3.2一元二次不等式共19张PPT

(共19张PPT)
1.3.6
一元二次不等式
【学习目标】
1．通过二次函数的图象理解二次函数、一元二次方程及一
元二次不等式的关系．
2．能解一元二次不等式．
练习1：不等式2x2－3x－2＞0的解集是_________________．
练习2：不等式4x2－4x＋1＞0的解集是_________________．
练习3：不等式4x2＋4x＋1＜0的解集是_________________．
练习4：不等式x2－3x＋5＞0的解集是__________________．
练习5：不等式－3x2＋6x＞2的解集是__________________．
练习6：不等式－x2＋2x－3＞0的解集是________________．
?
R
?
【问题探究】
已知二次函数 y＝x2－2x－3，当自变量 x 为何值时，函数

值 y＝0？当自变量 x 在什么范围时，函数值 y>0？当自变量 x

在什么范围时，函数值 y<0？进一步思考二次函数 y＝x2－2x－

3 、一元二次方程 x2 －2x －3 ＝0 及一元二次不等式 x2 －2x －

3>0(<0)的内在联系．
答案：当 x＝－1 或 x＝3 时，y＝0；当 x>3 或 x<－1 时，

y>0；当－1
于二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与 x 轴交点的横坐标的集合．

一元二次不等式 x2－2x－3>0 的解相当于二次函数 y＝x2－2x－

3 的图象在 x 轴上方的横坐标的集合．
题型 1
一元二次不等式的解法
【例 1 】 (1)(2013 年广东) 不等式 x2 ＋x －2<0 的解集为


__________．


解析：x2＋x－2<0?(x＋2)(x－1)<0?－2

解集为{x|－2

答案：{x|－2 答案：{x|x>1 或 x<0}


解一元二次不等式的步骤：①先对不等式变


形，使不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②计算相


应的判别式；③求出相应方程的根，或者判定相应的方程无根；


④结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
【变式与拓展】
(－3,2)
解析：由函数解析式，可知：6－x－x2>0，即 x2＋x－6<0，


故－3题型 2
含参数的一元二次不等式
【例 2】 解关于 x 的一元二次不等式 x2－(3＋a)x＋3a>0.


思维突破：比较根的大小确定解集．


解：∵x2－(3＋a)x＋3a>0，∴(x－3)(x－a)>0.


①当 a<3 时，x3，不等式的解集为{x|x3};


②当 a＝3 时，不等式为(x－3)2>0，解集为{x|x∈R，且 x≠3}；


③当 a>3 时，x<3 或 x>a，不等式的解集为{x|x<3 或 x>a}．
解含参数的有理不等式时，一般分以下几种情
况进行讨论：
①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；


②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；


③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1【变式与拓展】

2．解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：原不等式可以化为(ax－1)(x－1)<0.
①当 a＝0 时，x>1；
题型 3
一元二次不等式的应用
(1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，求实数 a 的取


值范围；


(2)若对任意 a∈[－1,1]，f(x)>4 恒成立，求实数 x 的取值范围．
解：(1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，
即
x2＋2x＋a
x
>0，x∈[1，＋∞)恒成立，
亦即 x2＋2x＋a>0，x∈[1，＋∞)恒成立，


即 a>－x2－2x，x∈[1，＋∞)恒成立，


即 a>(－x2－2x)max，x∈[1，＋∞)．


而(－x2－2x)max＝－3，x∈[1，＋∞)，∴a>－3.


∴对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，实数 a 的取值范围


为{a|a>－3}．
(2)∵当 a∈[－1,1]时，f(x)>4 恒成立，
∴x2－2x＋a>0 对 a∈[－1,1]恒成立．

把 g(a)＝a＋(x2－2x)看成 a 的一次函数，

则使 g(a)>0 对 a∈[－1,1]恒成立的条件是
在含有多个变量的数学问题中，选准“主元”


往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，使函数关


系更加清晰明确．一般地，以已知存在范围的量为变量，而待


求范围的量为参数．如在(1)中，x 为变量(关于 x 的二次函数)，


a 为参数；在(2)中，a 为变量(关于 a 的一次函数)，x 为参数．
【变式与拓展】
a＋b 的值是(
)
D
A．10
B．－10
C．14
D．－14


易错分析：在求函数单调性的过程中，虽然注意到复合函

数单调性的研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数

的定义域内进行讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题

的错误．
答案：[－5，－2]
[方法·规律·小结]
1．当 a＞0 时，一元二次不等式 ax2 ＋bx＋c＞0 与 ax2 ＋
bx＋c＜0 的解集，可归纳为以下几种情况：
①若Δ＞0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点，


即方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1＜x2)，那


么不等式 ax2 ＋bx＋c＞0 的解集是{x|x＜x1 或 x＞x2}，不等式


ax2＋bx＋c＜0 的解集是{x|x1＜x＜x2}．

③若Δ＜0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点，即方

程 ax2＋bx＋c＝0 无实数根．那么不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集

是 R，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是?.

2．若 a＜0，可以先将二次项系数化成正数，对照上述①

②③情况求解即可．