江西省萍乡三中2019-2020学年上学期高二第二次月考 文科数学

2019-2020学年上学期高二第二次月考
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”．下列命题中正确的是（ ）
A．命题 B．命题 C．命题 D．命题
2．已知中，角的对边分别为，且，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．中，角所对的边长分别为，，
且，则（ ）
A． B． C． D．
4．《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的影子长为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
5．在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
7．设，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知直线过点且与椭圆相交于，两点，则使得点为弦中点的直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．椭圆与双曲线焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限，第三象限的交点分别为，，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设命题，，则为 ．
14．设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．
15．已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列，
设，则数列的前项和为 ．
16．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知命题，，若非是的充分不必要条件，求的取值范围．
18．（12分）在中，角所对的边分，且．
（1）求角；
（2）若的中线的长为，求的面积的最大值．
19．（12分）设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（12分）在一个月内分批购入每张价值为元的书桌共台，每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则该月需用去运费和保管费共元，现在全月只有元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
21．（12分）已知曲线的任意一点到两个定点和的距离之和为．
（1）求曲线的方程；
（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．
22．（12分）已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大．
（1）试求出抛物线的方程；
（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立?若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年上学期高二第二次月考
文科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】命题错误，椭圆的定义中，常数必须大于两个定点的距离；
命题错误，双曲线的定义中，常数必须小于两个定点的距离；
∴命题为真命题．
2．【答案】C
【解析】因为，所以，由，可得，
根据余弦定理，，所以．
3．【答案】A
【解析】由正弦定理得，
即，
又，∴．
4．【答案】A
【解析】从冬至日起，日影长依次记为，，，，，
根据题意，有，
根据等差数列的性质，有，
而，设其公差为，则有，解得，
所以冬至的日影子长为尺．
5．【答案】A
【解析】∵等差数列中，，
∴，∴，
又，∴，，
即数列的前项为正值，从第项开始为负值．
∴数列的前项和的最大值为．
6．【答案】B
【解析】∵在等比数列中，，是方程的根，
∴，，∴，，
∴，∴．
7．【答案】A
【解析】画出表示的可行域，
表示可行域内的点与点连线的斜率，
由，得，，，
由图知，的范围是．
8．【答案】A
【解析】由，得，
当且仅当时，等号成立，则．
9．【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为，则，
若，得，可知倾斜角大于，
由倾斜角大于，得，或，即或，
所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件．
10．【答案】C
【解析】设，，则，，
两式相减．
又由点为弦的中点，∴，，
∴．
11．【答案】B
【解析】设，，代入抛物线方程消去，得，
∴，
则．
12．【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为，由题意点与点关于原点对称，因此，
又，所以，
由椭圆与双曲线定义可得，，
所以，，
根据余弦定理可得，
即，
化简得，所以离心率乘积为，
当且仅当①时，取等号，
由，所以，所以②，
再将①②代入可得，
所以双曲线的渐近线方程为或．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】，
【解析】根据全称命题与特称命题的定义即可得答案．
14．【答案】
【解析】设，则不等式的解集，
①若，则，即，解得，
②若，则，∴，
综上，故实数的取值范围是．
15．【答案】
【解析】设首项为，公差为，
∵成等比数列，∴，解得，
∴，，
∴．
16．【答案】
【解析】由题意，知点在椭圆上，线段的中点在轴上，可得轴，
不妨设点，
所以在直角中，，且，所以，
∵，且，∴，故．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】．
【解析】，或，
或，
，或，
记或，
而，∴，即，∴．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴，即，．
（2）延长至点，使得：，连接，，
易知四边形为平行四边形，所以在中，，，
由三角形余弦定理得：，
可得:，（当且仅当时，等号成立），
即．
19．【答案】（1）（）；（2）．
【解析】（1）因为，①，
当时，②，
①②得，，所以，
当时，适合上式，所以（）．
（2）由（1）得，所以，
所以，
③，
④，
③④得，，
所以．
20．【答案】（1）（，）；（2）见解析．
【解析】（1）设题中比例系数为，若每批购入台，则共需分批，每批价值为元，
由题意，
由时，得，
所以（，）．
（2）由（1）知，（，），
所以（元），
当且仅当，即时，上式等号成立，
故只需每批购入张书桌，可以使资金够用．
21．【答案】（1）；（2）直线的方程为或．
【解析】根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，
设椭圆的方程为，
其中，，则，
所以动点的轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
∵，∴，
∵，，∴，
∴．①
由方程组，得，
则，，代入①，
得．即，解得或．
所以直线的方程是或．
22．【答案】（1）；（2）存在，定点为．
【解析】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大，
由题意和抛物线定义，，
所以抛物线的方程为．
（2）由题意，，
设，，由，得，
①若直线斜率存在，设斜率为，直线，
，整理可得，
直线，与联立得，故可得，
若点存在，设点坐标为，
，
时，，解得或（不是定点，舍去），
则点为，经检验，此点满足，所以在线段上，
②若斜率不存在，则，，此时点满足题意，
综上所述，定点为．