 52
知识详解 52
课外拓展 57
4 二次函数的图像和性质 57
学习目标 57
知识详解 57
课外拓展 61
5 用三种方式表示二次函数 61
学习目标 61
知识详解 62
课外拓展 66
6 确定二次函数的表达式 66
学习目标 66
知识详解 66
课外拓展 72
7 二次函数与一元二次方程 72
学习目标 72
知识详解 72
课外拓展 78
8 二次函数的应用 78
学习目标 78
知识详解 78
课外拓展 82
单元总结 83
单元测试 86
第三章 投影与视图 94
本章综合解说 94
1 视点、视线与盲区 95
学习目标 95
知识详解 95
课外拓展 98
2 中心投影 98
学习目标 98
知识详解 98
课外拓展 103
3 平行投影 103
学习目标 103
知识详解 103
课外拓展 108
4 正投影 108
学习目标 108
知识详解 108
课外拓展 111
5 三视图 111
学习目标 111
知识详解 111
课外拓展 116
单元总结 117
单元测试 117
期中测试 126
期末测试 133
第一章 解直角三角形
本章综合解说
学习目标
1.理解锐角三角函数的定义，能运用相关知识解直角三角形。?
2.经历解直角三角形有关知识解决实际应用问题，提升分析问题、解决问题的能力。?
3.通过本章知识的复习，体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想在解决数学问题中的广泛应用，深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性。
内容提要
锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用。锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础。因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一。
学法指导
本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用。
研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想，因此本章还包含了数形结合的思想。
1 锐角三角函数
学习目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义。
2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。?
4.理解锐角三角函数的意义。
5.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
6.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算。
知识详解
1. 如图1，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c为斜边，则：
对于∠A来说，∠A的正弦，记作sinA= ；
∠A的余弦，记作cosA= ；
∠A的正切，记作tanA= ；
∠A的余切，记作cotA= 。
锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。
注意：（1） 锐角三角函数只有大小,没有单位；（2）锐角三角函数的值的大小仅与角的大小有关，而与他们所在的三角形的边的长度无关。
2. 同角的三角函数间的关系：
（1）平方关系：；
（2）倒数关系：tan．Cot=1；或
（3）商关系：tan=；cot=。
（4）互余两角的三角函数的关系：
sin=cos，cos=sin，
tan=cot，cot=tan。
【典型例题】
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，则表示（??）
A．sinA??
B．cosA??
C．sinB??
D．以上都不对
【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，则表示sinA。
例2：如图，tan等于（??）?
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】tanα= =
例3：sin表示的是（??）??
A．一个角??
B．一个角的度数??
C．线段的长度??
D．一个比值
【答案】D
【解析】sin表示三角函数值，是个比值。
【误区警示】
易错点1：理解锐角三角函数的定义
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ．（三边分别对应a，b，c）
【答案】
【解析】由锐角三角函数的定义可直接解答．cosA=
易错点2：锐角三角函数的值
2. 在△ABC中，∠C=90°，则sinA、cosA、tanA、cotA四个三角函数值中，有可能比1大的有（??）??
A．1个；??
B．2个；??
C．3个；??
D．4个
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，则∠A为锐角，?则sinA＜1，cosA＜1，tanA＞0，cotA＞0，?故有可能比1大的有tanA，cotA，共2个．
【综合提升】
针对训练
1. 如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）
A．
B．1
C．
D．
2. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么下列锐角三角比中与的值不相等的是（ ）
A．sinA
B．cosA
C．cosB
D．sin∠BCD
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果已知a和∠B，则b= ，c= （用锐角三角函数表示）。
1.【答案】A
【解析】过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，∴tanA= ，故选A．
2.【答案】B
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB=90°，∠ADC=∠BDC=90°．在△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴sinA=；cosA=；
∵∠A+∠B=90°，∴sinA=cosB=；
∵∠A=∠BCD=90°-∠ACD，
∴sinA=sin∠BCD=
3.【答案】a?tanB、
【解析】∵tanB=，∴b=a?tanB，∵cosB=，∴c=
【中考链接】
（2013年宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（??）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可得tan∠AOB=
课外拓展
锐角三角函数与勾股定理二者有着紧密的联系，可以说勾股定理的存在导致三角函数值的诞生，二者的结合使生活中许多几何问题能够迎而解。我们在应用三角函数的同时，也在应用着勾股定理。三角函数值是一个比值，这个比值的得出，是根据勾股定理得到直角三角形三边的数值而得到的。正是由于直角三角形的三边的数值，我们可以得到直角三角形两条直角边的比值，那么也就得到三角函数的正切和余切的值，同时我们也能得到两条直角边和斜边的比值，也就是得出三角函数的正弦和余弦的值。
2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义。
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算。
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
知识详解
1. 特殊角的三角函数值记忆法
（1）视图记忆法：如图2、图3所示：
（2）列表记忆法：特殊角的三角函数值
2. 锐角三角函数值的符号及其变化规律
（1）锐角的各三角函数值均为正值。
（2）锐角的正弦、余弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
当0°＜A＜B＜90°时，sinA＜sinB，tanA＜cotB；cosA＞cosB，cotA＞cotB。
3.求锐角三角函数值的方法
（1）用锐角三角函数的定义求（一般是已知线段长）；
（2）设参数法（一般是未知线段长时，根据条件，适当地设参数，然后再根据定义求解）；
（3）转移所求锐角（一般是所求锐角不在一个直角三角形中，或在直角三角形但不易求，此时需转移角，然后再求）；
（4）根据关系式求（主要是三角函数之间的关系）。
【典型例题】
例1：在△ABC中，若 +（cosB - )2=0，则∠C的度数是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】由题意知=0，cosB - =0，解得sinA=，cosB=，所以∠A=45°，∠B=45°，故∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°，故选C。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA= ；④tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）
【答案】②③④
【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确。
例3：sin45°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D． 1
【答案】B
【解析】sin45°=
【误区警示】
易错点1：特殊角的三角函数的计算
1. sin60°的相反数是（ ）
A．—
B．—
C．—
D．—
【答案】C
【解析】∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是－
易错点2：特殊角的三角函数的应用
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==；
∴∠A=30°
∴∠B=60°
∴sinB=
【综合提升】
针对训练
1. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（??）??
A．不变??
B．扩大5倍??
C．缩小5倍??
D．不能确定
2. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
3. 如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
(
C
B
A
图4
)
A．
B．
C．
D．
1. 【答案】A
【解析】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，?∴两三角形相似，?∴∠A的三角函数值不变。
2.【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．
3.【答案】B
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝＝．
(
C
B
A
图4
D
)
【中考链接】
（2013年重庆）计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（??）
A．?4
B．?4?
C．?5
D．?5
【答案】D
【解析】原式=6×1﹣2×=5．
课外拓展
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。
3 用计算器求锐角的三角函数值
学习目标
1.学会计算器求任意角的三角函数值。
2.熟悉计算器的用法。
知识详解
1. 求已知锐角的三角函数值
例：求sin63゜52′41″的值。（精确到0.0001）
先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以 sin63゜52′41″≈0.8979
又如：求cot70゜45′的值。（精确到0.0001）
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349 215 633.
所以 cot70゜45′≈0.3492
2. 由锐角三角函数值求锐角
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538 445 77。
再按键：
显示结果为36゜32′18.4。
所以，x≈36゜32′。
【典型例题】
例1：已知，求锐角x（精确到1′）。
【答案】设x+50°=，则cot＝0.1950
在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出D)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为78.96536044。
再按键：
，
显示结果为78°57′55″30
∴α≈78°58′，所以x+50°＝78°58′，
x＝28°58′
【解析】把x+50°看做一个整体设为，即cot ＝0.1950。根据，可以求出tan的值。再求出，最后求出锐角x
例2：四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（ ）
A．0.8857
B．0.8856
C．0.8852
D．0.8851
【答案】A
【解析】sin62°20′≈0.8857，故选A。
例3：用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（ ）
A．cotα
B．tanα
C．cosα
D．sinα
【答案】A
【解析】用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A。
【误区警示】
易错点1：用计算器求值步骤
1. 用计算器求下列三角函数（保留四位小数）：sin38°19′=
【答案】0.6193
【解析】按MODE，出现：DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：0.6193
易错点2：用科学记算器进行计算三角函数
2. 已知cotA=1.3773，用计算器求锐角A= （精确到1″）。
【答案】35°58′55″
【解析】按MODE，出现：DEG，按SHIFT，tan，（，1，÷，1.3773，）=，显示：35.98183436，按，“DEG?”，显示：35°58′55″
【综合提升】
针对训练
1.用计算器求下列三角函数（保留四位小数）：cos78°43′16″=
2. 用计算器求下列三角函数（保留四位小数）：tan57°26′=
3. 已知tanα=1.369?0，用计算器求锐角α的值，正确的按键顺序是
1.【答案】0.1956
【解析】按MODE，出现：DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：0.1956
2.【答案】1.5657
【解析】按MODE，出现：DEG，按tan，50，“．”，26，“．”，=，显示：1.5657
3.【答案】先按shift键，再按三角函数tan 键，再依次输入1.3690即可。
【解析】先按shift键，再按三角函数tan 键，再依次输入1.3690，就可以出来答案α≈53.85°。
【中考链接】
（2011年盐城）利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．0.5
B．0.707
C．0.866
D．1
【答案】A
【解析】依次按键，则计算器上显示的结果是0.5。故选A。
课外拓展
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
4 解直角三角形
学习目标
1.初步了解解直角三角形的意义。?
2.会用两边解直角三角形。
知识详解
1．在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两元素（其中至少有一条边），求出其他所有位置元素的过程，叫做解直角三角形?。
2．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当的做高，化斜三角形为直角三角形，再求解?。
3．解直角三角形的类型有两种情况：①已知两条边?②已知一条边和一个锐角。
【典型例题】
例1：已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，求b。
【答案】∵sinA==
∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
∵sinB=
∴b=c?sinB=?sin30°=
【解析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，下列条件不能解直角三角形的是（ ）
A．已知a、b或b、c
B．已知∠A、∠B
C．已知a、b
D．已知a、∠B或b、∠A
【答案】B
【解析】解直角三角形的条件是已知一边和一角，或已知两边都可，已知∠A、∠B，不能求出各边的数值，故不能解直角三角形的是B。
例3：关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直角三角形一定相似。
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5。
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解。
D．如果已知直角三角形一锐角的三角比，那么这个直角三角形的三边之比一定确定。
【答案】D
【解析】A、等腰直角三角形和含30°的直角三角形不相似，所以A选项错误；
B、若直角三角形的两边长分别是3和4，其中4为斜边时，第三边为，所以B选项错误；
C、已知直角三角形两个元素（直角除外），并且已知的是直角三角形两个锐角，那么此直角三角形不能解，所以C选项错误；
D、已知直角三角形一锐角的三角比，根据锐角函数的定义可求出这个直角三角形的三边之比，所以D选项正确。
【误区警示】
易错点1：解直角三角形的方法
1. 在Rt△ABC中，己知∠C=90°，∠B=60°，b=4．解这个直角三角形。
【答案】∵∠B=60°∴∠A=90°-60°=30°
a=b?tanA=4×tan30°=4×=
c=2a=
【解析】先根据三角形的内角和求得角A的度数，再通过三角函数即可求得a与b的值。
易错点2：解直角三角形与勾股定理的应用
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，解这个直角三角形。
【答案】∵∠C=90°，AB=2，BC=，∴AC=1，
∴sinB==，∴∠B=30°∴∠A=90°-∠A=60° 。
【解析】首先根据勾股定理推出AC的长度，然后根据AC和AB的关系即可推出∠B的度数，既而求出∠A的度数。
【综合提升】
针对训练
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，解这个直角三角形。
2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=2，解这个直角三角形．
3. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、b,若acosA=bcosB,则△ABC一定是（??? ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
1.【答案】在直角△ABC中∠B=90-∠A=60°，
∵tanA==tan30°=
∴AC==
∵sinA==
∴AC=8
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则sinA=cosB，sinB=cosA，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素。
2.【答案】在直角△ABC中∠B=90-∠A=60°，
∵tanA==tan30°=
∴a=×=2
∵sinA==
∴c=4
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则sinA=cosB，sinB=cosA，tanA=cotB，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素。
3.【答案】D
【解析】根据正弦定理以及acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°
所以△ABC为等腰或直角三角形。
【中考链接】
（2013年温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（??）?
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】sinA==
课外拓展
解直角三角形知识可以广泛的应用于测量、工程技术和物理学中，主要用来计算距离、高度和角度，解题的关键是建立实际问题的数学模型，即画出图形，找出要解的直角三角形，选择恰当的关系式，并准确把握仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义。
5 解直角三角形的应用
学习目标
1.能够把实际问题转化为数学问题，并进一步对结果的意义进行说明。?
2.经历解决实际问题的过程，体会三角函数的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。
知识详解
1. 仰角、俯角
视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图1）。
2. 坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面与水平面的夹角叫做坡角，（如图2）。
3. 方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图3中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC。
4. 方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图4中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西60°，北偏西60°。
2.解直角三角形的思路是：?
（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据。
??（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解。
3. 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下三个步骤：
（1）审题，通过图形（题目没画出图形的，可自己画出示意图），弄清已知和未知；
（2）找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；
（3）根据直角三角形元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形。
其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：
（1）将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；
（2）如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位。
【典型例题】
例1：如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任意取一点A，再在河的另一岸取两点B、C，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC长为20米，（1）求小河的宽度（使用计算器的地区，结果保留三位有效数字；不使用计算器的地区，结果保留根号）；?（2）请再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明．
【答案】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D．?在Rt△ABD中，∵∠ABC=45°，?∴BD=AD，?∵BC=20，?∴CD=BC﹣BD=20﹣AD，?在Rt△ACD中，∠ACD=30°，tan∠ACD=∴AD=CDtan∠ACD，?即AD=∴AD=≈7.32（米）．?答：小河的宽度约为7.32米；
（2）先取点A，测量得∠ABC=90°处取点B，然后取∠ACB=30°，量出BC的长度即可。
【解析】（1）做AD⊥BC与D，设公共直角边为未知数，利用特殊的角的三角函数表示出组成BC的各边，相加等于BC的长度即可求得小河的宽度；?（2）取一点A，AB⊥BC，量取∠ACB=30°，再测量BC的长，则有AB=BC?tan30°。
例2：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？?（精确到0.1海里，≈1.732）?
【答案】解：由题意，得AB=20×1=20（海里）．?直角三角形MDB中，BD=MD?cot45°=MD，?直角三角形AMD中，AD=MD?cot30°=MD．∵AB=AD﹣BD=（﹣1）MD=20，?∴MD=10（+1）≈27.3（海里）
答：货轮到达灯塔正东方向的D处时，货轮与灯塔的距离约为27.3海里。
【解析】本题中MD是直角三角形MDB和直角三角形ADM的共有直角边，那么可用MD来表示出AD和BD，再根据AB的长来求出MD。
例3：如图，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60°的方向，求河的宽度？（结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中，?∵∠ABD=60°，?∴∠CAB=60°，?
∴AC=BC?cot60°=60即河宽为60米。
【解析】在直角三角形中，利用BC的长，以及∠ABC的度数，根据三角函数即可求得AC的长。
【误区警示】
易错点1：坡度坡角问题
1. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12?m，塔影长DE=18?m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（??）
A．?24m?
B．?22m?
C．?20m?
D．?18m
【答案】A
【解析】过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．?
由题意得：∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．∴GF=BD=CD=6m．又∵∴AG=1.6×6=9.6（m）．?∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m。
易错点2：测量河的宽度
2. 为了搞好防洪工程建设，需要测量岷江河某段的宽度，如图（1），一测量员在河岸的A处测得对岸岸边的一个标记B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向行进了150米到达点C处，这时测得标记B在北偏西30°的方向。
（1）求河的宽度。（保留根号）
（2）除上述测量方案外，请你在图（2）中再设计一种测量河的宽度的方案。
【答案】如图
（1）∵∠BCE=30°，∴∠ACB=60°
又∠CAB=90°，AC=150米，∴在Rt△ABC中，，即，
答：河的宽度为。
（2）利用全等、相似等方法，正确即可。
【解析】（1）由题设可得△ABC为直角三角形，且有∠B=∠BCE=30°，且AC=150米，故可解直角三角形ABC求出AB。
（2）可用解直角三角形、全等三角形、相似三角形等性质来测量河的宽度。
【综合提升】
针对训练
1. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a．若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为（??）
A．?（﹣1，）
B．?（﹣1，）
C．?（，﹣1）
D．?（，﹣1）
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为（??）
A．
B．
C．?5
D．?6
3. 如图，一首轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西26°方向，距离灯塔120海里的点M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的点N处，那么这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是 海里每小时（精确到0.01海里）
1. 【答案】D
【解析】设它现在所在的点是A，则OA=2，做AB⊥y轴于点B，那么AB=OA×sin60°=，OB=OA×cos60°=1，∴所在位置的坐标为（，﹣1）
2. 【答案】A
【解析】连接BD，交EF与O．?∵将矩形沿EF折叠，?∴∠BOF=∠DOF=90°，?∵∠BOF=∠C，?又∵∠CBD=∠OBF，?∵△BOF∽△BCD，?则BD=10，BO=5．?∴OF：6=5：8，OF=∴EF=
3. 【答案】26.31
【解析】由题意可得，这艘轮船的航行路线图如下图所示：?已知：MP=120海里，∠MPN=26°，?由题意得，MN⊥NP，?所以，在Rt△PMN中，?MN=MP×sin∠MPN?
即MN=120×sin26°=52.62（海里）?轮船在这段时间内航行的平均速度=轮船在这段时间内航行的路程÷时间，所以，平均速度=MN÷2=26.31（海里/时）?答：这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是26.31海里每小时。
【中考链接】
（2012年深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时?刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米
B．12米
C．?（4+2）米
D．10米
【答案】A
【解析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。?作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，?∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，?∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。?∴BD=BF+EF+ED=12+2，∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，?∴在Rt△ABD中，AB=BD=
课外拓展
锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用，“不上高山，能测山高；不下湖泊，能量河宽”，正是三角函数应用的独特魅力所在。同时锐角三角函数在生活中也突出体现其基础性、普及性和发展性。在应用三角函数解决各类实际问题时，建立数学模型就是十分关键的一步，同时也是很困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。在建立数学模型中，会更有利于发挥我们的主动性、创造性，让我们能把学习知识、应用知识、探索发现更好地结合起来。
6 测量物体的高度
学习目标
1.经历设计活动方案及撰写报告的过程。?
2.能够对所得数据进行分析。?
3.能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
知识详解
1.活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度。
活动报告：
2.活动方式：分组活动，全班交流研讨。
3.活动工具：侧倾器（或经纬器、测角仪等）、皮尺等测量工具。
简易测倾器可以自己制作，用木板做一个半圆刻度盘，半径是15～20cm（90°～0°～90°），用螺钉螺母把它和一根长130cm的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直径的两端钉两个标针（如图1-5-2）。当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的。
4. 用测倾器测量倾斜角的方法
（1）把测倾器插在一点（图1-5-3），使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标针连线在水平位置；
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（2）转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处；
（3）根据同角的余角相等，可以知道，所测倾斜角即仰角∠EOB等于铅垂线与零度线间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是∠EOB的度数。
注意：（1）测倾器可用教学时用的量角器（木制的，半径为20cm）只需把指针换成一根杆，长约130cm，把刻度改为（90°～0°～90°），如图1-5-4所示。
（2）90°～0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°。
（3）测倾器的制作和使用原理是：同角的余角相等。
【典型例题】
例1：?如图1-5-7，A、B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B．现有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测有器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）。
（1）请你设计一个测量B楼高度的方法：要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形；
（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算B楼高度的表达式。
【答案】（1）如图1-5-8，设AC为A楼，BD表示B楼，测量步骤为：
①用测角器在A楼的顶端A点测量到B楼楼底的俯角α，
②用测角器在点A测量B楼楼顶的仰角β，
③用皮尺从A楼顶放下，测量点A到地面的高度为α。
（2）如图1-5-8，在Rt△ACD中，CD=a×tan∠DAC=
在Rt△AEB中，BE=AE·tanβ．∵AE=CD，∴BE= ·tanβ．
∴B楼高BD=BE＋ED=BE＋AC= ·tanβ＋a=a（1＋）
【解析】如果在A楼底端C点测仰角∠BCD，应考虑测角器的高度或身高，不能忽略。
例2：如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高为m，底面半径为2m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m。
（1）求∠B的度数；
（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度。
【答案】（1）过点D作DF⊥BC于点F，
由题意，得DF=m，EF=2m，BE=4m，
在Rt△DFB中，，所以∠B=30°
（2）过点A作AH⊥BP于点H
因为∠ACP=2∠B=60°，所以∠BAC=30°，AC=BC=8m，
在Rt△ACH中，
即光源A距水平面的高度为
【解析】本题综合考查锐角三角函数、直角三角形等知识，解答时需作出过点D和点A的BP的垂线，然后在直角三角形中利用边角关系求解。
例3：如图所示，秋千拉绳OB的长为3米，静止时，踏板到地面的距离BE长为0.6米（踏板的厚度忽略不计），小亮荡该秋千时，当秋千拉绳由OB运动到OA时，拉绳OA与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时该秋千踏板离地面的高度AD是多少米？（精确到0.1米）
【答案】如图，作AF⊥OE于F，在Rt△AFO中，∠AFO=90°，
∴OF=OA·cos∠AOF
又∵OA=OB=3，∠AOF=55°
∴OF=3·cos55°≈1.72
∴EF=3＋0.6－1.72≈1.9
∴AD=EF=1.9（米）
【解析】在Rt△OAF中，先求OF，再求AD的高度，将实际问题转化为解直角三角形的问题是解决问题的关键。
【误区警示】
易错点1：构造出直角三角形解决问题
1. 如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为，上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？
【答案】，又是锐角，，又，BE=，，。
答：坡角B为30度，坝高为3m，坝底宽为（）m。
【解析】首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知
求∠B、AE、BC，此题实质转化为解直角三角形的问题。
易错点2：将实际问题转化为数学问题
2. 如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？
【答案】根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°，AB=BC=8，作CD⊥AB于D。
∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度。
在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，（海里）
（海里）
【解析】将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题。
【综合提升】
针对训练
1. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（ ）
A．24米??????
B．20米??????
C．16米??????
D．12米
2. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30?，从C点向塔底?B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45?，则塔AB的高为（ ）
A．??????????
B．???????
C．
D．
3. 某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=（ ）
A.
B.2?????????????
C.
D.
1.【答案】D
【解析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC?tan27°。?把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。故选D。
2.【答案】D
【解析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC=3AB?和BC=AB+100求解即可求出答案：?
在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。?在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。?∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=AB，解得AB=。故选D。
3.【答案】A
【解析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，?∴PA=20。?
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，∴∠APB=90°?，BP=60×=40。∴tan∠ABP==。
【中考链接】
（2012年嘉兴）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米。
A．?asin40°?
B．?acos40°?
C．?atan40°
?D．
【答案】C
【解析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，?∴AB=atan40°。故选C。
课外拓展
测量底部可以到达的物体的高度如图1-5-5，以测量旗杆AB的高度为例，如果从测点到旗杆底部的水平距离可以直接量得，高度AB就可以测出，具体如下：
（1）工具——测倾器、卷尺。
（2）步聚：①在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α。
②量出仪器的高CD=EB=b，和测点D到旗杆的水平距离BD=CE=a。
③按照AB=atanα＋b的表达式，就可求得旗杆高．这是因为AB=AE＋EB=atanα＋b。
单元总结
【知识网络】
锐角三角函数
30°、45°、60°角的三角函数值
解直角三角形 用计算器求锐角的三角函数
解直角三角形
解直角三角形的应用
测量物体的高度
【专题综合讲解】
1. 如图1，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c为斜边，则：
对于∠A来说，∠A的正弦，记作sinA= ；
∠A的余弦，记作cosA= ；
∠A的正切，记作tanA= ；
∠A的余切，记作cotA= 。
锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。
2. 同角的三角函数间的关系：
（1）平方关系：；
（2）倒数关系：tan．Cot=1；或
（3）商关系：tan=；cot=。
（4）互余两角的三角函数的关系：
sin=cos，cos=sin，
tan=cot，cot=tan。
3.特殊角的三角函数值
4．在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两元素（其中至少有一条边），求出其他所有位置元素的过程，叫做解直角三角形?。
5．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当的做高，化斜三角形为直角三角形，再求解?。
6．解直角三角形的类型有两种情况：①已知两条边?②已知一条边和一个锐角。
7. 仰角、俯角
视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图1）。
8. 坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面与水平面的夹角叫做坡角，（如图2）。
9. 方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图3中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC。
10. 方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图4中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西60°，北偏西60°。
11.解直角三角形的思路是：?
（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据。
??（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解。
单元测试
一、选择题
1. sin30°的值等于（??）
A．?1?
B．?
C．?
D．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（??）
A．
B．
C．?
D．
3. 三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（??）?
A．
B．
C．?
D．
4. 如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（??）
A．250m?
B．?250m?
C．?m?
D．?250m
5. 如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（??）
A．?15°?
B．?20°?
C．?30°?
D．?45°
6. 计算：tan 60°+2sin 45°2cos 30°的结果是（ ）
A.2
B.
C.
D.1
7. 已知为锐角，且则等于（ ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
8. 如果∠A是锐角，且，那么∠A＝（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9. 王英从A地向北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时王英离A地有（ ）米。
A.50
B.100
C.150
D.100
10. 在正方形网格中，∠的位置如图，则sin ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11. 若∠a=60°，则∠a的余角为 ，cosa的值为 。
12. 在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=
13. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC= 米．?
14. 课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）
15. 如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=
三、解答题
16. 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）
17. 如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）
18. 在菱形ABCD中，DE⊥AB于B，DE=6，sinA=，求菱形ABCD的周长．
19. 如图，在直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．
20. 已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则cosA值是多少？
参考答案
一、
1.【答案】D
【解析】根据特殊角的三角函数值来解，sin30°=
2.【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，?则cosB=sinA=
3.【答案】A
【解析】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，?∴tanα=
4.【答案】A
【解析】由已知得，∠AOB=30°，OA=500m，则AB=OA=250m，故选A。
5.【答案】C
【解析】∵tanα=1：=∴坡角α为30°
6.【答案】C
【解析】tan 60°+2sin 45°2cos 30°= +
7.【答案】C
【解析】因为，所以 =60°，所以α=70°，故选C
8.【答案】B
【解析】因为∠是锐角且，所以，所以
9.【答案】
【解析】如图，作AE⊥BC于点E．∵ ∠EAB=30°，AB=100，∴ BE=50，AE=50．∵ BC=200，∴ CE=150．在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC=100．即此时王英离A地的距离是100米。
10.【答案】B
【解析】由题图可知=
11.【答案】30°，
【解析】∠a的余角=90°﹣60°=30°，cos60°=
12.【答案】
【解析】∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），?sinB=
13.【答案】100
【解析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，?∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米．
14.【答案】13.9
【解析】Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，?∴AB=BC?tan30°=24× =8≈13.9（米）．
15.【答案】
【解析】OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，?则sina=
16.【答案】∵BD=CE=6m，∠AEC=60°，?
∴AC=CE?tan60°=6×=6≈6×1.732≈10.4m，?∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9m，答：旗杆AB的高度是11.9米。
【解析】先根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB=AC+DE即可得出结论．
17.【答案】作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，?设CD=x，在RT△ACD中，可得AD=x，?在RT△ABD中，可得BD=x，?又∵BC=20，即x+x=20，?解得：x=10（—1）?∴AC=x≈10.3（海里）?
答：A、C之间的距离为10.3海里。
【解析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案。
18.【答案】根据题意，DE⊥AB于B，DE=6，sinA=，?所以AD==10，?又因为四边形ABCD菱形，?故周长为40．?答：菱形ABCD的周长为40。
【解析】DE⊥AB于B，DE=6，sinA=，可以得出AD的长度，又四边形ABCD菱形，故菱形ABCD的周长为4AD。
19.【答案】解：作PC⊥x轴于C．?∵tanα=，OC=3，?∴PC=4，即y=3．?则OP=5．?则sinα=
【解析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标，即y的值；再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得角α的正弦值。
20.【答案】∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，，?∴△ABC是直角三角形。
∴cosA=
【解析】根据三角形三边的长判断出三角形的形状，画出图形，再根据锐角三角函数的定义解答。
第二章 二次函数
本章综合解说
学习目标
1. 正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。
2. 理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。?
3. 了解二次函数与二次方程之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。
内容提要
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
学法指导
二次函数图象是本章的重点之一，二次函数的图象是它性质的直观体现，函数图象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法。函数图象对于了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的。
1 对函数的再认识
学习目标
1.经历探索两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。
2.复习并进一步归纳认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系。
知识详解
1.对函数了解
（1）每个问题中都有两个变化的量。
（2）当其中一个量变化时，另一个变量随之变化。
（3）每一个问题都有一个量可自由变化。
（4）当解出一个变量的值，另一个变量是否有惟一的值与之对应。
（5）每一个变量的值是否可以任意选取。
2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x、y ，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。
3. 函数的概念由三句话组成：“两个变量”“x的每一个值”“y有惟一确定的值”（2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有惟一确定的值和它对应。否则就不存在函数关系。（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4. 对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时的函数的值，简称函数值。如对于函数y=3x+7，16就是当x=3时的函数值。
5.用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析式，函数还可以用表格和图像表示，分别称为列表法和图像法。
6.函数自变量的取值范围，应使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义。
【典型例题】
例1：函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x≥3
C．x＞3
D．x≤3
【答案】B
【解析】有意义的条件是：x-3≥0．∴x≥3
例2：2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①离家至轻轨站，y由0缓慢增加；②在轻轨站等一会，y不变；③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加；④观看比赛，y不变；⑤乘车回家，y快速减小．结合选项可判断A选项的函数图象符合童童的行程。
例3：万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回万州．若该轮船从万州出发后所用的时间为x（小时），轮船距万州的距离为y（千米），则下列各图形中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分三段考虑，①逆水行驶，y随x的增大而缓慢增大；②静止不动，y随x的增加，不变；③顺水行驶，y随x的增减快速减小．结合图象，可得C选项正确。
【误区警示】
易错点1：函数关系式
1. 下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示这种关系的函数关系式为（ ）
y 50 80 100 150
x 30 45 55 80
A．y=
B．y=2x-10
C．y=x+25
D．y=x+5
【答案】B
【解析】根据题意，设函数关系式为y=kx+b，
则，解得，
所以，y与x的函数关系式为y=2x-10
易错点2：函数自变量的取值范围
2. 函数y=+3中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x≥1
C．x≤1
D．x≠1
【答案】B
【解析】根据题意得，x-1≥0，解得x≥1
【综合提升】
针对训练
1. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x≥1
C．x＞-2
D．x≥-2
2. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0
B．x＞2
C．x≥2
D．x≠2
3. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3
B．x＜3
C．x≠3
D．x≠-3
1.【答案】A
【解析】根据题意得：x-1＞0，解得：x＞1。
2.【答案】D
【解析】根据题意得，x-2≠0，解得x≠2。
3.【答案】C
【解析】根据题意得，3-x≠0，解得x≠3。
【中考链接】
（2014年娄底）函数y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0
B．x≥-2
C．x≥2
D．x≤-2
【答案】C
【解析】根据题意，得x-2≥0，解得x≥2。
课外拓展
自变量一词来自数学。在数学中，y=f（x）。在这一方程中自变量是x，因变量是y。将这个方程运用到心理学的研究中，自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量和类别变量之分。如果实验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实验。如实验者操纵的自变量是类别变量，则实验是因素型的。在心理学实验中，一个明显的问题是要有一个有机体作为被试对刺激作反应。显然，这里刺激变量就是自变量。
2 二次函数
学习目标
1. 能够表示简单变量之间的二次函数关系。能利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。
2.理解二次函数概念。
知识详解
1. 定义：一般地，解析式形如（a，b，c是常数，a0），那么y叫做x的一元二次函数。
x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2.二次函数的形式
一般形式：（a，b，c是常数，a0）
特殊形式：（1）?y=a????（a≠0，但是b＝c＝0）
（2）?y=a＋bx? （a≠0，且b?≠0，而c＝0）
（3）?y=a＋c?? （a≠0，且c?≠0，而b＝0）
【典型例题】
例1：下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x+1
B．y=-2x+1
C．y=+2
D．y=x-2
【答案】C
【解析】A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y=-2x+1，是一次函数，故此选项错误；
C、y=+2是二次函数，故此选项正确；
D、y=x-2，是一次函数，故此选项错误。
例2：函数y=3+x-4是（ ）
A．一次函数
B．二次函数
C．正比例函数
D．反比例函数
【答案】B
【解析】因为二次项的系数是3≠0，所以是二次函数．故选B
例3：已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是???（ ）
A.有最小值0，有最大值3?
B.有最小值﹣1，有最大值0??
C.有最小值﹣1，有最大值3??
D.有最小值﹣1，无最大值
【答案】C
【解析】由函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即可求得函数的最值：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3。故选C。
【误区警示】
易错点1：二次函数的形式
1. 下列函数关系中，不可以看作二次函数（a0）模型的是（??）??
A.圆的半径和其面积变化关系??
B.我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系??
C.掷铅球水平距离与高度的关系??
D.面积一定的三角板底边与高的关系
【答案】D
【解析】A.圆的半径和其面积变化关系式为：，正确；?
B.我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系式为：?
，符合二次函数的定义，正确；?
C.因为掷铅球投掷的过程形成的是抛物线，所以其关系式应为（a0），正确；?
D.面积一定的三角板底边与高的关系是反比例函数关系，错误。
易错点2：二次函数的定义
2. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（??）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A.未知数的最高次数不是2，故本选项错误；?
B.二次项系数a=0时，不是二次函数，故本选项错误；?
C.∵=—14x﹣49，即y=﹣14x﹣49，没有二次项，故本选项错误；?
D.由原方程得，，符合二次函数的定义，故本选项正确。
【综合提升】
针对训练
1. 二次函数的二次项系数与常数项的和是（??）??
A.1??
B.﹣1??
C.7??
D.﹣6?
2. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（??）??
A.y=2a（x﹣1）??
B.y=2a（1﹣x）??
C.y=a（1﹣）??
D.y=a
3. 如果函数是二次函数，那么k的值一定是
1. 【答案】B
【解析】二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1．故选B。
2. 【答案】D
【解析】由题意第二次降价后的价格是a．?则函数解析式是y=a。
3. 【答案】0
【解析】根据二次函数的定义，得：
=2解得k=0或k=3；?又∵k﹣3≠0，?∴k≠3．?∴当k=0时，这个函数是二次函数。
【中考链接】
（2013年镇江）二次函数y=﹣4x+5的最小值是（??）???
A．?﹣1?
B．?1?
C．?3?
D．?5?
【答案】B
【解析】配方得：y=﹣4x+5=﹣4x++1=+1，?当x=2时，二次函数y=﹣4x+5取得最小值为1．
课外拓展
二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型；生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
3 二次函数的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画出二次函数的图象，能根据图象观察、分析出二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。
2.了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
知识详解
1.如图2-4，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的交点，它是图像的最低点。
2. 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像?
（1）列表：以O为中心，均匀地选取一些便于计算的x的值，计算出函数y的对应值，列出函数的对应值表；?
（2）描点：把每对的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内，描出相应的点。?
（3）连线：自变量的取值按由小到大的顺序，用平滑的曲线联结各点，就得到函数的图像。?
注意：一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析。
3. 二次函数图像的性质
（1）二次函数的图像是一条抛物线，它关于y轴即x=0对称；它的顶点坐标是（0,0）。?
（2）a>0，抛物线开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点。?
（3）a<0时，抛物线开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点。
【典型例题】
例1：若y=（a2+a）xa2?2a?1是二次函数，那么（ ）
A．a=-1或a=3
B．a≠-1且a≠0
C．a=-1
D．a=3
【答案】D
【解析】根据题意，得：a2-2a-1=2解得a=3或-1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠-1所以a=3
例2：已知y＝mxm2+3m+2是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或-3
B．0或3
C．0
D．-3
【答案】D
【解析】依题意有：m2+3m+2=2，且m≠0，解得m=-3
例3：函数y=ax-2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵在y=ax-2，∴b=-2，∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，∵①当a＞0时，∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，∵②当a＜0时，∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限
【误区警示】
易错点1：函数图像
1. 在下列四个函数的图象中，函数y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知：①图象A函数值具有对称性．在对称轴的右侧y的值随x值的增大而增大，错误；②B的增减性需要限定在各个象限内，错误；③C图象是函数y的值随x值的增大而增大，正确；④D的图象是函数y的值随x值的增大而减小，错误。
易错点2：函数性质
2. 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A．
B．y=x-1
C．
D．
【答案】D
【解析】A、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；
B、一次函数y=x-1的图象，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
C、正比例函数的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
D、反比例函数中的1＞0，所以y随x的增大而减小； 故本选项正确。
【综合提升】
针对训练
1. 下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
2. 二次函数y=2x（x-3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2
B．-2
C．-1
D．-4
3. 已知函数：①y=3x-1；②y=3x2-1；③y=3x3+2x2；④y=2x2-2x+1，其中二次函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
1.【答案】D
【解析】A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；
D、，是二次函数，正确。
2.【答案】D
【解析】y=2x（x-3）=2x2-6x．所以二次项系数与一次项系数的和=2+（-6）=-4
3.【答案】B
【解析】①y=3x-1为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=3x3+2x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
故是二次函数的有2个
【中考链接】
（2014年宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，错误。
课外拓展
坐标的思想是法国数学家笛卡尔，也是一名哲学家，所创立的。有一天，笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。
4 二次函数的图像和性质
学习目标
1. 经历描点法画函数图像的过程,?学会观察、归纳、概括函数图像的特征。
2. 掌握型二次函数图像的特征。
知识详解
1. 二次函数图像的性质
（1）抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，k）。
（2）与的图像形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到。
（3）把的图像向上或向下平移c个单位，即得到的图像。k>0时，沿y轴向上平移；k<0，沿y轴向下平移。
2. 二次函数的图像?
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线x=，顶点坐标是（，）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点抛
物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且），都可以运用配
方法，把它的解析式化为的形式。
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式。
3. 二次函数图像的画法?
（1）描点法?
其步骤如下：?
①把二次函数化成的形式?
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标?
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。
（2）平移法?其步骤如下：?
①利用配方法把二次函数化成确定顶点（h，k）；?
②作出的图像?
③将抛物线的图像平移，使其顶点平移到（h，k）?
【典型例题】
例1：周长是4m的矩形，它的面积S（）与一边长x（m）的函数图象大致是（??）
【答案】D
【解析】∵S=x（2﹣x）?=+1（0＜x＜2）．?∴顶点坐标（1，1）开口向下。
例2：己知二次函数，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（??）?
?A、＞0??
B、=0?
?C、＜0??
D、≤0?
【答案】A
【解析】∵a＜0，?∴抛物线的开口向下．?∵a﹣b+c＞0，?
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，画草图得：抛物线与x轴有两个交点，?∴＞0。
例3：二次函数y=的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（??）?
A．?y=+3?
B．?y=﹣3?
C．?y=
D．?y=
【答案】D
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（3，0）．?
可设新抛物线的解析式为：y=+k，?代入得：y=。
【误区警示】
易错点1：二次函数的性质
1. 已知抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定是（??）?
?A、1??
B、2??
C、﹣2??
D、2或﹣2
【答案】D
【解析】抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，?则△=0，解得b=±2．故选D。
易错点2：二次函数图象
2. 把抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为y=﹣3x+5，则有（??）??
A、b=3，c=7??
B、b=﹣9，c=25??
C、b=3，c=3??
D、b=﹣9，c=21
【答案】
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，把y=﹣3x+5的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得抛物线的图象。
【综合提升】
针对训练
1. 已知一抛物线和的图象形状相同，对称轴平行于y轴，且顶点坐标为（﹣1，3），则它所对应的函数关系式为
2. 已知二次函数的图象如图所示，则当y＜0时，对应x的取值范围
是
3. 已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：
1. 【答案】
【解析】已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），可设此抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+h（a≠0），由于抛物线和的图象形状相同，因此a=±2．即抛物线的解析式为
2. 【答案】﹣4＜x＜2
【解析】观察图象可知，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），?∴当y＜0时，x的取值范围正好在两交点之间，即﹣4＜x＜2。
3. 【答案】（答案不唯一）。
【解析】已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交．因而二次项系数小于0，顶点在y轴的正半轴的二次函数就满足条件。
【中考链接】
（2013年昭通）已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（??）
A．?a＞0?
B．?3是方程的一个根???
C．?a+b+c=0?
D．?当x＜1时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；?
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程的一个根，故此选项正确；?
C、把x=1代入二次函数（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；?D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误。
课外拓展
函数图象之起源
函数观念古代早已有之，而函数概念则是由17世纪德国著名数学家莱布尼茨提出的。起初，人们研究函数，只是对着函数解析式反反复复地算来算去。后来，法国著名数学家笛卡儿引入了平面直角坐标系，该坐标系由两个数轴组成。两个数轴互相垂直，原点重合，单位长度相等。习惯上把铅直的数轴称为y轴，水平的数轴称为x轴，y轴的上方为正方向，x轴的右方为正方向。从此，平面上的每一个点都可以用平面直角坐标系的坐标表示。??????????直角坐标系引入后，人们发现，直角坐标系用有序数对表示点，而有序数对中的两个数恰恰可以用函数中的两个变量表示。这是数学史上的伟大创举!?
?????????此后，人们就知道，函数可以通过坐标系转化成图形，从而直观地研究。数和形是数学的两大根基，以前毫不相干，正是坐标系的出现，把作为“数”的函数转化为作为“形”的图象，从此数学发展更蓬勃。令数有了几何意义，是很多高等数学的思想，如微积分中，导数的几何意义就是某函数的图象在一点上的切线的斜率。
5 用三种方式表示二次函数
学习目标
1. 通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2. 通过实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
知识详解
1.函数的表示方式
解析法—用表达式表示函数，用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示两个变量之间的函数关系的方式叫做表达式法，这个等式叫做函数的表达式。
列表法—用表格表示函数，把自变量x的一系列值及其对应的函数值y，列成一个表格来表示二者之间的关系的方法叫做表格法。
图象法—用图象表示函数，把一个函数的自变量x和函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点所组成的图形就是这个函数的图像，用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
2.比较三种方式的优缺点
【典型例题】
例1：已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b
B．a＜b
C．a=b
D．不能确定
【答案】A
【解析】∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，∴a＞b。
例2：已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值-5、最大值0
B．有最小值-3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
【答案】B
【解析】由二次函数的图象可知，∵-5≤x≤0，∴当x=-2时函数有最大值，y最大=6；当x=-5时函数值最小，y最小=-3
例3：已知抛物线y=2x2-4x-1，下列说法中正确的是（ ）
A．当x=1时，函数取得最小值y=3
B．当x=-1时，函数取得最小值y=3
C．当x=1时，函数取得最小值y=-3
D．当x=-1时，函数取得最小值y=-3
【答案】C
【解析】二次函数y=2x2-4x-1可化为y=2（x-1）2-3，故当x=1时，函数取得最小值y=-3
【误区警示】
易错点1：二次函数的最值问题
1. 下列为四个二次函数的图形，哪一个函数在x=2时有最大值3（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A、由图形可知，函数在x=2时有最大值3；B、由图形可知，函数在x=2时有最小值3；C、由图形可知，函数在x=0时有最大值大于3；D、由图形可知，函数在x=0时有最小值小于3．
易错点2：二次函数的图像
2. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限，a＞0，与二次函数开口向下，即a＜0相矛盾，错误；
B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限，a＜0，与二次函数开口向上，a＞0相矛盾，错误；
C、y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），故此二次函数与x轴的两个交点为（-，0），（-1，0），一次函数y=ax+c与x轴的交点为（-，0），故两函数在x轴上有交点，错误；排除A、B、C。
【综合提升】
针对训练
1. 二次函数y=2x2+4x+3的图象的（ ）
A．最高点在（-1，1）
B．最高点在（1，-1）
C．最低点在（-1，1）
D．最低点在（1，-1）
2. 若二次函数y=x2+ax+5图象关于直线x=-2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围应是（ ）
A．-4≤m≤-2
B．m≤-2
C．-4≤m＜0
D．-2≤m＜0
3. 如果二次函数y=x2-2x+m的最小值为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1
B．m＞1
C．m≤1
D．m≥1
1.【答案】C
【解析】y=2x2+4x+3=2（x2+2x+1-1）+3=2（x+1）2+1，∵a=2＞0，∴抛物线开口向上，抛物线有最底点，即最底点坐标为（-1，1）
2.【答案】C
【解析】∵x=0时，y=5，∴y的最大值5可能是x=0时的函数值，
∴≥-2，解得m≥-4，∴m的取值范围应是-4≤m＜0
3.【答案】A
【解析】∵y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴最小值为m-1，∵二次函数y=x2-2x+m的最小值为负数，∴m-1＜0，解得：m＜1
【中考链接】
（2013年徐州）二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
则该函数图象的顶点坐标为（??）???
A．?（﹣3，﹣3）?
B．?（﹣2，﹣2）?
C．?（﹣1，﹣3）?
D．?（0，﹣6）
【答案】B
【解析】∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，?∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，?∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）。
课外拓展
没有捷径可以走
古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。
闲着没事的多禄米，有一天忽然心血来潮想学一点儿什么东西。当时，阿基米德已是一位十分著名的科学家了。多禄米决定把阿基米德请来，拜他为师，学习一点几何知识。
接到国王召见，阿基米德不敢怠慢，急忙来到了皇宫。这里金碧辉煌，白玉大理石铺成的透明地板，水晶珍珠般的吊灯，雕龙刻虎的梁柱，把整座宫殿装扮得格外豪华、漂亮，阿基米德一边欣赏着宫殿中的装饰，心中一边想，这些宏伟的建筑中不知凝结了多少科学家和劳动人民的智慧和心血，尤其是那些精巧、别致的设计，无不反映出建造者们在数学、特别是几何学方面很深的造诣。
从此以后，阿基米德就当上了国王的私人数学教师。刚开始上几何课时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲几何学内容都很浅显，但对于不爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情绪。
对国王情绪的变化，阿基米德看到眼里，记在心中。他仍然一如既往的认真讲课。他细心而又耐心的各多禄米讲解着各种几何的图形、原理以及计算方法，可是多禄米毫无兴趣，有点昏昏欲睡了。阿基米德来到多禄米的身边，用手推推他。这位国王勉强睁开惺忪的睡眼，没等阿基米德说话，他反而先问：“请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。”听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的乡村小道，一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途，请问陛下走的是哪一条道路呢？”“当然是皇家的坦途呀！”多禄米回答得十分干脆，但又感到茫然不解。
阿基米德继续说：“不错，您当然是走皇家的坦途，但那是因为您是国王的缘故。可现在，您是一名学生，要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓，也无论是老师还是学生，大家只能走同一条路。因为，走向学问是没有什么皇家大道的。”阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个道理：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁的。
6 确定二次函数的表达式
学习目标
1. 能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式。
2. 经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法。
知识详解
1.待定系数法
先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
2.二次函数的三种形式
（1）一般式：（a、b、c为常数，a≠0），已知抛物线上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）两点式：（a、、为常数，a≠0），已知抛物线与x轴交点的横坐标、，通常选用交点式。
说明：
（1）要确定二次函数的表达式，就是确定表达式的待定系数（常数），由于二次函数的表达式的每一种形式中都含有三个未知数，所以必须已知三个独立条件，才能确定二次函数的表达式。
（2）在求二次函数表达式时，可根据以下情况求解：已知二次函数图象过三点，求解析式，可以设一般式；已知二次函数图象的顶点和另一点，求解析式，可以设顶点式；已知图像与X轴的两个点，求解析式，可以设两点式。
【典型例题】
例1：若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为（ ）
A．5
B．-3
C．-13
D．-27
【答案】D
【解析】法一：设二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k，
∵当x=-4或-2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=-3，k=5，
∴y=a（x+3）2+5，
把（-2，3）代入得，a=-2，
∴二次函数的解析式为y=-2（x+3）2+5，
当x=1时，y=-27．
法二：根据图表可得：对称轴x=-3，
∴横坐标为1的对称点与横坐标为为-7的点对称，
∴当x=1时，y=-27
例2：若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（ ）
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A．y=x2-4x+3
B．y=x2-3x+4
C．y=x2-3x+3
D．y=x2-4x+8
【答案】A
【解析】将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1，
将（-1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：解得
∴函数解析式是：y=x2-4x+3
例3：已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=x2-2x+3
B．y=x2-2x-3
C．y=x2+2x-3
D．y=x2+2x+3
【答案】B
【解析】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），
所以解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3
【误区警示】
易错点1：抛物线经过的三点求函数的表达式
1. 如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=x2-x+2
B．y=x2+x+2
C．y=-x2-x+2
D．y=-x2+x+2
【答案】D
【解析】根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），
所以
解得a=-1，b=1，c=2，
这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2
易错点2：顶点式
2. 若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y=-x2+2x-5
B．y=ax2-2ax+a-3（a＞0）
C．y=-2x2-4x-5
D．y=ax2-2ax+a-3（a＜0）
【答案】D
【解析】抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下。
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确。
【综合提升】
针对训练
1. 已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2x2+x+2
B．y=x2+3x+2
C．y=x2-2x+3
D．y=x2-3x+2
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（-2，-2），且过点
B（0，2），则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=x2+2
B．y=（x-2）2+2
C．y=（x-2）2-2
D．y=（x+2）2-2
3. 如图，已知抛物线l1：y=（x-2）2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（ ）
A．y=（x-2）2+4
B．y=（x-2）2+3
C．y=（x-2）2+2
D．y=（x-2）2+1
1.【答案】D
【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得所以该函数的解析式是y=x2-3x+2
2.【答案】D
【解析】设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2-2，将（0，2）代入得
2=a（0+2）2-2
解得：a=1
故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2-2
3.【答案】C
【解析】连接BC，
∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，
∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；
∵抛物线l1的解析式是y=（x-2）2-2，
∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，
∴OA=4；
∴OA?AB=16，
∴AB=4；
∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，
∴l2的解析式为：y=（x-2）2-2+4，即y=（x-2）2+2
【中考链接】
（2014年淄博）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）．它与反比例函数y=-的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2-x-2
B．y=x2-x+2
C．y=x2+x-2
D．y=x2+x+2
【答案】A
【解析】将A（m，4）代入反比例解析式得：4=-，即m=-2，
∴A（-2，4），将A（-2，4），B（0，-2）代入二次函数解析式得：
解得：b=-1，c=-2，则二次函数解析式为y=x2-x-2。
课外拓展
抛物线是平面内到一个定点（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
7 二次函数与一元二次方程
学习目标
1. 能够利用前面所学知识熟练求解函数的解析式。
2. 能够理解抛物线图像与x轴交点个数的判断方法与相应一元二次方程解个数的关系。
知识详解
1.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线的交点为（0, ）。
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（,）。
2.抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离，
3. 平行于轴的直线与抛物线的交点
抛物线与轴的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点．当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
4. 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
5. 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
【典型例题】
例1：已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1
B．x1=1，x2=2
C．x1=1，x2=0
D．x1=1，x2=3
【答案】B
【解析】∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x=。
又∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2
例2：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A．ac＞0
B．方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
C．2a﹣b=0
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；
C、∵抛物线对称轴为x==1，∴2a+b=0，故本选项错误；
D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误。
例3：已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（ ）
A．abc＜0
B．c＞0
C．4a＞c
D．a+b+c＞0
【答案】A
【解析】∵4a﹣b=0，∴抛物线的对称轴为x==﹣2
∵a﹣b+c＞0，
∴当x=﹣1时，y＞0∵抛物线与x轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于2，
∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标位于﹣3与﹣1之间，b2﹣4ac＞0
∴16a2﹣4ac=4a（4a﹣c）＞0
据条件得图象：
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，4a﹣c＞0，
∴4a＞c
当x=1时，y=a+b+c＞0
故选A
【误区警示】
易错点1：抛物线与x轴的交点
1. 抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（ ）
A．a＜0，b2﹣4ac＜0
B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＜0
D．a＞0，b2﹣4ac＞0
【答案】A
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，
∴由二次函数图象与系数关系知a＜0，且与x轴没有交点，即所对应二次方程没有解，
∴△=b2﹣4ac＜0，故选A。
易错点2：图象法求一元二次方程的近似根
2. 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．
故选C。
【综合提升】
针对训练
1. 根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．8＜x＜9
B．9＜x＜10
C．10＜x＜11
D．11＜x＜12
2. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ ）
A．﹣1.6
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
3. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ②a>0 ③b>o ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的是 （