江苏省南通市通州区2019~2020学年第一学期期中考试高一数学试题（含答案）

2019～2020学年第一学期期中考试
高一数学试题
注　意　事　项
1．本试卷包含选择题（共10题）、填空题（共6题）、解答题（共6题），满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人相符。
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2． 函数的定义域为（ ▲ ）
A． B． C． D．
3． 已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ▲ ）
A． B． C．2 D．16
4． 下列函数中，值域为的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
5． 已知函数的图象如图，则（ ▲ ）
A．－6 B．－8 C．6 D．8
6． 二次函数在上最大值为3，则实数＝（ ▲ ）
A． B． C．2 D．2或
7． 已知函数，若，则（ ▲ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b
8． 已知函数满足，则的值是（ ▲ ）
A．4 B．8 C．10 D． 4或10
9． 函数的单调递增区间为（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在R上的奇函数，当时，，若对任意实数x有成立，则正数的取值范围为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
11．计算： ▲ ．
12．已知，则 ▲ ．
13．已知函数是R上的奇函数，且当x＜0时，
则当x＞0时 ▲ ．
14．正数满足，则的值为 ▲ ．
15．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有 ▲ 个．
16．已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，．
（1）求集合B；
（2）若，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数．
（1）求a的值，并证明是R上的增函数；
（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若时，，求的值；
（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．
20．（本小题满分12分）
设函数，．
（1）求的值；
（2）求函数，的最大值．
21．（本小题满分12分）
某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数随时刻(时)变化的规律满足表达式，，其中为空气治理调节参数，且．
（1）令，求的取值范围；
（2）若规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数的最小值为0．
（1）求实数的值；
（2）函数有6个不同零点，求实数k的取值范围．
2019～2020学年第一学期期中考试
高一数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．B；2．C；3．D；4．A；5．D 6．B；7．A；8．C；9．A；10．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
11．0；12．6；13． ；14．；15．120；16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，.
（1）求集合B；
（2）若，求实数a的取值范围．
【解】（1）因为，所以，所以，
所以． ……………4分
（2）因为，所以， ……………6分
因为A＝{x|a≤x≤a＋2}．
所以 ……………8分
所以0≤a≤1，所以实数a的取值范围为. ……………10分
18．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数．
（1）求a的值，并证明是R上的增函数；
（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．
【解】（1）因为定义在R上的奇函数，所以，得.
此时，，
，所以是奇函数，
所以． ……………………2分
任取R，且，则，因为
所以，
所以是R上的增函数. ……………6分
（2）因为为奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，
所以的解集非空， ……………8分
又在R上单调递增，
所以的解集非空，
即在R上有解， ……………10分
所以得. ……………12分
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若时，，求的值；
（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．
【解】（1）因为，所以
所以， ………………………………2分
所以或，
因为，所以．………………………………4分
（2），在上单调递减，
因为函数的定义域与值域均为，
所以，两式相减得不合，舍去．…………6分
，在上单调递增，
因为函数的定义域与值域均为，
所以，无实数解. …………………………8分
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．…………10分
因为函数的定义域与值域均为，
所以，．
综合所述，，． …………………………12分
20．（本小题满分12分）
设函数，．
（1）求的值；
（2）求函数，的最大值．
【解】（1）因为，，
所以，……………2分
所以，所以，
因为，所以． ……………4分
（2），
记，
则，……………6分
当时,， ……………8分
当时,2，……………10分
综上所述：……………12分
21．（本小题满分12分）
某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数随时刻(时)变化的规律满足表达式，，其中为空气治理调节参数，且．
（1）令，求的取值范围；
（2）若规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数的取值范围．
【解】（1）因为，所以．……………4分
（2）因为
所以在上单调递减，在单调递增. ……………6分
所以 ……8分
所以得． ……………12分
22．（本小题满分12分）
已知函数的最小值为0．
（1）求实数的值；
（2）函数有6个不同零点，求实数k的取值范围．
【解】（1）当时，f(x)在上单调递增，所以f(x)没有最小值，不合题意；
当时，在上任意上任取且,
则 ，
当时,
在是减函数；
当时,
在是增函数． ………4分
（未证明单调性直接利用单调性得2分）
所以． ……………6分
（2）令，则在是减函数，在是增函数，
则有个不同根，得有个不同根，
一根， 另一根， ……………8分
记，
则得.……………12分