七 数学百花园 ——铁链的长度 教案3
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七 数学百花园 ——铁链的长度 教案
教学目标?
1.在数学活动过程中，发展学生学习数学的兴趣，在探索中发现、总结规律，应用规律解决“10个圆环的铁链长度”的问题，应用不完全归纳法，尝试用符号构建模型，解决这一类问题。?
2.经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力和借助几何直观探索规律的能力。?
3.引导学生回顾解决问题的过程和方法，帮助学生积累数学活动经验和化繁为简的数学思想方法，为今后的数学学习奠定基础。?
学情分析??
学生认识圆，能正确指出圆的直径，并且知道直径是圆内最长的线段。在以前的数学学习中，学生已经积累一定的探索规律的方法、能力以及借助几何直观探究解决问题的经验。??
教学重点：借助几何直观探索规律，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力，积累数学活动经验和化繁为简的思想方法。?
教学难点：理解探索规律中所运用的分析、推理、归纳的方法。?
教学过程?
一、联系实际，导入新课?
1.课件出示一组实物图片，引生观察：这些物体的共同特征是什么？?
2.师：在生活中你见过这样的铁链吗?（板书：铁链）用我们数学的眼光来审视这一条条的铁链,有值得我们研究的数学问题吗?你能提出一个吗??
预设：铁链有多重？铁链有多长？?
3.师：同学们都很善于发现问题，今天这节课我们就来研究其中一个问题：铁链的长度(板书：的长度)?
【联系生活实际引入课题，使学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。】?
二、出示题目，理解信息
1．揭示研究内容?
出示铁链图，师：这条铁链由10个圆环连接而成，要知道它的长度，你有什么好办法？?
预设：①量一量。（真直观）?
②知道一个圆环的长度，求10个的。?
2.认识外直径、内直径、圆环厚度?
师：好，那老师就给你一些信息。（出示图：内直径8厘米，外直径10厘米的圆环。）看懂了吗？你知道了什么？?
（内直径8厘米，外直径10厘米。）?
师：内直径和外直径到底是怎么回事呀？圆环放大（课件出示），谁来指一指标一标？（指名标）?
除了内直径外直径，你还能知道什么？?
预设：圆环的厚度1厘米?
师：10减8不是2吗？为什么是1啊?3.估算?
师：刚才有的同学说要想求10个圆环连成的铁链的长度，得知道一个圆环的长度。那么一个圆环长多少啊？我们来记录一下。（板书）?
那现在你知道10个圆环连成的铁链的长度了吗？?我认为是100厘米，同意吗？理由？?
预设：不是100厘米，因为这样只是一个挨一个地摆着，没有连在一起，不是铁链。一拿就散了。(引生用手演示)?
师：我很高兴，你们有这样的反思精神，正是反思，让我们避免了错误。?
师：估计一下，这条铁链的长度比100长一些，还是短一些？为什么？?生：短一些。因为连接在一起的部分重合了。?
【设计意图：在解决实际问题的过程中，估算即是一种检验方法，帮助学生规避错误；也是实际经验和空间感觉的培养。】?
三、借助几何直观，探究2个圆环的铁链长度
?1．自主选择研究材料
师：这条铁链的长度到底是多少呢？我们就来一起研究好不好？要研究“这条铁链的长度”，你们需要什么研究材料？?
预设：实物、图片?
师：除了这些，你能自己创造研究材料吗？
?预设：画?
评价：很好，没有图能自己画，借助图形能让我们直观地思考问题。?启发：我们有没有现成的圆环呢？?
引生演示（拇指食指围个圈）指一指这个圆环的内直径，外直径。?
师：快亮出你的小圆环，咱们都是带着圆环来的是吗？太聪明了,咱们发现现成的可用的材料就是我们的小手儿。前面有老师准备的研究材料：图和圆环。如果你需要，就到前边来取，每组派一个人。?
2.确定研究方法——从简单处开始?师：圆环有了，咱们开始研究吧？给1分钟?师：研究出来了吗？?
预设：太多了、算乱了。?
师：看来10个圆环有点儿多了，太复杂了。华罗庚爷爷告诉我们当问题比较复杂的时候，不用怕，我们要——（出示：知难而退）?
这里的“退”?不是退缩、放弃，是要我们退到问题最简单的情况去观察、去思考。让我们也退回最简单的情况，你想从几个铁环开始研究？?
【设计意图：从简单处思考是化繁为简思想的体现，借用华罗庚的话引出这一数学方法，即走进数学大师，又感受这一重要的数学方法。】?
3．研究2个圆环?
师：我们先来研究2个圆环连起来的长度。?
（1）一个圆环是10厘米，我们先猜测一下两个圆环长多少？?预设：19厘米、18厘米???
师：到底是18还是19？咱们一起研究研究好吗？?
（2）生动手实践进行验证,师巡视指导。?
（3）展示交流：（借助手演示、直观图、画图、纸质圆环的分别展示）?引导学生提问，师适时追问。?
（4）师演示（为什么是18）?
（5）课件动态演示?
（6）指名结合图讲解?
小结：借助直观模型能让我们清楚的思考，找到解题思路。?【设计意图：借助手、纸质圆环、电脑动态显示等一系列几何直观解决问题，并且回到图中找依据，数与形结合，学生学得更明白。】?
四、合作探究，发现规律?
1.?小组合作研究3、4、5……个圆环
?⑴回顾方法?
师：回顾一下，我们是怎么研究2个圆环连成的铁链长度的？?先猜测，然后进行验证，如果不符合在调整。（板书：猜测→研究）?师：那你们愿意老师领着你们接着研究，还是自己试试？?
合作研究3个、4个、5个……圆环的铁链长度，先猜测，再验证。
?⑵小组合作研究?⑶全班交流?
师：谁愿意和大家说说你们组的研究成果？?（分组汇报、汇报过程中引生提问，教师适时提问）?
①?研究3个圆环（3个圆环，为什么是2×2，有2个连接处就有两个2厘米）?
②研究4个圆环?
小结：刚才我们研究的过程都结合图来说明是多少，由形到数，数形完美地结合可以帮我们学到很多知识。?
【设计意图：在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动活动中，能进行有条理的思考，比较清楚地表达本组想法。】?
2.研究10个圆环?
师：现在你能直接算出十个圆环的长度了吗？引生研究（板书）20个呢？怎么算？?
【设计意图：应用不完全归纳法，尝试应用规律解决问题。】?
3．自主构建模型?
师拉出一长串纸环连成的链，问：这条链有多长？?引导学生用字母表示圆环的个数，建构模型。?预设：10n-2（n-1）?10+8（n-1）?为什么用n-1？（连接处比圆环个数少1）?
师：这跟以前学的哪个知识有点儿像？（植树问题）?
小结：如果当成两端都植的情况，圆环的个数就是树，连接处就是间隔。数学知识之间总是存在千丝万缕的联系，发现联系，能帮助我们把握事物的本质。?
【设计意图：让学生自己产生建模的需求，变“要我建模”为“我要建模”，不止是几个字顺序的调整，而是学生主体地位的体现。】?
4.回顾活动过程，积累活动经验、思想方法?师：回顾研究过程，我们是用什么方法解决问题的？?
预设1：数太大、问题太复杂时，我们退回到最简单的。（板书：化繁为简）?
师：遇到复杂的问题,我们可以从最简单的地方开始入手研究,这样就会让我们更加容易发现规律和问题。这种化繁为简的方法,希望以后能够对你的学习有所帮助。?
预设2：数形结合可以帮助我们思考问题。(数形结合)?
预设3：边研究，边寻找规律，用找到的规律猜测下一个，再验证。经过几轮以上的推理验证，可以归纳方法。（板书：猜测——研究——归纳）?
【设计意图：让学生经历数学活动过程，并主动回顾活动过程，有助于学生积累数学活动经验、数学思想方法。】?
四、解决问题?
每块木板长10厘米。把11块这样的木板照下图粘在一起，长多少厘米？
五、小结，谈收获?
师：这节课我们学习了铁链的长度，你有什么收获？（知识和方法）希望这些学习方法能够对你以后学习数学有所帮助。?
【设计意图：回顾本节课的内容，不仅使学生再次重现本节课应掌握的知识，更是对数学思想方法的回顾。】
教学目标?
1.在数学活动过程中，发展学生学习数学的兴趣，在探索中发现、总结规律，应用规律解决“10个圆环的铁链长度”的问题，应用不完全归纳法，尝试用符号构建模型，解决这一类问题。?
2.经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力和借助几何直观探索规律的能力。?
3.引导学生回顾解决问题的过程和方法，帮助学生积累数学活动经验和化繁为简的数学思想方法，为今后的数学学习奠定基础。?
学情分析??
学生认识圆，能正确指出圆的直径，并且知道直径是圆内最长的线段。在以前的数学学习中，学生已经积累一定的探索规律的方法、能力以及借助几何直观探究解决问题的经验。??
教学重点：借助几何直观探索规律，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力，积累数学活动经验和化繁为简的思想方法。?
教学难点：理解探索规律中所运用的分析、推理、归纳的方法。?
教学过程?
一、联系实际，导入新课?
1.课件出示一组实物图片，引生观察：这些物体的共同特征是什么？?
2.师：在生活中你见过这样的铁链吗?（板书：铁链）用我们数学的眼光来审视这一条条的铁链,有值得我们研究的数学问题吗?你能提出一个吗??
预设：铁链有多重？铁链有多长？?
3.师：同学们都很善于发现问题，今天这节课我们就来研究其中一个问题：铁链的长度(板书：的长度)?
【联系生活实际引入课题，使学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。】?
二、出示题目，理解信息
1．揭示研究内容?
出示铁链图，师：这条铁链由10个圆环连接而成，要知道它的长度，你有什么好办法？?
预设：①量一量。（真直观）?
②知道一个圆环的长度，求10个的。?
2.认识外直径、内直径、圆环厚度?
师：好，那老师就给你一些信息。（出示图：内直径8厘米，外直径10厘米的圆环。）看懂了吗？你知道了什么？?
（内直径8厘米，外直径10厘米。）?
师：内直径和外直径到底是怎么回事呀？圆环放大（课件出示），谁来指一指标一标？（指名标）?
除了内直径外直径，你还能知道什么？?
预设：圆环的厚度1厘米?
师：10减8不是2吗？为什么是1啊?3.估算?
师：刚才有的同学说要想求10个圆环连成的铁链的长度，得知道一个圆环的长度。那么一个圆环长多少啊？我们来记录一下。（板书）?
那现在你知道10个圆环连成的铁链的长度了吗？?我认为是100厘米，同意吗？理由？?
预设：不是100厘米，因为这样只是一个挨一个地摆着，没有连在一起，不是铁链。一拿就散了。(引生用手演示)?
师：我很高兴，你们有这样的反思精神，正是反思，让我们避免了错误。?
师：估计一下，这条铁链的长度比100长一些，还是短一些？为什么？?生：短一些。因为连接在一起的部分重合了。?
【设计意图：在解决实际问题的过程中，估算即是一种检验方法，帮助学生规避错误；也是实际经验和空间感觉的培养。】?
三、借助几何直观，探究2个圆环的铁链长度
?1．自主选择研究材料
师：这条铁链的长度到底是多少呢？我们就来一起研究好不好？要研究“这条铁链的长度”，你们需要什么研究材料？?
预设：实物、图片?
师：除了这些，你能自己创造研究材料吗？
?预设：画?
评价：很好，没有图能自己画，借助图形能让我们直观地思考问题。?启发：我们有没有现成的圆环呢？?
引生演示（拇指食指围个圈）指一指这个圆环的内直径，外直径。?
师：快亮出你的小圆环，咱们都是带着圆环来的是吗？太聪明了,咱们发现现成的可用的材料就是我们的小手儿。前面有老师准备的研究材料：图和圆环。如果你需要，就到前边来取，每组派一个人。?
2.确定研究方法——从简单处开始?师：圆环有了，咱们开始研究吧？给1分钟?师：研究出来了吗？?
预设：太多了、算乱了。?
师：看来10个圆环有点儿多了，太复杂了。华罗庚爷爷告诉我们当问题比较复杂的时候，不用怕，我们要——（出示：知难而退）?
这里的“退”?不是退缩、放弃，是要我们退到问题最简单的情况去观察、去思考。让我们也退回最简单的情况，你想从几个铁环开始研究？?
【设计意图：从简单处思考是化繁为简思想的体现，借用华罗庚的话引出这一数学方法，即走进数学大师，又感受这一重要的数学方法。】?
3．研究2个圆环?
师：我们先来研究2个圆环连起来的长度。?
（1）一个圆环是10厘米，我们先猜测一下两个圆环长多少？?预设：19厘米、18厘米???
师：到底是18还是19？咱们一起研究研究好吗？?
（2）生动手实践进行验证,师巡视指导。?
（3）展示交流：（借助手演示、直观图、画图、纸质圆环的分别展示）?引导学生提问，师适时追问。?
（4）师演示（为什么是18）?
（5）课件动态演示?
（6）指名结合图讲解?
小结：借助直观模型能让我们清楚的思考，找到解题思路。?【设计意图：借助手、纸质圆环、电脑动态显示等一系列几何直观解决问题，并且回到图中找依据，数与形结合，学生学得更明白。】?
四、合作探究，发现规律?
1.?小组合作研究3、4、5……个圆环
?⑴回顾方法?
师：回顾一下，我们是怎么研究2个圆环连成的铁链长度的？?先猜测，然后进行验证，如果不符合在调整。（板书：猜测→研究）?师：那你们愿意老师领着你们接着研究，还是自己试试？?
合作研究3个、4个、5个……圆环的铁链长度，先猜测，再验证。
?⑵小组合作研究?⑶全班交流?
师：谁愿意和大家说说你们组的研究成果？?（分组汇报、汇报过程中引生提问，教师适时提问）?
①?研究3个圆环（3个圆环，为什么是2×2，有2个连接处就有两个2厘米）?
②研究4个圆环?
小结：刚才我们研究的过程都结合图来说明是多少，由形到数，数形完美地结合可以帮我们学到很多知识。?
【设计意图：在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动活动中，能进行有条理的思考，比较清楚地表达本组想法。】?
2.研究10个圆环?
师：现在你能直接算出十个圆环的长度了吗？引生研究（板书）20个呢？怎么算？?
【设计意图：应用不完全归纳法，尝试应用规律解决问题。】?
3．自主构建模型?
师拉出一长串纸环连成的链，问：这条链有多长？?引导学生用字母表示圆环的个数，建构模型。?预设：10n-2（n-1）?10+8（n-1）?为什么用n-1？（连接处比圆环个数少1）?
师：这跟以前学的哪个知识有点儿像？（植树问题）?
小结：如果当成两端都植的情况，圆环的个数就是树，连接处就是间隔。数学知识之间总是存在千丝万缕的联系，发现联系，能帮助我们把握事物的本质。?
【设计意图：让学生自己产生建模的需求，变“要我建模”为“我要建模”，不止是几个字顺序的调整，而是学生主体地位的体现。】?
4.回顾活动过程，积累活动经验、思想方法?师：回顾研究过程，我们是用什么方法解决问题的？?
预设1：数太大、问题太复杂时，我们退回到最简单的。（板书：化繁为简）?
师：遇到复杂的问题,我们可以从最简单的地方开始入手研究,这样就会让我们更加容易发现规律和问题。这种化繁为简的方法,希望以后能够对你的学习有所帮助。?
预设2：数形结合可以帮助我们思考问题。(数形结合)?
预设3：边研究，边寻找规律，用找到的规律猜测下一个，再验证。经过几轮以上的推理验证，可以归纳方法。（板书：猜测——研究——归纳）?
【设计意图：让学生经历数学活动过程，并主动回顾活动过程，有助于学生积累数学活动经验、数学思想方法。】?
四、解决问题?
每块木板长10厘米。把11块这样的木板照下图粘在一起，长多少厘米？
五、小结，谈收获?
师：这节课我们学习了铁链的长度，你有什么收获？（知识和方法）希望这些学习方法能够对你以后学习数学有所帮助。?
【设计意图：回顾本节课的内容，不仅使学生再次重现本节课应掌握的知识，更是对数学思想方法的回顾。】