人教版高中物理必修二讲义资料，复习补习资料：48曲线运动与运动的合成与分解(基础)
文档属性
| 名称 | 人教版高中物理必修二讲义资料，复习补习资料：48曲线运动与运动的合成与分解(基础) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 344.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-11-20 22:41:13 | ||
图片预览
文档简介
曲线运动、运动的合成与分解
【学习目标】
1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动。
2、知道物体做曲线运动的条件，理解牛顿第二定律对物体做曲线运动条件的解释。
3、理解合运动与分运动的关系、具体问题能够正确区分合运动与分运动。
4、掌握运动的合成与分解的方法，能够熟练的应用平行四边形法则作图将合运动与分运动统一在一个平行四边形中并进行计算。
5、学会用数学的方法研究物体的运动，并从物体的运动轨迹方程判断物体的运动性质。
【要点梳理】
要点一、曲线运动速度的方向
要点诠释：
1、曲线运动速度方向的获取途径
其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；
其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。
2、曲线运动速度的方向
质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向，指向前进的一侧
3、曲线运动的性质
曲线运动的速度方向时刻在变化，速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。
要点二、物体做曲线运动的条件
要点诠释：
1、物体做曲线运动的条件的获得途径
其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；
其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。
2、物体做直线运动条件
当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。
3、物体做曲线运动条件
物体做曲线运动条件是：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。也就是说物体做曲线运动，必有：
①物体具有初速度，即v0≠0；
②物体受到合外力的作用，即F合≠0，或者说加速度a≠0；
③合外力（加速度）与速度不在同一条直线上。
4、曲线运动中合外力的切向分量和法向分量的作用
对于做曲线运动的物体，把合外力F沿曲线的切线方向和法线方向（与切线垂直的方向）分解，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图1所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角； 当a1和v反向时，速度减小，如图2所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。
沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，由于力F2与速度方向垂直，所以力F2不能改变速度的大小，只能改变速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。
可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：
切向分量——产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。
法向分量——产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向——只有使物体偏离原来方向的效果，不能改变速度的大小。这正是物体做曲线运动的原因。
若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体的运动为直线运动。
5、物体做曲线运动的轨迹弯曲规律
根据钢球在磁铁吸引下的曲线运动、石子抛出后的曲线运动以及人造地球卫星的曲线运动等实例，可得到结论：物体的运动轨迹必定在物体速度方向和所受合外力方向之间。
由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。
若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向。如物体在从M运动到N的过程中，在运动到点P时，其受力方向一定是向上的而不可能向下。
要点三、质点在平面内的运动
要点诠释：
1、平面曲线运动的描写
（1）直线运动的描写：用一维坐标系x=x(t)便可以描写质点的位置、速度、加速度
（2）平面曲线运动：可以用平面直角坐标系xoy描写质点的位置（x，y）、速度(vx，vy)和加速度(ax，ay)，即可以通过两个方向上的分运动去认识或解决平面曲线运动。
（也可以用极坐标来描写平面曲线运动，高中阶段不做要求）
2、平面曲线运动位置的确定
（1）确定分运动的性质：首先弄清楚质点沿着X方向和Y方向做什么运动。
这要通过具体分析质点在这两个方向上的受力情况和初始条件而获得，即要通过Fx与vx、Fy与vy的特点和方向关系具体明确。
（2）写出质点在x、y两个方向的位移时间关系
例如，一个质点在x方向上受到的合外力为零而初速度不为零，则这个质点在x方向上就做匀速运动；如果这个质点在y方向上受到恒定的合外力而初速度不为零且与合外力方向相反，则这个质点在y方向上就做匀减速运动，这个质点任意时刻的位置坐标可以表达为：x=vxt，。
3、 平面曲线运动轨迹的确定
（1）已知x y两个分运动，求质点的运动轨迹：
只要写出x y两个方向的位移时间关系x=x(t)和y=y(t) ，由此消除时间t，得到轨迹方程y=f(x)，便知道轨迹是什么形状。
例如质点在x、y方向上都做匀速直线运动，其速度分别是vx、vy，求其运动的轨迹方程。
第一：写位移方程 x=vxt、y=vyt ；
第二：消时间t得到轨迹方程；
可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。
（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：
由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。
例如，船在流水中渡河问题，船同时参与了沿垂直于河岸OA的方向和沿着水流动方向OB的两个匀速运动，船实际进行的是沿OC方向的运动，所以OC是合运动，由于两个方向的运动都是匀速运动，其合外力为零，所以船实际的运动轨迹是一条直线。
如果船头对准对岸()做初速为零的匀加速直线运动，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向则是偏向下游的，所以船的实际运动(合运动)是曲线运动。
要点四、运动的合成和分解
要点诠释：
1、运动的合成与分解
由描写各分运动的量，求合运动的相关量叫运动的合成；由描写合运动的量求各个分运动相关量叫运动的分解。
2、在平面曲线运动中由分运动的加速度、速度、位移，求质点的合加速度速度和位移
（1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四边形法则；
（2）平面运动任意时刻的加速度、速度、位移：
加速度的大小 加速度的方向
合速度的大小 合速度的方向
合位移的大小 合位移的方向
3、由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移
描写合运动的物理量和描写分运动的相关物理量，被统一在同一个相关的平行四边形中，运动的分解是运动合成的逆运算，因此，由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移的方法与运动的合成完全一样。
例如：由上面的平行四边形可得分运动的位移、速度、加速度（运用已知条件解三角形）
4. 合运动的判断方法
物体实际进行的运动就是合运动。
要点五、合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系
要点诠释：
1、等时性
质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。
2、等效性
各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。
3、独立性
同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。
【典型例题】
类型一、曲线运动的条件和性质
例1、（2019 淄博三中会考模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动物体的速度方向保持不变
B．曲线运动一定是变速运动
C．物体受到变力作用时就做曲线运动
D．曲线运动的物体受到的合外力为零
【答案】B
【解析】既然是曲线运动，他的速度的方向必定是改变的，所以A错误，B正确。物体受到变力作用，但如果变力的方向和速度方向共线，物体仍做直线运动，为非匀变速直线运动，故C错，因曲线运动的速度方向必定改变，物体一定受到合力作用，合外力不可能为零，因此D错。
【点评】物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度的方向不在同一条直线上，而合外力的大小和方向不一定变化。
例2、如图所示，一质点做加速曲线运动从M点到N点，当它经过Ｐ点时，其速度v和加速度a的方向关系正确的是（ ）
【思路点拨】准确的理解质点从M点到N点做加速曲线运动是解题的关键和突破口。
【答案】C
【解析】物体从M到N做加速运动，说明a的切向分量与v同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案C。
【总结升华】做曲线运动的物体所受到合外力的切向分量和法向分量分别起着改变速度的大小和方向的作用。做曲线运动的物体其所受合外力方向一定指向轨迹的内侧。
举一反三
【运动的合成与分解 例1】
【变式】某质点在恒力F作用下，从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的（? ）
/
A．曲线a??? B．直线b?????
C．曲线c? ???? D．三条曲线均有可能
【答案】A
类型二、分运动与合运动的特点和应用
例3、（2019 吉林省松原市扶余一中模拟）关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动
D．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
【答案】D
【解析】根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A错误。两个初速度不为零的互成角度的匀加速直线运动合成，不一定是曲线运动，若合速度的方向与合加速度的方向在同一条直线上，合运动为直线运动，故B错误。两个分运动是直线运动，那么合运动也不一定是直线运动，比如平抛运动，故C错误。分运动与合运动具有等时性，故D正确。故选D。
【点评】解决本题的关键掌握判断合运动是直线运动还是曲线运动的条件，以及知道分运动与合运动具有等时性。
举一反三
【变式1】关于运动的合成与分解，下述说法中正确的是（ ）
A、合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B、物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C、合运动和分运动具有同时性
D、合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
【答案】C
【解析】运动的合成与分解遵循平行四边形定则，故合速度的大小介于两分运动速度大小之差与两分运动速度大小之和之间，故A选项错误；
物体的两个分运动是直线运动，说明两个分力与两分速度各自在同一直线上，但两个分力的合力、两分速度的合速度方向却不一定在同一直线上，即两分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动；反之，合运动是曲线运动，分运动也不一定就是曲线运动，故B、D选项错误。
当一个运动分解为两个分运动或几个分运动时，几个分运动各自遵循独立的运动规律而不相互干扰，但合运动与分运动，分运动与分运动间运动时间相同，同时进行，具有等时性，故选项C正确。
【变式2】若一个物体的运动是两个独立的分运动合成，则错误的是（ ）
A、若其中一个分运动是变速运动，另一个分运动是匀变速直线运动，则物体的合运动一定是变速运动
B、若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动
C、若其中一个是匀变速直线运动，另一个是匀变速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动
D、若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀减速直线运动，合运动可以是曲线运动
【答案】C
【解析】运动的合成与分解实际上就是对描述运动的几个物理量位移、速度、加速度的合成与分解，然后根据加速度与速度的方向关系来判断物体的具体运动状态。
类型三、渡河问题
例4、河宽为d，水流速度为，小汽艇在静水中航行的速度为，且，如果小汽艇航向与河岸成角，斜向上游航行，求：
（1）它过河需要多少时间？
（2）到达对岸的位置？
（3）若以最短的时间渡河，航向应如何？
（4）若要直达正对岸，航向又应怎样？
【思路点拨】船同时参与了相对于水流的运动和随水流顺水而下两个运动，船对地的运动是这两个运动的合运动。同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，可根据各个分运动的规律来求解问题。
【解析】如图，船同时参与了相对于水流的运动和随水流顺水而下两个运动，船对地的运动是这两个运动的合运动。同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，可根据各个分运动的规律来求解问题。
（1）根据分运动与合运动的独立性和等时性，过河时间可按下列三种方法计算：
根据本题可知。
（2）如上图，C点是O点正对岸上的一点，以v1 、v2 为邻边做平行四边形，合速度的方向沿着OA ，则
（3）要用最短的时间过河，船过河所用的时间
，
可以看出，当即船头指向正对岸时，最小。
（4）如果直达正对岸，即
，
则有，
即 。
【总结升华】（1）要正确理解渡河问题：
①船速v船大小确定时，船头指向与河岸垂直时，小船有最短渡河时间。最短渡河时间与水流速度无关。如图：
/
② 当船速v船大于水速v水时，实际运动方向（合速度的方向）与河岸垂直时渡河位移最小，最小位移s等于河宽d；
当船速v船小于水速v水时，当船头指向和实际运动方向垂直时，渡河位移最小，为。如图：
/
（2）灵活的运用数学知识是解决具有一定难度物理问题的关键，注意体会和运用。
举一反三
【运动的合成与分解 例3】
【变式】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人.假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2．战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d．如战士想在最短时间内将人
送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
/
【答案】C
类型四、关联速度问题
例5、如图示，以速度沿竖直杆匀速下滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉物体B在水平面上运动，当绳与水平面夹角为时，物体B运动的速率是_______。
【思路点拨】B物体的速率就是绳子的速率，但是绳子的速率并不是A物体的速率。弄清楚绳子的速率和A物体的速率之间的关系是解题的关键。
【答案】
【解析】此沿杆竖直向下的速度即是物体A的合速度，B的速度是在沿绳子方向上的一个分速度，也就是说，物体 A的速度分解为沿着绳子方向上的v1和垂直于绳子方向的速度v2 ，做出的平行四边形是矩形，由此得到B物体的速度是v1=。
【总结升华】弄清哪个是合运动是解题的关键。
举一反三
【变式】 如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角是，此时物体M的速度的大小？
/
【解析】物体M的速率即右端绳子上移的速率，而右端绳子上移的速率与左端绳子在沿绳子方向的速率是相等的，此速率可以由左端绳子与汽车相连的端点的运动速度分解而得到这个端点实际上是和汽车一起水平向左以速度v运动。实际速度v即是合速度。
左端绳子有两个运动效果，一是沿绳的方向拉长；二是绕滑轮顺时针转动。如图所示把v分解到沿绳子的方向和与绳子垂直的方向，则沿绳的方向的速率即是物体M的速率。
由平行四边形法则得：即是M的速率。
【巩固练习】
一、选择题：
1、（2019 临潼区期末考）自然界中有很多物体做曲线运动，在曲线运动中，物体的运动速度（ ）
A．方向一定改变
B．方向一定不变
C．大小一定改变
D． 大小一定不变
2、物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )
A．静止或匀速直线运动
B．匀变速直线运动
C．曲线运动
D．匀变速曲线运动
3、（2019 邵阳市隆回二中月考）一质点在xOy平面内从D点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度（ ）
/
A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
4、（2019 甘肃一模）某物体在一足够大的光滑水平面上向西运动，当它受到一个向南的恒定外力作用时，物体将做（ ）
A． 匀变速直线运动
B．匀变速曲线运动
C．曲线运动但加速度方向改变，大小不变，是非匀变速曲线运动
D．曲线运动但加速度方向和大小均不变，是非匀变速曲线运动
5、（2019 云南师大附中月考卷）如图所示，河水的流速为v=8 m／s，一条船要从河的南岸A点沿与河岸成37°角的直线航行到北岸下游某处，则船的开行速度（相对于河水的速度）最小为（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（ ）
/
A．4 m／s B．4.8 m／s C．6 m／s D．8 m／s
6、火车以m/s的速度向东行驶，竖直下落的雨滴以15m/s的速度正好落在车厢的竖直光滑玻璃上，则车上的乘客看到雨滴在窗户玻璃上运动时的速度为（ ）
A. 15m/s，方向竖直向下
B. m/s，方向向东
C. m/s，方向向西
D. m/s，与竖直方向成角，方向偏西
7、做竖直上抛运动的物体，其瞬时速度公式满足，由此可把此运动看作是一个向上的匀速直线运动(速度)和一个向下的初速度为零的自由落体运动的合运动，那么（ ）
A. 当两个分运动的速度数值相等时，物体到达最高点
B. 当两个分运动的速度数值相等时，物体回到抛出点
C. 当向下的自由落体分运动的速率大于匀速运动的速率时，物体一定在抛出点之下
D. 当向下的自由落体分运动的速率小于匀速运动的速率时，物体向下运动
二、填空题：
1、如果合外力的方向跟物体的速度方向在同一条直线上，物体速度的大小将_________，速度的方向将________。
若合外力的方向跟物体速度的方向成锐角，物体的速度大小将_______，物体的速度方向将__________；
若合外力的方向与物体速度方向垂直，物体的速度大小将_________，物体的速度方向将________；
若合外力的方向跟物体运动的方向成钝角，物体的速度将________，物体的速度的方向将_________。
2、某人站在自动扶梯上，经过时间从一楼升到二楼。如果自动扶梯不运动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为，现使自动扶梯正常运转，人也保持原有速度沿扶梯向上走，则人从一楼走到二楼所用时间为________。
3、游艇从河岸的A处出发渡河，艇身保持与河岸垂直渡河时，经过时间分钟。游艇到达正对岸下游S＝120m的C处(如图示)。如果游艇保持原来速度的大小逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过时间＝12.5分钟恰好到达正对岸的B处，则这条河宽______。
三、计算题：
1、 船在静水中的航行速度m/s，水流速度m/s，河宽m，设船头垂直于河岸航行。求：
(1)船实际的速度；
(2)渡河时间；
(3)船到达对岸的位置；
(4)若使船的实际航线垂直于河岸，船应朝什么方向航行？这时船的速度
2、飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的飞行速度(即飞机不受风力影响下的自由航行速度)是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行?
(2)如果所测地区长达km，则测量所需的时间是多少?
【答案与解析】
1、A
解析：曲线运动的速度方向就是切线方向，时刻改变，故一定是变速运动，大小可以不变，如匀速圆周运动，故A正确，BCD错误。
2、 BCD
解析:物体处于平衡状态，则原来几个力的合力一定为零，现受到另一个恒力作用，物体一定做变速运动。故选项A错误．若物体原来静止则现在一定做匀加速直线运动；若物体原来做匀速直线运动，且速度与恒力的方向共线，则做匀变速直线运动(F与v同向做匀加速，F与v反向做匀减速)，故选项B正确．若速度与力不在同一直线上，则物体做曲线运动，因力是恒力，则加速度也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动。故选项C、D正确．
3、BD
解析：若x方向始终匀速，经过相同的时间水平间距相同，则y方向的高度先增加得越来越慢，说明竖直速度在减小，后来y方向的高度后增加得越来越快，说明竖直速度增大，所以物体速度先减小后增大，故A错误，B正确；若y方向始终匀速，经过相同的时间竖直间距相同，则x方向的水平距离先增加得越来越快，说明水平速度在增大，后来x方向的水平间距后增加得越来越慢，说明水平速度减小，所以物体速度先增大后减小，故C错误，D正确，故选BD。
4、B
解析：物体的运动方向向西，受到的合外力方向向南，所以物体做曲线运动，因合外力恒定，根据牛顿第二定律可知，加速度恒定，故物体做匀变速曲线运动，故B正确。
故选：B．
5、B
解析：由题意知船的最小速度vmin=vsin37°=4.8 m／s，选B。
6、D
解析：速度合成的平行四边形如图所示：
两滴同时参与竖直与水平两个分运动
则雨滴相对于车的速度大小是：m/s
方向是向下偏西
所以，选项D正确
7、A
解析：当两个分运动的速度数值相等时，因为其方向相反，所以合速度即物体的实际速度为零，物体到达最高点，A选项正确；
当向下的自由落体分运动的速率大于匀速运动的速率时，物体的合速度为负，方向向下，物体向下运动，但可能在抛出点之上也可能在抛出点之下，所以CD选项不正确。
二、填空题：
1、发生变化，不发生变化（可能有往复运动）。增大，发生变化；不发生变化，发生变化；减小，发生变化。
2、
解析：设从一楼到二楼电梯的长度是S，则电梯对地的速度是 ，人对于电梯的速度是
电梯开动时人对地的速度是以上两个速度的合成，即
所以人从一楼走到二楼所用时间为
3、200m
解析：设河宽为d，则
在水流的方向上
在垂直于河岸的方向上
当指向上游与岸成某一角度时恰到达正对岸B，作出矢量图，
有
得m
三、计算题：
1、解析：船航行的示意图如下：
(1)由图可知道，船 的实际速度大小 m/s，
船与水流速度方向成的角
(2)合运动和分运动具有等时性
所以渡河时间是
注：
(3)m(即船到达正对岸下游200m处)
(4) 若使船的实际航线垂直于河岸，画图如下：
m/s
(答：船应朝着上游与河岸成()航行)
2、解析:飞机的实际运动为合运动，风速为一分速度．
(1)如图所示，由合速度与分速度的关系可得飞机飞行速度方向与正西方向的夹角θ的正弦值为(v1是风速，v2是飞机的飞行速度)，得θ＝30°．
/
(2)飞机的合速度．
据得．
【学习目标】
1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动。
2、知道物体做曲线运动的条件，理解牛顿第二定律对物体做曲线运动条件的解释。
3、理解合运动与分运动的关系、具体问题能够正确区分合运动与分运动。
4、掌握运动的合成与分解的方法，能够熟练的应用平行四边形法则作图将合运动与分运动统一在一个平行四边形中并进行计算。
5、学会用数学的方法研究物体的运动，并从物体的运动轨迹方程判断物体的运动性质。
【要点梳理】
要点一、曲线运动速度的方向
要点诠释：
1、曲线运动速度方向的获取途径
其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；
其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。
2、曲线运动速度的方向
质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向，指向前进的一侧
3、曲线运动的性质
曲线运动的速度方向时刻在变化，速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。
要点二、物体做曲线运动的条件
要点诠释：
1、物体做曲线运动的条件的获得途径
其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；
其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。
2、物体做直线运动条件
当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。
3、物体做曲线运动条件
物体做曲线运动条件是：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。也就是说物体做曲线运动，必有：
①物体具有初速度，即v0≠0；
②物体受到合外力的作用，即F合≠0，或者说加速度a≠0；
③合外力（加速度）与速度不在同一条直线上。
4、曲线运动中合外力的切向分量和法向分量的作用
对于做曲线运动的物体，把合外力F沿曲线的切线方向和法线方向（与切线垂直的方向）分解，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图1所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角； 当a1和v反向时，速度减小，如图2所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。
沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，由于力F2与速度方向垂直，所以力F2不能改变速度的大小，只能改变速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。
可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：
切向分量——产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。
法向分量——产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向——只有使物体偏离原来方向的效果，不能改变速度的大小。这正是物体做曲线运动的原因。
若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体的运动为直线运动。
5、物体做曲线运动的轨迹弯曲规律
根据钢球在磁铁吸引下的曲线运动、石子抛出后的曲线运动以及人造地球卫星的曲线运动等实例，可得到结论：物体的运动轨迹必定在物体速度方向和所受合外力方向之间。
由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。
若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向。如物体在从M运动到N的过程中，在运动到点P时，其受力方向一定是向上的而不可能向下。
要点三、质点在平面内的运动
要点诠释：
1、平面曲线运动的描写
（1）直线运动的描写：用一维坐标系x=x(t)便可以描写质点的位置、速度、加速度
（2）平面曲线运动：可以用平面直角坐标系xoy描写质点的位置（x，y）、速度(vx，vy)和加速度(ax，ay)，即可以通过两个方向上的分运动去认识或解决平面曲线运动。
（也可以用极坐标来描写平面曲线运动，高中阶段不做要求）
2、平面曲线运动位置的确定
（1）确定分运动的性质：首先弄清楚质点沿着X方向和Y方向做什么运动。
这要通过具体分析质点在这两个方向上的受力情况和初始条件而获得，即要通过Fx与vx、Fy与vy的特点和方向关系具体明确。
（2）写出质点在x、y两个方向的位移时间关系
例如，一个质点在x方向上受到的合外力为零而初速度不为零，则这个质点在x方向上就做匀速运动；如果这个质点在y方向上受到恒定的合外力而初速度不为零且与合外力方向相反，则这个质点在y方向上就做匀减速运动，这个质点任意时刻的位置坐标可以表达为：x=vxt，。
3、 平面曲线运动轨迹的确定
（1）已知x y两个分运动，求质点的运动轨迹：
只要写出x y两个方向的位移时间关系x=x(t)和y=y(t) ，由此消除时间t，得到轨迹方程y=f(x)，便知道轨迹是什么形状。
例如质点在x、y方向上都做匀速直线运动，其速度分别是vx、vy，求其运动的轨迹方程。
第一：写位移方程 x=vxt、y=vyt ；
第二：消时间t得到轨迹方程；
可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。
（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：
由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。
例如，船在流水中渡河问题，船同时参与了沿垂直于河岸OA的方向和沿着水流动方向OB的两个匀速运动，船实际进行的是沿OC方向的运动，所以OC是合运动，由于两个方向的运动都是匀速运动，其合外力为零，所以船实际的运动轨迹是一条直线。
如果船头对准对岸()做初速为零的匀加速直线运动，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向则是偏向下游的，所以船的实际运动(合运动)是曲线运动。
要点四、运动的合成和分解
要点诠释：
1、运动的合成与分解
由描写各分运动的量，求合运动的相关量叫运动的合成；由描写合运动的量求各个分运动相关量叫运动的分解。
2、在平面曲线运动中由分运动的加速度、速度、位移，求质点的合加速度速度和位移
（1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四边形法则；
（2）平面运动任意时刻的加速度、速度、位移：
加速度的大小 加速度的方向
合速度的大小 合速度的方向
合位移的大小 合位移的方向
3、由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移
描写合运动的物理量和描写分运动的相关物理量，被统一在同一个相关的平行四边形中，运动的分解是运动合成的逆运算，因此，由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移的方法与运动的合成完全一样。
例如：由上面的平行四边形可得分运动的位移、速度、加速度（运用已知条件解三角形）
4. 合运动的判断方法
物体实际进行的运动就是合运动。
要点五、合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系
要点诠释：
1、等时性
质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。
2、等效性
各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。
3、独立性
同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。
【典型例题】
类型一、曲线运动的条件和性质
例1、（2019 淄博三中会考模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动物体的速度方向保持不变
B．曲线运动一定是变速运动
C．物体受到变力作用时就做曲线运动
D．曲线运动的物体受到的合外力为零
【答案】B
【解析】既然是曲线运动，他的速度的方向必定是改变的，所以A错误，B正确。物体受到变力作用，但如果变力的方向和速度方向共线，物体仍做直线运动，为非匀变速直线运动，故C错，因曲线运动的速度方向必定改变，物体一定受到合力作用，合外力不可能为零，因此D错。
【点评】物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度的方向不在同一条直线上，而合外力的大小和方向不一定变化。
例2、如图所示，一质点做加速曲线运动从M点到N点，当它经过Ｐ点时，其速度v和加速度a的方向关系正确的是（ ）
【思路点拨】准确的理解质点从M点到N点做加速曲线运动是解题的关键和突破口。
【答案】C
【解析】物体从M到N做加速运动，说明a的切向分量与v同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案C。
【总结升华】做曲线运动的物体所受到合外力的切向分量和法向分量分别起着改变速度的大小和方向的作用。做曲线运动的物体其所受合外力方向一定指向轨迹的内侧。
举一反三
【运动的合成与分解 例1】
【变式】某质点在恒力F作用下，从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的（? ）
/
A．曲线a??? B．直线b?????
C．曲线c? ???? D．三条曲线均有可能
【答案】A
类型二、分运动与合运动的特点和应用
例3、（2019 吉林省松原市扶余一中模拟）关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动
D．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
【答案】D
【解析】根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A错误。两个初速度不为零的互成角度的匀加速直线运动合成，不一定是曲线运动，若合速度的方向与合加速度的方向在同一条直线上，合运动为直线运动，故B错误。两个分运动是直线运动，那么合运动也不一定是直线运动，比如平抛运动，故C错误。分运动与合运动具有等时性，故D正确。故选D。
【点评】解决本题的关键掌握判断合运动是直线运动还是曲线运动的条件，以及知道分运动与合运动具有等时性。
举一反三
【变式1】关于运动的合成与分解，下述说法中正确的是（ ）
A、合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B、物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C、合运动和分运动具有同时性
D、合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
【答案】C
【解析】运动的合成与分解遵循平行四边形定则，故合速度的大小介于两分运动速度大小之差与两分运动速度大小之和之间，故A选项错误；
物体的两个分运动是直线运动，说明两个分力与两分速度各自在同一直线上，但两个分力的合力、两分速度的合速度方向却不一定在同一直线上，即两分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动；反之，合运动是曲线运动，分运动也不一定就是曲线运动，故B、D选项错误。
当一个运动分解为两个分运动或几个分运动时，几个分运动各自遵循独立的运动规律而不相互干扰，但合运动与分运动，分运动与分运动间运动时间相同，同时进行，具有等时性，故选项C正确。
【变式2】若一个物体的运动是两个独立的分运动合成，则错误的是（ ）
A、若其中一个分运动是变速运动，另一个分运动是匀变速直线运动，则物体的合运动一定是变速运动
B、若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动
C、若其中一个是匀变速直线运动，另一个是匀变速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动
D、若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀减速直线运动，合运动可以是曲线运动
【答案】C
【解析】运动的合成与分解实际上就是对描述运动的几个物理量位移、速度、加速度的合成与分解，然后根据加速度与速度的方向关系来判断物体的具体运动状态。
类型三、渡河问题
例4、河宽为d，水流速度为，小汽艇在静水中航行的速度为，且，如果小汽艇航向与河岸成角，斜向上游航行，求：
（1）它过河需要多少时间？
（2）到达对岸的位置？
（3）若以最短的时间渡河，航向应如何？
（4）若要直达正对岸，航向又应怎样？
【思路点拨】船同时参与了相对于水流的运动和随水流顺水而下两个运动，船对地的运动是这两个运动的合运动。同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，可根据各个分运动的规律来求解问题。
【解析】如图，船同时参与了相对于水流的运动和随水流顺水而下两个运动，船对地的运动是这两个运动的合运动。同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，可根据各个分运动的规律来求解问题。
（1）根据分运动与合运动的独立性和等时性，过河时间可按下列三种方法计算：
根据本题可知。
（2）如上图，C点是O点正对岸上的一点，以v1 、v2 为邻边做平行四边形，合速度的方向沿着OA ，则
（3）要用最短的时间过河，船过河所用的时间
，
可以看出，当即船头指向正对岸时，最小。
（4）如果直达正对岸，即
，
则有，
即 。
【总结升华】（1）要正确理解渡河问题：
①船速v船大小确定时，船头指向与河岸垂直时，小船有最短渡河时间。最短渡河时间与水流速度无关。如图：
/
② 当船速v船大于水速v水时，实际运动方向（合速度的方向）与河岸垂直时渡河位移最小，最小位移s等于河宽d；
当船速v船小于水速v水时，当船头指向和实际运动方向垂直时，渡河位移最小，为。如图：
/
（2）灵活的运用数学知识是解决具有一定难度物理问题的关键，注意体会和运用。
举一反三
【运动的合成与分解 例3】
【变式】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人.假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2．战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d．如战士想在最短时间内将人
送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
/
【答案】C
类型四、关联速度问题
例5、如图示，以速度沿竖直杆匀速下滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉物体B在水平面上运动，当绳与水平面夹角为时，物体B运动的速率是_______。
【思路点拨】B物体的速率就是绳子的速率，但是绳子的速率并不是A物体的速率。弄清楚绳子的速率和A物体的速率之间的关系是解题的关键。
【答案】
【解析】此沿杆竖直向下的速度即是物体A的合速度，B的速度是在沿绳子方向上的一个分速度，也就是说，物体 A的速度分解为沿着绳子方向上的v1和垂直于绳子方向的速度v2 ，做出的平行四边形是矩形，由此得到B物体的速度是v1=。
【总结升华】弄清哪个是合运动是解题的关键。
举一反三
【变式】 如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角是，此时物体M的速度的大小？
/
【解析】物体M的速率即右端绳子上移的速率，而右端绳子上移的速率与左端绳子在沿绳子方向的速率是相等的，此速率可以由左端绳子与汽车相连的端点的运动速度分解而得到这个端点实际上是和汽车一起水平向左以速度v运动。实际速度v即是合速度。
左端绳子有两个运动效果，一是沿绳的方向拉长；二是绕滑轮顺时针转动。如图所示把v分解到沿绳子的方向和与绳子垂直的方向，则沿绳的方向的速率即是物体M的速率。
由平行四边形法则得：即是M的速率。
【巩固练习】
一、选择题：
1、（2019 临潼区期末考）自然界中有很多物体做曲线运动，在曲线运动中，物体的运动速度（ ）
A．方向一定改变
B．方向一定不变
C．大小一定改变
D． 大小一定不变
2、物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )
A．静止或匀速直线运动
B．匀变速直线运动
C．曲线运动
D．匀变速曲线运动
3、（2019 邵阳市隆回二中月考）一质点在xOy平面内从D点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度（ ）
/
A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
4、（2019 甘肃一模）某物体在一足够大的光滑水平面上向西运动，当它受到一个向南的恒定外力作用时，物体将做（ ）
A． 匀变速直线运动
B．匀变速曲线运动
C．曲线运动但加速度方向改变，大小不变，是非匀变速曲线运动
D．曲线运动但加速度方向和大小均不变，是非匀变速曲线运动
5、（2019 云南师大附中月考卷）如图所示，河水的流速为v=8 m／s，一条船要从河的南岸A点沿与河岸成37°角的直线航行到北岸下游某处，则船的开行速度（相对于河水的速度）最小为（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（ ）
/
A．4 m／s B．4.8 m／s C．6 m／s D．8 m／s
6、火车以m/s的速度向东行驶，竖直下落的雨滴以15m/s的速度正好落在车厢的竖直光滑玻璃上，则车上的乘客看到雨滴在窗户玻璃上运动时的速度为（ ）
A. 15m/s，方向竖直向下
B. m/s，方向向东
C. m/s，方向向西
D. m/s，与竖直方向成角，方向偏西
7、做竖直上抛运动的物体，其瞬时速度公式满足，由此可把此运动看作是一个向上的匀速直线运动(速度)和一个向下的初速度为零的自由落体运动的合运动，那么（ ）
A. 当两个分运动的速度数值相等时，物体到达最高点
B. 当两个分运动的速度数值相等时，物体回到抛出点
C. 当向下的自由落体分运动的速率大于匀速运动的速率时，物体一定在抛出点之下
D. 当向下的自由落体分运动的速率小于匀速运动的速率时，物体向下运动
二、填空题：
1、如果合外力的方向跟物体的速度方向在同一条直线上，物体速度的大小将_________，速度的方向将________。
若合外力的方向跟物体速度的方向成锐角，物体的速度大小将_______，物体的速度方向将__________；
若合外力的方向与物体速度方向垂直，物体的速度大小将_________，物体的速度方向将________；
若合外力的方向跟物体运动的方向成钝角，物体的速度将________，物体的速度的方向将_________。
2、某人站在自动扶梯上，经过时间从一楼升到二楼。如果自动扶梯不运动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为，现使自动扶梯正常运转，人也保持原有速度沿扶梯向上走，则人从一楼走到二楼所用时间为________。
3、游艇从河岸的A处出发渡河，艇身保持与河岸垂直渡河时，经过时间分钟。游艇到达正对岸下游S＝120m的C处(如图示)。如果游艇保持原来速度的大小逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过时间＝12.5分钟恰好到达正对岸的B处，则这条河宽______。
三、计算题：
1、 船在静水中的航行速度m/s，水流速度m/s，河宽m，设船头垂直于河岸航行。求：
(1)船实际的速度；
(2)渡河时间；
(3)船到达对岸的位置；
(4)若使船的实际航线垂直于河岸，船应朝什么方向航行？这时船的速度
2、飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的飞行速度(即飞机不受风力影响下的自由航行速度)是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行?
(2)如果所测地区长达km，则测量所需的时间是多少?
【答案与解析】
1、A
解析：曲线运动的速度方向就是切线方向，时刻改变，故一定是变速运动，大小可以不变，如匀速圆周运动，故A正确，BCD错误。
2、 BCD
解析:物体处于平衡状态，则原来几个力的合力一定为零，现受到另一个恒力作用，物体一定做变速运动。故选项A错误．若物体原来静止则现在一定做匀加速直线运动；若物体原来做匀速直线运动，且速度与恒力的方向共线，则做匀变速直线运动(F与v同向做匀加速，F与v反向做匀减速)，故选项B正确．若速度与力不在同一直线上，则物体做曲线运动，因力是恒力，则加速度也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动。故选项C、D正确．
3、BD
解析：若x方向始终匀速，经过相同的时间水平间距相同，则y方向的高度先增加得越来越慢，说明竖直速度在减小，后来y方向的高度后增加得越来越快，说明竖直速度增大，所以物体速度先减小后增大，故A错误，B正确；若y方向始终匀速，经过相同的时间竖直间距相同，则x方向的水平距离先增加得越来越快，说明水平速度在增大，后来x方向的水平间距后增加得越来越慢，说明水平速度减小，所以物体速度先增大后减小，故C错误，D正确，故选BD。
4、B
解析：物体的运动方向向西，受到的合外力方向向南，所以物体做曲线运动，因合外力恒定，根据牛顿第二定律可知，加速度恒定，故物体做匀变速曲线运动，故B正确。
故选：B．
5、B
解析：由题意知船的最小速度vmin=vsin37°=4.8 m／s，选B。
6、D
解析：速度合成的平行四边形如图所示：
两滴同时参与竖直与水平两个分运动
则雨滴相对于车的速度大小是：m/s
方向是向下偏西
所以，选项D正确
7、A
解析：当两个分运动的速度数值相等时，因为其方向相反，所以合速度即物体的实际速度为零，物体到达最高点，A选项正确；
当向下的自由落体分运动的速率大于匀速运动的速率时，物体的合速度为负，方向向下，物体向下运动，但可能在抛出点之上也可能在抛出点之下，所以CD选项不正确。
二、填空题：
1、发生变化，不发生变化（可能有往复运动）。增大，发生变化；不发生变化，发生变化；减小，发生变化。
2、
解析：设从一楼到二楼电梯的长度是S，则电梯对地的速度是 ，人对于电梯的速度是
电梯开动时人对地的速度是以上两个速度的合成，即
所以人从一楼走到二楼所用时间为
3、200m
解析：设河宽为d，则
在水流的方向上
在垂直于河岸的方向上
当指向上游与岸成某一角度时恰到达正对岸B，作出矢量图，
有
得m
三、计算题：
1、解析：船航行的示意图如下：
(1)由图可知道，船 的实际速度大小 m/s，
船与水流速度方向成的角
(2)合运动和分运动具有等时性
所以渡河时间是
注：
(3)m(即船到达正对岸下游200m处)
(4) 若使船的实际航线垂直于河岸，画图如下：
m/s
(答：船应朝着上游与河岸成()航行)
2、解析:飞机的实际运动为合运动，风速为一分速度．
(1)如图所示，由合速度与分速度的关系可得飞机飞行速度方向与正西方向的夹角θ的正弦值为(v1是风速，v2是飞机的飞行速度)，得θ＝30°．
/
(2)飞机的合速度．
据得．