1.1 任意角与弧度制同步训练 同步训练（解析版）

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任意角与弧度制

一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A.终边在x轴负半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋k360°(k∈Z)，则α与β终边相同
【解析】终边在x轴负半轴上的角是，零角是没有旋转的角，所以A错误；第二象限角应表示为，是由无数多个区间的并集构成，所以B错误；第四象限角表示为，当时，就是正角，所以C错误；故选D.
2．若是第二象限的角，则不可能在（ ）
A．第一二象限 B．第三四象限
C．第一四象限 D．第二三象限
【解析】因为是第二象限的角，
所以，

所以在三四象限或者在轴的正半轴，
即不可能在一二象限，故选A.
3．若是第三象限的角, 则是(?? )
A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角
【解析】是第三象限角，，，，故当为偶数时，是第一象限角；故当为奇数时，是第三象限角，故选B.


若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，
∴
故选B
5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（　　）（）

A．15平方米 B．12平方米 C．9平方米 D．6平方米
【解析】如图,根据题意可得:,在中,可得:，，,可得:矢,由,可得:弦,所以:弧田面积(弦矢矢)平方米.所以C选项是正确的.

6．已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】C
【解析】设等边三角形边长为，圆的半径为，由正弦定理得，故.
7．集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　 　)
A． B． C． D．
【解析】由集合，
当为偶数时，集合与表示相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，集合与表示相同的角，位于第三象限；
所以集合中表示的角的范围为选项C，故选C.
8．下列各角中与角 EMBED Equation.DSMT4 终边相同的是 （ ）
A.- B.-3000 C. D.2400
【解析】与角 EMBED Equation.DSMT4 终边相同的角，当，即-，选B
9．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为(　　)
A.(2－sin 1cos 1)R2 B.sin 1cos 1R2
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
【解析】
一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则弧长为4R－2R＝2R，扇形面积为，所含圆心角为，所含三角形面积为＝，所以这个扇形所含弓形的面积为(1－sin 1cos 1)R2
故选择D
10．已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．先，再，最后
【答案】A
【解析】如图所示，因为直线与圆相切，所以，
所以扇形的面积为，,
因为，所以扇形AOQ的面积,
即，
所以，

11．如图所示，用两种方案将一块顶角为，腰长为的等腰三角形钢板裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为，周长分别为，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】 为顶角为，腰长为2的等腰三角形，
，
方案一中扇形的周长 ，
方案二中扇形的周长，
方案一中扇形的面积，
方案一中扇形的面积，
所以，.
故选A.

12若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边的一半，则这条弧所对的圆心角的弧度数为__________．
【解析】设圆的半径为 ，正三角形的边长为 ，
则 ∴这条弧所对的圆心角的弧度数
故答案为
13.若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．
【答案】
【解析】由题意可知：，则，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
而当时，；当时，；
综上可得：终边与的终边相同的角有.
点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合： .即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和.
14．若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm，则这个圆心角所在的扇形面积是________．
【解析】设圆弧的半径为，则，则这个圆心角所在的扇形面积是.
15．已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
【答案】1 2 1
【解析】，则，
则时，面积最大为，此时圆心角，
所以答案为1；2；1.
16．已知扇形的中心角为，所在圆的半径为，则扇形的弧长等于__________.
【答案】
【解析】扇形圆心角的度数
则弧长为圆周的
故扇形的弧长等于
17．已知扇形的面积为平方厘米，弧长为厘米，则扇形的半径为_______厘米．
【解析】由题意得，解得。答案：2
18．若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为____________.
【答案】
【解析】

如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则弧所对的圆心角
作，垂足为，在中，
，，

由弧长公式可得
则
则其圆心角的弧度数为
19．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是________．
【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4则面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝＝＝2.
20．设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．
【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，
∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝
21．已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.
【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)
22．与-20020终边相同的最大负角是________
【答案】
【解析】∵与﹣2002°终边相同的角为：k×360°﹣2002°，k∈Z，
∴当k＝6时，与﹣2002°终边相同的角为：158°＞0，
当k＝5时，与﹣2002°终边相同的角为：﹣202°，k越小，与﹣2002°终边相同的负角越小，
∴与﹣2002°终边相同的最大负角为：﹣202°．
故答案为：：﹣202°．

三、解答题
23．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.
【答案】
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则．
可得：（当且仅当时取等号）．
可得：最大值为，此时，．
可得：扇形中心角的弧度数．
24．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【答案】（1）50cm2（2）
【解析】
(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)．
S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2.
(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.
25．已知一扇形的面积为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？
【答案】圆心角为弧度时，周长取得最小值为.
【解析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，则，所以，当且仅当，即，故时，周长有最小值为.
26．已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．
（1）若，求该扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
【答案】（1）； （2），扇形的最大面积为.
【解析】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为；
（2）由题意，扇形的周长为，所以，可得，
又由扇形的面积公式，可得,
当时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为，
此时，即，解得.













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