2018-2019学年河北省石家庄市正定县八年级（上）期中数学试卷（原卷+解析版）

2018-2019学年河北省石家庄市正定县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）的相反数是　　
A． B． C． D．
2．（2分）的平方根是多少　　
A． B．9 C． D．3
3．（2分）实数（相邻两个1之间依次多一个，其中无理数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）若的值为零，则的值是　　
A． B．1 C． D．不存在
5．（2分）将分式中的、的值同时扩大2倍，则分式的值　　
A．扩大2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
6．（2分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　
A． B． C． D．
7．（2分）下列四个数：，，，，其中最小的数是　　
A． B． C． D．
8．（2分）如图：若，且，，则的长为　　
A．3 B．4 C．4.5 D．5
9．（2分）如图，下面是利用尺规作的角平分线的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是　　
作法：
①以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点；
③画射线，射线就是的角平分线．
A． B． C． D．
10．（2分）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米小时，依据题意列方程正确的是　　
A． B． C． D．
11．（2分）如图，已知，则不一定能使的条件是　　
A． B． C． D．
12．（2分）若关于的分式方程有增根，则实数的值是　　
A． B．1 C．2 D．3
13．（2分）如图，已知和相交于点，，，过任作一条直线分别交，于点，，则下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是　　
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
15．（2分）如图，在数轴上，点与点到点的距离相等，，两点所对应的实数分别是和1，则点对应的实数是　　
A． B． C． D．
16．（2分）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是　　
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.）
17．（3分）如图，已知点、、、在同一直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是　　．（只需写出一个）
18．（3分）已知，为两个连续整数，且，则　 　．
19．（3分）如图所示，已知在中，，，平分交于点，于点，的周长为，则　 　．
20．（3分）一列数，，，其中，，，，则　　．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（9分）已知实数、满足
（1）求，的值；
（2）求的立方根．
22．（9分）解分式方程：．
23．（9分）已知，求的值．
24．（9分）已知， 如图，，．
（1） 求证：；
（2） 若，则　 　．
25．（10分）某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
（1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？
26．（10分）如图，中，，，将绕点逆时针旋转角得到△，连接．设交于，分别交，于，，在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．与△全等除外）

2018-2019学年河北省石家庄市正定县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）的相反数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：的相反数是．
故选：．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
2．（2分）的平方根是多少　　
A． B．9 C． D．3
【分析】利用平方根和算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：的平方根是，
故选：．
【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个．
3．（2分）实数（相邻两个1之间依次多一个，其中无理数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：无理数有，，共2个，
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
4．（2分）若的值为零，则的值是　　
A． B．1 C． D．不存在
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
解得．
又，
把分别代入，能使这个式子不是0的是．
故选：．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
5．（2分）将分式中的、的值同时扩大2倍，则分式的值　　
A．扩大2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
【分析】根据已知得出，求出后判断即可．
【解答】解：将分式中的、的值同时扩大2倍为，
即分式的值扩大2倍，
故选：．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
6．（2分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　
A． B． C． D．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
7．（2分）下列四个数：，，，，其中最小的数是　　
A． B． C． D．
【分析】将四个数从大到小排列，即可判断．
【解答】解：，
最小的数为，
故选：．
【点评】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
8．（2分）如图：若，且，，则的长为　　
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，再根据代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．（2分）如图，下面是利用尺规作的角平分线的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是　　
作法：
①以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点；
③画射线，射线就是的角平分线．
A． B． C． D．
【分析】根据作图的过程知道：，，，所以由全等三角形的判定定理可以证得．
【解答】解：如图，连接、．
根据作图的过程知，
在与中，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有，，，，．
10．（2分）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米小时，依据题意列方程正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】题中等量关系：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，据此列出关系式．
【解答】解：设甲车的速度为千米时，则乙车的速度为千米时，
根据题意，得
．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：时间路程速度．
11．（2分）如图，已知，则不一定能使的条件是　　
A． B． C． D．
【分析】利用全等三角形判定定理，，对各个选项逐一分析即可得出答案．
【解答】解：、，为公共边，若，则；故不符合题意；
、，为公共边，若，不符合全等三角形判定定理，不能判定；故符合题意；
、，为公共边，若，则；故不符合题意；
、，为公共边，若，则；故不符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
12．（2分）若关于的分式方程有增根，则实数的值是　　
A． B．1 C．2 D．3
【分析】由分式方程有增根可得出是方程的根，代入即可求出的值．
【解答】解：关于的分式方程有增根，
是方程的根，
．
故选：．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟记分式方程增根的定义是解题的关键．
13．（2分）如图，已知和相交于点，，，过任作一条直线分别交，于点，，则下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由可以推出，，又，由此可以得到，根据全等三角形的性质得到，再加上可以证明，根据全等三角形的性质即可得到，．
【解答】解：，
，，
又，
，
，，
而，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与全等的性质；题目的难点在于根据前面得到的条件得到，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
14．（2分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是　　
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：
，
出现错误是在乙和丁，
故选：．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
15．（2分）如图，在数轴上，点与点到点的距离相等，，两点所对应的实数分别是和1，则点对应的实数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意求出的长，得到的长以及的长，确定点对应的实数．
【解答】解：，两点所对应的实数分别是和1，
，
又，
，
点对应的实数是，
故选：．
【点评】本题考查的是实数与数轴，掌握数轴上的点与实数的对应关系是解题的关键，解答时要理解数轴的概念和特点．
16．（2分）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是　　
A． B． C． D．
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解答】解：根据题意，得，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.）
17．（3分）如图，已知点、、、在同一直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是　．，（答案不唯一）　．（只需写出一个）
【分析】可选择添加条件后，能用进行全等的判定，也可以选择、进行添加．
【解答】解：添加，可利用判断；添加或，可利用判断．
故答案为：．，（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．
18．（3分）已知，为两个连续整数，且，则　7　．
【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大求得、的值，然后利用加法法则计算即可．
【解答】解：，
．
，．
．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得、的值是解题的关键．
19．（3分）如图所示，已知在中，，，平分交于点，于点，的周长为，则　　．
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知，再找出图中的三条等边，利用边的和差关系求的长度．
【解答】解：，，平分，
．
在与，
，
，
，
．
又，
，
的周长，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查角平分线上的点到线段两端的距离相等的性质和边的和差关系．利用相等的线段进行等效转移是很重要的方法，在角平分线这部分题中常常用到，注意掌握．
20．（3分）一列数，，，其中，，，，则　　．
【分析】由于，，，，可得，，，，，，3个一循环，依此即可求解．
【解答】解：，，，，
，，，，，，3个一循环，
，
，
．
故答案为：．
【点评】考查了规律型：数字的变化类，探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（9分）已知实数、满足
（1）求，的值；
（2）求的立方根．
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程求出、的值；
（2）把的值代入所求代数式计算，再求得立方根即可．
【解答】解：（1），
，，
解得，；
（2）当，时，，；
当，时，，．
【点评】本题考查了非负数的性质以及立方根：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
22．（9分）解分式方程：．
【分析】根据解分式方程的过程进行计算即可．
【解答】解：方程两边都乘，得，
解这个整式方程，得，
，
经检验：是原分式方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是验根．
23．（9分）已知，求的值．
【分析】先将括号内的部分通分，因式分解后约分，再代入求值．
【解答】解：
，
，
．
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题的关键．
24．（9分）已知， 如图，，．
（1） 求证：；
（2） 若，则　 105 　．
【分析】（1） 由证明即可；
（2） 求出，，由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质即可得出结果 ．
【解答】（1） 证明： 在和中，，
；
（2） 解：，，
，，
，
由 （1） 得：，
；
故答案为： 105 ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、 三角形内角和定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质， 证明三角形全等是解决问题的关键 ．
25．（10分）某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
（1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？
【分析】（1）等量关系为：4月份营业数量月份营业数量；
（2）算出4月份的数量，进而求得成本及每件的盈利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利．
【解答】解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为元．
根据题意得，
解之得，
经检验是原分式方程的解，且符合实际意义，
该种纪念品4月份的销售价格是50元；
（2）由（1）知4月份销售件数为（件，
四月份每件盈利（元，
5月份销售件数为件，且每件售价为（元，每件比4月份少盈利5元，为（元，
所以5月份销售这种纪念品获利（元．
【点评】找到相应的关系式是解决问题的关键．注意求获利应求得相应的数量与单件获利．
26．（10分）如图，中，，，将绕点逆时针旋转角得到△，连接．设交于，分别交，于，，在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．与△全等除外）
【分析】根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等．
【解答】解：△证明如下：
，
．
绕点逆时针旋转角得到△，
，，．
（1分），．
△．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．