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第11讲 力的分解
知识梳理
一、力的效果分解法
按力的效果分解的基本步骤
1．根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
2．根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
3．利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
二、有限制条件的力的分解
1．已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解(如图1所示)．
图1
2．已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解(如图2所示)．
图2
3．已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
图3
(1)当Fsin θ＜F2＜F时，有两解(如图3甲)．
(2)当F2＝Fsin θ时，有唯一解(如图乙)．
(3)当F2＜Fsin θ时，无解(如图丙)．
(4)当F2＞F时，有唯一解(如图丁)．
力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形，若能，即有解；若不能则无解．
三、力的正交分解
1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．
2．正交分解法求合力的步骤：
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图4所示．
图4
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋….
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝Fx(Fy).
精讲1 力的分解
1.力的分解
定义：已知一个力求它的分力的过程，叫做力的分解。
?运算法则：平行四边形定则、三角形定则
?力的分解是力的合成的逆运算，把一个已知的力F作为平行四边形的对角线，那么与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力。
?在力的分解中，合力是实际存在，两个分力是虚拟的，并不存在。在对物体进行受力分析时，只分析物体实际受到的力。
2.力的分解原则
?一个力的两个分力不是唯一的，若没有其他限制条件，一个力可以按照任意的两个方向分解，有无数对大小、方向不同的分力。
?在具体问题中，我们通常根据力的作用效果或者实际需要去分解力。
3.根据实际情况进行力的分解
?（1)力的分解的基本思路
解决力的分解问题关键是根据力的作用效果画出力的平行四边形，这样就转化为了一个根据已知边角关系进行求解的几何问题。
?(2)按实际需要进行分解
?实际问题中，一个力的作用效果可以从多个角度分解，这种情况下要按题目要求，根据实际需要进行分解。
?例如：①斜向上的拉力F可分解为：水平向前的分力F1和竖直向上的分力F2，如图1甲．F1＝Fcos α，F2＝Fsin α.
?②重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2，如图乙．F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
课堂练习
【例1】(多选)若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法正确的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1、F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用
D．F1、F2共同作用的效果与F相同
答案ABD
【例2】如图一大人拉着装有货物的木箱匀速前进，用的拉力为200N，车和货物的总重为500N．F与水平线的夹角为37度，（sin37°=0.6、cos37°=0.8 ）求：
（1）F沿水平方向的分力和竖直方向的分力是多少？
（2）地面对木箱的摩擦力是多少？方向向哪？
（3）地面对木箱的支持力是多少？
（4）画出木箱受力图F．
答案
（1）F沿水平方向的分力和竖直方向的分力是160N，120N；
（2）地面对木箱的摩擦力是160N，方向向左；
（3）地面对木箱的支持力是380N；
（4）略．
【变式1】（多选）如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1和F2两个力，下列结论正确的是（ ）
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力
B.物体只受重力mg和弹力N的作用
C.物体受mg、N、F1和F2四个力的作用
D.力N、F1和F2的三个力的作用效果跟mg、N两个力的效果相同
答案BD
【变式2】如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
答案A
精讲2 力分解过程中的讨论
1.力的分解有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形（或三角形）。若可以构成平行四边形（或三角形），说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。常见有一下四种情况：
2.最小值的计算
针对上文第④块内容进行拓展，已知合力的方向F和一分力的大小F1，求另一个分力F2的最小值？
课堂练习
【例1】两个力的合力为60N，其中一个分力F1为30N，那么另一个分力F2的大小为（ ）
A．15N B．25N C．85N D．95 N
答案：C
【例2】把一个力分解为两个力时（ ）
A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B．两个分力不能同时变大
C．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时等于这个力
答案C
【例3】按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力．
(1)一个分力水平向右，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如下图所示)，求两个分力的大小．
答案
(1)300 N 与竖直方向夹角为53°斜向左下
(2)水平方向分力的大小为 N，斜向下的分力的大小为 N
【变式1】已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N，则（ ????）
A.F1的大小是唯一的 ? ???B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向 ? ???D.F2可取任意方向
答案A
【变式2】一个大人与一个小孩分别在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1=400N，方向和河岸成30°角，（小孩的拉力在图中未画出），要使船在河流中平行河岸行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向。
答案200N；垂直于河岸
精讲3 正交分解
?通过学习力的分解可以知道，当已知一个力的大小和方向，我们可以沿着任意的方向分解这个力，到底沿哪两个方向分解，是由研究的问题所决定的，选择的分解方法要有利于问题的解决。一般情况下，要选择按力的实际作用效果进行分解。但是，按照这种形式分解，由于分解的角度不一定是特殊角度，导致合力的大小不一定能够通过计算得出，同时若是同时处理多于3个力的情况时，这种分解方法就变得非常复杂。
?在处理多个力过程中，我们可以选取特定的两个方向作为坐标系，将不在坐标系上的力分解到沿坐标系的方向，为了方便计算，习惯上选取两个互相垂直的方向进行分解。这种把一个已知力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法称为正交分解法。处理步骤如下：
?
?（1）如右图所示，物体在力F（与斜面方向夹角β）的作用下沿着粗糙斜面（斜面倾角α）向上运动，首先对物体作受力分析得，物体受重力、支持力、摩擦力和力F的作用。
?（2）选取物体运动方向以及与运动方向垂直的方向作为坐标系，这时力F与重力G均不在坐标系上
分解力F与重力G，得到沿着坐标系方向的、、、和。根据三角函数关系得到以下关系式：
?
?（4）物体沿着坐标系方向上的受力情况：
?通过这种方式就能把物体所受的合力求出来：
课堂练习
【例1】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．
答案27√2，方向与F1夹角45°斜向上
【例2】选择合适的坐标系，把下列情况中的物体（均为静止）所受的各个力分解。
答案略
【变式1】（多选）如图所示人在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是（ ）
绳子的拉力不断增大
B.绳的拉力保持不变
C.船受到的浮力不断减小
D.船受到的浮力保持不变
答案AC
【变式2】如图所示，重力为500 N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重力为200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力的大小．
答案326.8 N 100 N
课后作业
如图所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球．若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的（ ）
A．1和4 B．3和4 C．2和4 D．3和2
答案B
2.如图所示，质量为m的物块在力F作用下静止于倾角为α的斜面上，力F大小相等且F，则物块所受摩擦力最大的是（ )
A. B. C. D.
答案D
3.如图，在水平拉力F的作用下，A沿水平面运动，B匀速上升，设A对地面的压力为N，A所受的摩擦力为ｆ，绳对A的拉力为T，那么在A运动过程中（ ）
N增大、ｆ增大、T增大
B.N增大、ｆ增大、Ｔ不变
C.N减小、ｆ减小、T减小
D.N减小、ｆ减小、Ｔ不变
答案B
如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球压力的大小之比为________，斜面受到两小球压力的大小之比为_____
答案?
5.如图所示,在绳下端挂一物体,用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α,且保持其平衡.保持α不变,当拉力F有最小值时,F与水平方向的夹角β应是 。
答案α
6.如图所示，一个重为100N的小球被夹在竖直墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ=60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求：
（1）小球对墙面的压力F1的大小
（2）小球对A点的压力F2的大小。
答案
（1）小球对墙面的压力F1的大小为100N；
（2）小球对A点的压力F2．的大小为200N。
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第11讲 力的分解
知识梳理
一、力的效果分解法
按力的效果分解的基本步骤
1．根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
2．根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
3．利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
二、有限制条件的力的分解
1．已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解(如图1所示)．
图1
2．已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解(如图2所示)．
图2
3．已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
图3
(1)当Fsin θ＜F2＜F时，有两解(如图3甲)．
(2)当F2＝Fsin θ时，有唯一解(如图乙)．
(3)当F2＜Fsin θ时，无解(如图丙)．
(4)当F2＞F时，有唯一解(如图丁)．
力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形，若能，即有解；若不能则无解．
三、力的正交分解
1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．
2．正交分解法求合力的步骤：
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图4所示．
图4
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋….
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝Fx(Fy).
精讲1 力的分解
1.力的分解
定义：已知一个力求它的分力的过程，叫做力的分解。
?运算法则：平行四边形定则、三角形定则
?力的分解是力的合成的逆运算，把一个已知的力F作为平行四边形的对角线，那么与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力。
?在力的分解中，合力是实际存在，两个分力是虚拟的，并不存在。在对物体进行受力分析时，只分析物体实际受到的力。
2.力的分解原则
?一个力的两个分力不是唯一的，若没有其他限制条件，一个力可以按照任意的两个方向分解，有无数对大小、方向不同的分力。
?在具体问题中，我们通常根据力的作用效果或者实际需要去分解力。
3.根据实际情况进行力的分解
?（1)力的分解的基本思路
解决力的分解问题关键是根据力的作用效果画出力的平行四边形，这样就转化为了一个根据已知边角关系进行求解的几何问题。
?(2)按实际需要进行分解
?实际问题中，一个力的作用效果可以从多个角度分解，这种情况下要按题目要求，根据实际需要进行分解。
?例如：①斜向上的拉力F可分解为：水平向前的分力F1和竖直向上的分力F2，如图1甲．F1＝Fcos α，F2＝Fsin α.
?②重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2，如图乙．F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
课堂练习
【例1】(多选)若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法正确的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1、F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用
D．F1、F2共同作用的效果与F相同
【例2】如图一大人拉着装有货物的木箱匀速前进，用的拉力为200N，车和货物的总重为500N．F与水平线的夹角为37度，（sin37°=0.6、cos37°=0.8 ）求：
（1）F沿水平方向的分力和竖直方向的分力是多少？
（2）地面对木箱的摩擦力是多少？方向向哪？
（3）地面对木箱的支持力是多少？
（4）画出木箱受力图F．
【变式1】（多选）如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1和F2两个力，下列结论正确的是（ ）
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力
B.物体只受重力mg和弹力N的作用
C.物体受mg、N、F1和F2四个力的作用
D.力N、F1和F2的三个力的作用效果跟mg、N两个力的效果相同
【变式2】如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
精讲2 力分解过程中的讨论
1.力的分解有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形（或三角形）。若可以构成平行四边形（或三角形），说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。常见有一下四种情况：
2.最小值的计算
针对上文第④块内容进行拓展，已知合力的方向F和一分力的大小F1，求另一个分力F2的最小值？
课堂练习
【例1】两个力的合力为60N，其中一个分力F1为30N，那么另一个分力F2的大小为（ ）
A．15N B．25N C．85N D．95 N
【例2】把一个力分解为两个力时（ ）
A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B．两个分力不能同时变大
C．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时等于这个力
【例3】按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力．
(1)一个分力水平向右，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如下图所示)，求两个分力的大小．
【变式1】已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N，则（ ????）
A.F1的大小是唯一的 ? ???B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向 ? ???D.F2可取任意方向
【变式2】一个大人与一个小孩分别在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1=400N，方向和河岸成30°角，（小孩的拉力在图中未画出），要使船在河流中平行河岸行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向。
精讲3 正交分解
?通过学习力的分解可以知道，当已知一个力的大小和方向，我们可以沿着任意的方向分解这个力，到底沿哪两个方向分解，是由研究的问题所决定的，选择的分解方法要有利于问题的解决。一般情况下，要选择按力的实际作用效果进行分解。但是，按照这种形式分解，由于分解的角度不一定是特殊角度，导致合力的大小不一定能够通过计算得出，同时若是同时处理多于3个力的情况时，这种分解方法就变得非常复杂。
?在处理多个力过程中，我们可以选取特定的两个方向作为坐标系，将不在坐标系上的力分解到沿坐标系的方向，为了方便计算，习惯上选取两个互相垂直的方向进行分解。这种把一个已知力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法称为正交分解法。处理步骤如下：
?
?（1）如右图所示，物体在力F（与斜面方向夹角β）的作用下沿着粗糙斜面（斜面倾角α）向上运动，首先对物体作受力分析得，物体受重力、支持力、摩擦力和力F的作用。
?（2）选取物体运动方向以及与运动方向垂直的方向作为坐标系，这时力F与重力G均不在坐标系上
分解力F与重力G，得到沿着坐标系方向的、、、和。根据三角函数关系得到以下关系式：
?
?（4）物体沿着坐标系方向上的受力情况：
?通过这种方式就能把物体所受的合力求出来：
课堂练习
【例1】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．
【例2】选择合适的坐标系，把下列情况中的物体（均为静止）所受的各个力分解。
【变式1】（多选）如图所示人在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是（ ）
绳子的拉力不断增大
B.绳的拉力保持不变
C.船受到的浮力不断减小
D.船受到的浮力保持不变
【变式2】如图所示，重力为500 N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重力为200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力的大小．
课后作业
1.如图所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球．若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的（ ）
A．1和4 B．3和4 C．2和4 D．3和2
2.如图所示，质量为m的物块在力F作用下静止于倾角为α的斜面上，力F大小相等且F，则物块所受摩擦力最大的是（ )
A. B. C. D.
3.如图，在水平拉力F的作用下，A沿水平面运动，B匀速上升，设A对地面的压力为N，A所受的摩擦力为ｆ，绳对A的拉力为T，那么在A运动过程中（ ）
N增大、ｆ增大、T增大
B.N增大、ｆ增大、Ｔ不变
C.N减小、ｆ减小、T减小
D.N减小、ｆ减小、Ｔ不变
如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球压力的大小之比为________，斜面受到两小球压力的大小之比为_____
5.如图所示,在绳下端挂一物体,用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α,且保持其平衡.保持α不变,当拉力F有最小值时,F与水平方向的夹角β应是 。
6.如图所示，一个重为100N的小球被夹在竖直墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ=60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求：
（1）小球对墙面的压力F1的大小
（2）小球对A点的压力F2的大小。
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