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《14.3.2公式法（1）》导学案
课题 公式法（1） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。 2.经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。3.通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。
重点难点 重点：应用平方差公式分解因式．难点： 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学过程
情景导入 某学校有一个边长为 85 米的正方形场地，现在场地一角建一个边长为 15 米的正方形花房，问场地还剩余多大面积供学生课间活动使用？
合作探究 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ ●归纳：（平方差公式因式分解公式法1：）两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.符号表示：a2-b2=________现在你能解答导入提出的问题了吗？ 例1、分解因式：(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2 解：（1） （2） 例2、分解因式：（1）x4-y4 （2）a3b-ab 解：（1） （2） 例3、你知道992-1 能否被 100 整除吗？ 变式：当 n 是正整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2 能被（ ）整除 . A.6 B.8 C.12 D.15
自主尝试 1、辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？① ② ③ ④⑤ x2-25y2 ⑥m2-1 2．分解因式： (1)4x2－y2 (2)－16＋a2b2 (3)100x2－25y2 (4)(x＋2y)2－(x－y)2 3．分解因式： (1)a3－9a； (2)3m(2x－y)2－3mn2； (3)(a－b)b2－4(a－b)．
拓展提高 1．下列多项式能用平方差公式分解的是( )A．4a2＋9b2 B．－a2－9b2 C．－(4a2＋9b2) D．4a2－9b2 2．因式分解： (1)4a2－1 (2)9x2－25y2 (3)2a2－18 运用平方差公式因式分解计算50×1252－50×252的结果是________． 4．若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．5．技术员小张在制造某种机器零件时，要在半径为R的圆形钢板中钻9个半径为r的圆形小孔，之后再将剩余部分涂上油漆(一面)，小张已测量出R＝34 cm，r＝2 cm，则需要油漆的部分面积S为___________cm2(厚度忽略不计，π取3.14，结果精确到十位)．6.n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
小结反思 这节课你有哪些收获？还有哪些疑问没有解决？要及时与同学们和老师交流，及时解决!
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《14.3.2公式法（1）》导学案
课题 公式法（1） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。 2.经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。3.通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。
重点难点 重点：应用平方差公式分解因式．难点： 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学过程
情景导入 某学校有一个边长为 85 米的正方形场地，现在场地一角建一个边长为 15 米的正方形花房，问场地还剩余多大面积供学生课间活动使用？ 根据学生列出的式子，教师提出问题：该怎么计算，可能有的同学很快就同小学学习习的方法计算了但是会遇到一定的难度，教师在追问有没有简单的办法呢？让学生分析式子的特征：是两个数的平方作差的形式，从而导出今天学习的课题——用平方差公式因式分解
合作探究 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？观察形式：是a,b两数的平方差的形式 根据整式的乘法有(a+b)(a-b)=a2-b2我们知道等式具有对称性，那么反过来a2-b2=(a+b)(a-b)符合因式分解的形式即将一个多项式分解成了几个因式积的形式.●归纳：（平方差公式因式分解公式法1：）两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.符号表示：a2-b2=(a+b)(a-b)理解公式： (1)公式左边：（待分解的多项式）●含有两项，且这两项异号，并且是( )2-( )2 的形式 关键词：两项/异号/平方项 (2)公式右边：（是分解的结果）●两个底数的和乘以两个底数的差的形式 关键词：一加乘一减注意：凡是符合平方差公式左边特点的二项式a2-b2 ，都可以运用平方差公式分解因式 .现在你能解答导入提出的问题了吗？ 例1、分解因式：(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2分析：在多项式和中分别相当于公式中的a和 b的是 解：（1） （2）教师在点评时要注意强调运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数 (或者式)的平方差例2、分解因式：（1）x4-y4 （2）a3b-ab分析：（1）把x4-y4写成平方差的形式 （2）a3b-ab能写成平方差的形式吗？不能写怎么办？解：（1） （2）针对学生的板演师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．最后归纳总结方法和注意问题： 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 例3、你知道992-1 能否被 100 整除吗？ 解：∵992-1=(99+1)×(99-1)=100×98含有因数 100∴能被 100 整除． 变式：当 n 是正整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2 能被（ ）整除 .B A.6 B.8 C.12 D.15
自主尝试 1、辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？① ② ③ ④⑤ x2-25y2 ⑥m2-1 答案：①不能、②能、③不能、④能、⑤能、⑥能2．分解因式： (1)4x2－y2 (2)－16＋a2b2 解：原式＝(2x＋y)(2x－y) 解：原式＝(ab＋4)(ab－4) (3)100x2－25y2 解：原式＝(10x＋5y)(10x－5y) (4)(x＋2y)2－(x－y)2解：原式=（x+2y+x-y）（x+2y-x+y）=3y(2x＋y) 3．分解因式： (1)a3－9a； 解：原式＝a(a＋3)(a－3) (2)3m(2x－y)2－3mn2； 解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n) (3)(a－b)b2－4(a－b)．解：原式＝(a－b)(b＋2)(b－2)
拓展提高 1．下列多项式能用平方差公式分解的是( )DA．4a2＋9b2 B．－a2－9b2 C．－(4a2＋9b2) D．4a2－9b2 2．因式分解： (1)4a2－1 (2)9x2－25y2 (3)2a2－18 答案：（1）解：原式=(2a＋1)(2a－1) （2）解：原式=(3x＋5y)(3x－5y) （3）解：原式=2(a＋3)(a－3) 3．运用平方差公式因式分解计算50×1252－50×252的结果是________．答案：7500004．若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．答案：35．技术员小张在制造某种机器零件时，要在半径为R的圆形钢板中钻9个半径为r的圆形小孔，之后再将剩余部分涂上油漆(一面)，小张已测量出R＝34 cm，r＝2 cm，则需要油漆的部分面积S为___________cm2(厚度忽略不计，π取3.14，结果精确到十位)．答案：3.52×103 6.n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？答案：能
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(共19张PPT)
14.3.2公式法（1）
人教版 八年级上
新知导入
某学校有一个边长为 85 米的正方形场地，现在场地一角建一个边长为 15 米的正方形花房，问场地还剩余多大面积供学生课间活动使用？
列式：852-152
怎么计算？
新知讲解
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
新知讲解
对平方差公式的理解
(1)公式左边：（待分解的多项式）
●含有两项，且这两项异号，并且是( )2-( )2 的形式
关键词：两项/异号/平方项
(2)公式右边：（是分解的结果）
●两个底数的和乘以两个底数的差的形式
关键词：一加乘一减
新知讲解
因式分解的方法--平方差公式法
注意：凡是符合平方差公式左边特点的二项式a2-b2 ，都可以运用平方差公式分解因式 .
公式法1
如：852-152
=（85+15）×（85-15）
=7000
巩固练习
√
√
×
×
1.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
例题讲解
例1 分解因式：
a
a
b
b
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
(2)原式
a
b
温馨提示：运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数 (或者式)的平方差
巩固练习
2．分解因式：
(1)4x2－y2 (2)－16＋a2b2
(3)100x2－25y2 (4)(x＋2y)2－(x－y)2
解：原式＝(2x＋y)(2x－y)
解：原式＝(ab＋4)(ab－4)
解：原式＝(10x＋5y)(10x－5y)
解：原式
=（x+2y+x-y）（x+2y-x+y）
=3y(2x＋y)
例题讲解
例2 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
巩固练习
3．分解因式：
(1)a3－9a；
(2)3m(2x－y)2－3mn2；
(3)(a－b)b2－4(a－b)．
解：原式＝a(a＋3)(a－3)
解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)
解：原式＝(a－b)(b＋2)(b－2)
例题讲解
例3 你知道992-1 能否被 100 整除吗？
解：∵992-1=(99+1)×(99-1)=100×98含有因数 100
∴能被 100 整除．
变式：当 n 是正整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2 能被（ ）整除 .
A.6 B.8 C.12 D.15
B
拓展提高
1．下列多项式能用平方差公式分解的是( )
A．4a2＋9b2 B．－a2－9b2
C．－(4a2＋9b2) D．4a2－9b2
2．因式分解：
(1)4a2－1 (2)9x2－25y2
D
解：原式=(2a＋1)(2a－1)
解：原式=(3x＋5y)(3x－5y)
(3)2a2－18
解：原式=2(a＋3)(a－3)
拓展提高
3．运用平方差公式因式分解计算50×1252－50×252的结
果是________．
4．若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
5．技术员小张在制造某种机器零件时，要在半径为R的圆
形钢板中钻9个半径为r的圆形小孔，之后再将剩余部分涂
上油漆(一面)，小张已测量出R＝34 cm，r＝2 cm，则需要
油漆的部分面积S为___________cm2(厚度忽略不计，π取3.14，
结果精确到十位)．
750 000
3
3.52×103
拓展提高
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
6.n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
解：原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
拓展提高
7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
课堂总结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
作业布置
教材117页练习1、2题
谢谢
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