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《14.3.2公式法（2）》导学案
课题 公式法（2） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.理解完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.2.探索完全平方公式的结构，逐步掌握完全平方公式的应用.3.培养学生观察、分析能力.灵活根据问题特点解决实际问题.
重点难点 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：灵活应用公式分解因式.
教学过程
知识链接 1.什么叫因式分解？ 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
合作探究 知识1 、完全平方式这个大正方形的面积可以怎么求？ 将上面的等式倒过来看，能得到： 观察多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？ 例1二次三项式x2－6x＋k是一个完全平方式，则k的值是________． 变式：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，则m的值是________． 知识2、用完全平方公式因式分解 a2±2ab+b2=_________，用文字表述为： 例2分解因式：(1) 16x2+24x+9 (2) –x2+4xy–4y2. 例3 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36. ●归纳:把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_______.
自主尝试 1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+4ab+b2; （4）a2－ab+b2; （5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25. 2．因式分解： (1)4x2＋y2－4xy； (2)9－12a＋4a2； (3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
拓展提高 1.把代数式2ax2－12ax＋18a分解因式为：________． 2.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 3.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 4.利用因式分解计算：992＋198＋1. 5.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14. (1)求此长方形的面积；(2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值． 6.已知a，b，c是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0.你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．
小结反思 本节课你有什么收获，有什么疑惑？
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《14.3.2公式法（2）》导学案
课题 公式法（2） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.理解完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.2.探索完全平方公式的结构，逐步掌握完全平方公式的应用.3.培养学生观察、分析能力.灵活根据问题特点解决实际问题.
重点难点 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：灵活应用公式分解因式.
教学过程
知识链接 1.什么叫因式分解？ 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？本节课我们来学习如何用完全平方公式进行因式分解。
合作探究 知识1 、完全平方式这个大正方形的面积可以怎么求？ （a+b）2=a2+2ab+b2将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2=（a+b）2 观察多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？ 两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．是两个数的和或差的平方．这样的多项式叫做完全平方式。 强调：1.必须是三项式； 2.有两个同号的平方项； 3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.例1二次三项式x2－6x＋k是一个完全平方式，则k的值是________． 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，则m的值是________． 解析：∵4=(±2)2，故m-3=2×(±4)，m=7或-1知识2、用完全平方公式因式分解 引导学生由整式乘法中的完全平方公式推导出因式分解中的完全平方公式，即a2±2ab+b2=（a±b）2，用文字表述为： 两个数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.例2分解因式：(1) 16x2+24x+9 (2) –x2+4xy–4y2.分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.分析：（2）这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式. 解：－x2+4y2+4xy=(x2－4xy+4y2)=－[x2－2·2x·y+(2y) 2]=－(x－2y) 2.注意： 1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式. 2.在对类似例1的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式因式分解.例3 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。 解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.注意：1.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.2.又是因式分解的时候会有整体思想存在通过上述例题的探究你能归纳什么叫公式法吗？●归纳:把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
自主尝试 1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+4ab+b2; （4）a2－ab+b2; （5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25.答案：（1）（3）（6）是，其余的不是2．因式分解： (1)4x2＋y2－4xy； 解：原式＝(2x－y)2 (2)9－12a＋4a2； 解：原式＝(3－2a)2 (3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：原式＝(m＋n－3)2
拓展提高 1.把代数式2ax2－12ax＋18a分解因式为：________．答案：2a(x－3)2 2.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．答案：1 3.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50. 4.利用因式分解计算：992＋198＋1. 解：992＋198＋1＝992＋2×99×1＋1 ＝(99＋1)2＝1002＝10 000. 5.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14. (1)求此长方形的面积； 解：∵a＋b＝16÷2， ∴a2＋2ab＋b2＝64. ∵a2＋b2＝14， ∴ab＝25. 答：长方形的面积为25 求ab3＋2a2b2＋a3b的值． 解：ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2＝25×82＝1 600 6.已知a，b，c是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0.你能判断△ABC的形状吗？请说明理由． 解：由已知得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0. ∴a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．
小结反思 本节课你有什么收获，有什么疑惑？
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(共19张PPT)
14.3.2公式法（2）
人教版 八年级上
新知导入
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？
新知讲解
这个大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
新知讲解
多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？
两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．
是两个数的和或差的平方．
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
完全平方式
特点：
1.必须是三项式；
2.有两个同号的平方项；
3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央！
新知讲解
例1 二次三项式x2－6x＋k是一个完全平方式，则k的值是________．
变式：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，则m的值是________．
9
7或－1
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
解析：∵4=(±2)2，故m-3=2×(±4)，m=7或-1
巩固练习
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+4ab+b2; （4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25.
是
（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.
是
（4）不是， ab不是a与b乘积的2倍.
（5）不是，x2与－9的符号不统一.
是
新知讲解
问题2：如何用符号表示完全平方公式？
把整式乘法的完全平方公式
的等号两边互换位置，就得到
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
新知讲解
·
例2 分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2
2
a
b
b2
+
·
+
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
(2) –x2+4xy–4y2.
解：原式= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2·x·2y+(2y)2]
= - (x-2y)2
巩固练习
2．因式分解：
(1)4x2＋y2－4xy；
(2)9－12a＋4a2；
(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：原式＝(2x－y)2
解：原式＝(3－2a)2
解：原式＝(m＋n－3)2
（m+n)相当于完全平方式中的a，整体的思想考虑！
新知讲解
例3 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
(2)(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2.
新知讲解
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
归
纳：
公式法2
拓展提高
1.把代数式2ax2－12ax＋18a分解因式为：________．
2.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
2a(x－3)2
1
拓展提高
3.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
4.利用因式分解计算：992＋198＋1.
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
解：992＋198＋1
＝992＋2×99×1＋1
＝(99＋1)2＝1002＝10 000.
拓展提高
5.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14.
(1)求此长方形的面积；
(2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值．
解：∵a＋b＝16÷2，
∴a2＋2ab＋b2＝64.
∵a2＋b2＝14，
∴ab＝25.
答：长方形的面积为25
解：ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2＝25×82＝1 600
拓展提高
6.已知a，b，c是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0.
你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．
解：由已知得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0.
∴a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．
课堂总结
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2(a-b)2．
2：完全平方公式的结构特点是什么？
分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．
作业布置
119页练习1、2题
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