第五章 圆单元测试题A（含答案）
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鲁教版五四制数学九年级第五单元测试题（A）
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（30分）
1.（眉山中考）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A.27° B.32° C.36° D.54°
2.（聊城中考）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC。若∠OAB＝60°，∠ADC＝85°，则∠OCB的度数是（ ）
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
3.如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°
4.（衢州中考）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，B＝4cm，以点C为圆心，2cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
6.（烟台中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A.56° B.62° C.68° D.78°
7.（深圳中考）如图，一把直尺、60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A.3 B.3 C.6 D.6
8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A.点P B.点Q C.点R D.点M
9.（乐山中考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就。它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用。书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：今有一圆形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸），问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸
10.（威海中考）如图，在正方形ACD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A.18＋36π B.24＋18π C.18＋18π D.12＋18π
二、填空题（24分）
11.（大庆中考）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为__________。
12.如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD＝4，则阴影部分的面积为________________。
13.（连云港中考）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝______________。
14.（临沂中考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm，则能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是___________ cm。
15.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm，如图所示，则这个小孔的直径AB＝________ mm。
16.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为_____________。
17.如图，某数学兴小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________。
18.（潍坊中考）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线：y＝x于点B1，以原点O为圆心，以OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…。按此作法进行下去，则弧的长是________________。
三、解答题（7＋9＋10＋10＋10＝46分）
19.（安徽中考）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5。
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E。（保留作图痕迹，不写作法）（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长。
20.（襄阳中考）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE。
（1）求证:DA＝DE。
（2）若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积。
21.（聊城中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆。
（1）求证：AC是⊙O的切线。
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长。
22.（莱芜中考）如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于点D。
（1）求证:CD是⊙O的切线。
（2）E为弧AB的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于点G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG＝3，求⊙O的半径。
23.（威海中考）已知，AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F。
（1）如图①，若DE∥AB，求证:CF＝EF。
（2）如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由。
参考答案及解析
一、1. A 2.D 3.B 4.C 5. B 6.C 7. D 8.B 9.C 10. C
二、11.2 12.2π－4 13.440 14. 15.6 16.
17. 25 18.
三、19.解:（1）如图，AE即为所作。
（2）连接OE交BC于点F，连接DC。∵AE平分 ∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE。
∵弧BE=弧CE，∴DE ⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5－3＝2。
在Rt△OCF中，CF＝。在Rt△CEF中，CE＝。
20.（1）证明:如图，连接OE，BE。∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB。∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC。∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC ＝∠OBC＝90o。∵OE为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线。∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE。
（2）解:如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴ AD＝ BF，DF＝AB＝6，∴DC＝EC＋DE＝BC＋AD＝4. ∵FC＝，∴BC－AD ＝2，∴BC＝3。在R t△OBC中， tan ∠BOC ＝，∴∠BOC＝60o，在△OEC与△OBC中， . ∵，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠ BOE＝2 ∠BOC＝ 120o。
∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2 ×BC.OB－。
21. （1）证明:如图，连接OE. ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB。∵ BE平分∠ABC， ∠OBE＝∠ EBC，. ∴∠OEB ＝∠EBC，∴OE∥BC。又∵∠C＝90o，∴∠OEA＝ 90o，即AC⊥OE。又∵DE是⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线。
（2）解:在△BCE与△BED中.∵∠C＝∠BED＝90o，∠EBC＝∠DBE，∴△BCE∽△BED。
∴，即BC＝。∵BE＝4，BD是⊙O的直径，即BD=5，∴BC＝。
又∵ OE∥BC。∴。∵AO＝AD ＋2.5， AB＝AD＋5，
∴，解得AD＝。
22. （1）证明:如图，连接OC，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝ ∠CBD。
∵ OB＝OC，∴∠OBC＝ ∠OCB，∴∠OCB＝ ∠CBD，∴OC∥AD。又∵CD⊥AB，∴OC⊥CD，. ∴CD是⊙O的切线。
（2）解:如图，连接OE交AB于点H。∵E为弧AB的中点，∴OE⊥AB。∴∠ABE＝∠AFE，
∴tan∠ABE＝tan ∠AFE＝，∴ 在 Rt△BEH 中，tan∠HBE＝，设EH＝3x，则BH＝4x，BE＝5x，∴BC＝BE＝5x，∴GH＝ x。在Rt△EHC中，由勾股定理得x2＋(3x)2＝(3)2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12.设⊙O的半径为r，则OH＝r－9.在Rt△OHB中，由勾股定理得(r－9)2＋122＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为。
23.（1）证明:如图①，连接OD，OE。∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1。∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝∠OED＝60°。∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°，∴△AOD和△BOE是等边三角形，∴∠OAD＝∠OBE＝60°。 ∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°，∴△CDE是等边三角形。∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠EDF＝90°－60°＝30°，∴∠DFE＝90°，∴DF⊥CE，∴CF＝EF。
（2）解:相等。理由:如图②，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，∵⊙O的切线DF交BC于点F，∴BF＝DF，∴∠BDF＝∠DBF。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠FDC＝∠C，∴DF＝CF，∴BF＝CF。
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（30分）
1.（眉山中考）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A.27° B.32° C.36° D.54°
2.（聊城中考）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC。若∠OAB＝60°，∠ADC＝85°，则∠OCB的度数是（ ）
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
3.如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°
4.（衢州中考）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，B＝4cm，以点C为圆心，2cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
6.（烟台中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A.56° B.62° C.68° D.78°
7.（深圳中考）如图，一把直尺、60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A.3 B.3 C.6 D.6
8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A.点P B.点Q C.点R D.点M
9.（乐山中考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就。它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用。书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：今有一圆形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸），问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸
10.（威海中考）如图，在正方形ACD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A.18＋36π B.24＋18π C.18＋18π D.12＋18π
二、填空题（24分）
11.（大庆中考）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为__________。
12.如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD＝4，则阴影部分的面积为________________。
13.（连云港中考）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝______________。
14.（临沂中考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm，则能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是___________ cm。
15.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm，如图所示，则这个小孔的直径AB＝________ mm。
16.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为_____________。
17.如图，某数学兴小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________。
18.（潍坊中考）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线：y＝x于点B1，以原点O为圆心，以OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…。按此作法进行下去，则弧的长是________________。
三、解答题（7＋9＋10＋10＋10＝46分）
19.（安徽中考）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5。
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E。（保留作图痕迹，不写作法）（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长。
20.（襄阳中考）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE。
（1）求证:DA＝DE。
（2）若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积。
21.（聊城中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆。
（1）求证：AC是⊙O的切线。
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长。
22.（莱芜中考）如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于点D。
（1）求证:CD是⊙O的切线。
（2）E为弧AB的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于点G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG＝3，求⊙O的半径。
23.（威海中考）已知，AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F。
（1）如图①，若DE∥AB，求证:CF＝EF。
（2）如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由。
参考答案及解析
一、1. A 2.D 3.B 4.C 5. B 6.C 7. D 8.B 9.C 10. C
二、11.2 12.2π－4 13.440 14. 15.6 16.
17. 25 18.
三、19.解:（1）如图，AE即为所作。
（2）连接OE交BC于点F，连接DC。∵AE平分 ∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE。
∵弧BE=弧CE，∴DE ⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5－3＝2。
在Rt△OCF中，CF＝。在Rt△CEF中，CE＝。
20.（1）证明:如图，连接OE，BE。∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB。∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC。∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC ＝∠OBC＝90o。∵OE为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线。∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE。
（2）解:如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴ AD＝ BF，DF＝AB＝6，∴DC＝EC＋DE＝BC＋AD＝4. ∵FC＝，∴BC－AD ＝2，∴BC＝3。在R t△OBC中， tan ∠BOC ＝，∴∠BOC＝60o，在△OEC与△OBC中， . ∵，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠ BOE＝2 ∠BOC＝ 120o。
∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2 ×BC.OB－。
21. （1）证明:如图，连接OE. ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB。∵ BE平分∠ABC， ∠OBE＝∠ EBC，. ∴∠OEB ＝∠EBC，∴OE∥BC。又∵∠C＝90o，∴∠OEA＝ 90o，即AC⊥OE。又∵DE是⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线。
（2）解:在△BCE与△BED中.∵∠C＝∠BED＝90o，∠EBC＝∠DBE，∴△BCE∽△BED。
∴，即BC＝。∵BE＝4，BD是⊙O的直径，即BD=5，∴BC＝。
又∵ OE∥BC。∴。∵AO＝AD ＋2.5， AB＝AD＋5，
∴，解得AD＝。
22. （1）证明:如图，连接OC，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝ ∠CBD。
∵ OB＝OC，∴∠OBC＝ ∠OCB，∴∠OCB＝ ∠CBD，∴OC∥AD。又∵CD⊥AB，∴OC⊥CD，. ∴CD是⊙O的切线。
（2）解:如图，连接OE交AB于点H。∵E为弧AB的中点，∴OE⊥AB。∴∠ABE＝∠AFE，
∴tan∠ABE＝tan ∠AFE＝，∴ 在 Rt△BEH 中，tan∠HBE＝，设EH＝3x，则BH＝4x，BE＝5x，∴BC＝BE＝5x，∴GH＝ x。在Rt△EHC中，由勾股定理得x2＋(3x)2＝(3)2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12.设⊙O的半径为r，则OH＝r－9.在Rt△OHB中，由勾股定理得(r－9)2＋122＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为。
23.（1）证明:如图①，连接OD，OE。∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1。∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝∠OED＝60°。∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°，∴△AOD和△BOE是等边三角形，∴∠OAD＝∠OBE＝60°。 ∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°，∴△CDE是等边三角形。∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠EDF＝90°－60°＝30°，∴∠DFE＝90°，∴DF⊥CE，∴CF＝EF。
（2）解:相等。理由:如图②，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，∵⊙O的切线DF交BC于点F，∴BF＝DF，∴∠BDF＝∠DBF。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠FDC＝∠C，∴DF＝CF，∴BF＝CF。