4.2 比较线段的长短学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学七年级上册同步学案
第四章　基本平面图形
2　比较线段的长短
要 点 讲 解
要点一　线段的性质
1. 如图，在点A，B的所有连线中，线段AB的长度最短，即两点之间的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”.
2. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.距离是指线段的长度，是一个数值，而不是指线段本身.
经典例题1　为了解决四个村庄的用电问题，政府在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示(距离单位：千米)，则能把电力输送到这四个村庄的最短输电线路总长度应该是________千米.
解析：5＋4＋5.5＋6＝20.5(千米).
答案：20.5
要点二　比较两条线段的长短
1. 叠合法：把它们放在同一条直线上比较.具体作法如下：画一条直线l，在l上先作出线段AB，再作出线段CD，并使点C与点A重合，点D与点B位于点A的同侧，则(1)如果点D与点B重合，就说线段AB与线段CD相等，记作AB＝CD，如图(1)所示；(2)如果点D在线段AB内部，就说线段AB大于线段CD，记作AB>CD，如图(2)所示；(3)如果点D在线段AB外部，就说线段AB小于线段CD，记作AB2. 度量法：用刻度尺量出线段AB与线段CD的长度，再进行比较.
要点三　线段的中点
如图(1)所示，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点.这时AM＝BM＝AB，AB＝2AM＝2BM.
类似地，点C和点D把线段AB分成三条相等的线段，如图(2)所示，点C和点D叫做线段AB的三等分点.
经典例题2　如图所示，已知点C是线段AB上一点，且AB＝10cm，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，求线段DE的长.
解析：根据线段中点的定义和数量关系，求线段DE的长.
解：因为点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，
所以DC＝AC，CE＝BC，
所以DE＝DC＋CE＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝AB＝×10＝5(cm).
所以线段DE的长是5cm.
易错易混警示　图形不确定时求线段的长度易漏解
没有给出确定的图形时，要根据题意画出所有可能的图形进行分类计算，数形结合有助于问题的解决.
经典例题3　已知线段AB＝30mm，在直线AB上的一条线段BC＝10mm，点D是线段AC的中点，求CD的长度.
解析：点A，B，C在同一条直线，点C有两种可能：(1)点C在线段AB的延长线上；(2)点C在线段AB上.
解：如图(1)(2)所示.
(1)当点C在线段AB的延长线上时，CD＝＝＝20(mm).(2)当点C在线段AB上时，CD＝＝＝10(mm).综上所述，CD的长度为20mm或10mm.
当 堂 检 测
1. 下列说法正确的是(　　)
A. 连接两点的线段就叫做两点间的距离
B. 在所有连接两点的线中，直线一定最短
C. 线段AB就是表示点A到点B的距离
D. 线段AB的长度是点A到点B的距离
2. 如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是(　　)
A. 因为③是直的 B. 两点确定一条直线
C. 两点间距离的定义 D. 两点之间线段最短
3. 如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则PQ与MN的数量关系是(　　)
A. PQ＝MN B. PQ＝2MN C. 2PQ＝MN D. 3PQ＝MN
4. 已知线段AB＝6cm，在直线AB上画线段AC＝2cm，则BC的长是(　　)
A. 8cm B. 4cm C. 4cm或8cm D. 无法确定
5. 线段AB和CD相等，记作 ，线段EF小于GH，记作 .
6. 已知线段AB＝6，若C为AB的中点，则AC＝ .
7. 如图所示，AF＝ .(用a，b，c表示)
8. 作线段AB，在AB的延长线上取点C，使BC＝2AB，M是BC的中点，若AB＝30 cm，求BM的长.
9. (1)如图，点C在线段AB上，且AC＝10 cm.BC＝18 cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
(2)若AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，请用代数式表示MN的长度；
(3)若将第(1)问，“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，其他条件不变，结果会有变化吗？如果有，求出结果.
当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. C 4. C
5. AB＝CD EF6. 3
7. 2a－2b－c
8. 解：如图所示，因为AB＝30cm，所以BC＝60cm，而M为BC的中点，所以BM＝BC＝30cm.
9. 解：(1)因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝AC＝5cm，CN＝BC＝9cm.所以MN＝MC＋NC＝AC＋BC＝5＋9＝14(cm).　
(2)因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝AC＝acm，CN＝BC＝bcm.又MN＝MC＋CN，所以MN＝AC＋BC＝(a＋b)cm.　
(3)有变化，当点C在线段AB上时，MN＝14cm；当点C在线段BA的延长线上时，MN＝4cm.