第1章 习题课 基本计数原理试题

习题课
课时目标1.进一步理解两个基本计数原理.2.掌握解决计数实际问题的基本思想．
1．分类加法计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.
分步乘法计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.
2．分类加法计数原理针对的是分类问题，每一种方法都能达到____________________；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤____________才算完成这件事．
一、选择题
1．从师大声乐系某6名男生或8名女生中任选一人表演独唱，则不同的选派方法种数为(　　)
A．6 B．8 C．12 D．14
2．由老年人15人、中年人11人、青年人12人，组成老、中、青年考察团，现从各年龄层中分别推选一名队长，则不同的推选方法有(　　)
A．1880种 B．1980种 C．2010种 D．2100种
3．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，若从M、N两个集合中各取1个元素分别作点的横、纵坐标，则可得到不同点的个数为(　　)
A．18 B．16 C．14 D．12
4．若x∈{1,2,3}，y∈{5,6,7}，则x·y的不同值有(　　)
A．2个 B．6个 C．9个 D．3个
5．李芳有4件不同颜色的T－shirt,3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五四”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有(　　)
A．24种 B．14种 C．10种 D．9种
二、填空题
6．有红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面或三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成________种不同的旗语信号．
7．从0,1,2,3,4,5,6七个数字中，任意取出三个不同的数字，作为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数，可得________个不同的二次函数．
8．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有________种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有________种不同的选法．
三、解答题
9.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入右图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
10．已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数．
能力提升
11．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
12．现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班．共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？
1．解计数应用题，要先搞清分类和分步．分类时要不重不漏．
2．计数问题对特殊元素或特殊位置要优先考虑；对分类较多的，可使用间接法．
习题课
答案
知识梳理
2．完成这件事的目的　依次完成
作业设计
1．D
2．B　[由分步乘法计数原理得，不同的推选方法有15×11×12＝1 980(种)．]
3．D　[要完成这件事需分两步：第一步，从集合M中取出一个元素，有3种取法；第二步，从集合N中取出一个元素，有4种取法．由分步乘法计数原理得，一共得到不同点的个数为3×4＝12(个)．]
4．C
5．B　[先分类，李芳可以选择连衣裙也可以选择T－shirt配裙子．选择连衣裙有2种方法；选择T－shirt配裙子分两步：第一步，选T－shirt有4种方法；第二步，选裙子有3种方法．所以一共有2＋4×3＝14(种)选择方式．]
6．39
解析　悬挂一面旗共可以组成3种旗语信号；悬挂二面旗共可以组成3×3＝9(种)旗语信号；悬挂三面旗共可以组成3×3×3＝27(种)旗语信号，由分类加法计数原理，共有3＋9＋27＝39(种)旗语信号．
7．180
8．33　270
解析　买上衣，有15种选法；买裤子，有18种选法．买1件上衣或1条裤子有15＋18＝33(种)选法．买一件上衣和一条裤子，有15×18＝270(种)选法．
9．解　
给区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．
(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．
(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．
10．解　设倾斜角为θ，由θ为锐角，得tanθ＝－>0，即a、b异号．
(1)若c＝0，a、b各有3种取法，排除2个重复(3x－3y＝0,2x－2y＝0，x－y＝0)．故有3×3－2＝7(条)．
(2)若c≠0，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4＝36(条)，从而符合要求的直线共有7＋36＝43(条)．
11．解　方法一　由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人)，这个数目不大，化为填数问题之后，可用枚举法进行具体的填写：
　　　　
　　　
再按照题目要求检验，最终易知有9种分配方法．
方法二　记四人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到，故有3种分配方式；以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：
第一类：甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式；第二类：甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种(分别是丙和丁送出的)．对每一种情况，丙、丁收到卡片的方式只有一种．因此，根据乘法计数原理，不同的分配方式数为3×(1＋2)＝9.
12．解　分5步进行：
第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法；
第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法；
第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法；
第四步：同前；
第五步：同前．
由分步乘法计数原理可得不同的排法有5×4×4×4×4＝1280(种)．